2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第4讲空间直线平面垂直的判定与性质课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第4讲空间直线平面垂直的判定与性质课件，共60页。PPT课件主要包含了2判定与性质，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P，a∥b，有且只有一条，垂线段的长度，两个半平面，直二面角，α⊥β等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　直线与平面垂直1．直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面α内的________一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
过一点垂直于已知平面的直线________________.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，________________叫做这个点到该平面的距离．一条直线与一个平面平行时，这条直线上______________________ ___，叫做这条直线到这个平面的距离．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
任意一点到这个平面的距
2．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条斜线和这个平面所成的角．若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为______，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_______.
知识点二　平面与平面垂直1．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角θ的范围：θ∈[0，π]．
2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定与性质
归 纳 拓 展1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( )(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( )(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( )(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )
题组二　走进教材2．(必修2P164T15)(2022·广州中学教学研究会调研)如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EGF中( )
A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF
[解析]　由题意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故选A.
3．(必修2P152例4)(2022·河南许昌质检)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AB，BC的中点，则直线MN与平面DCA1所成角的大小为( )
[解析]　连接AC、AD1，设AD1∩A1D＝H，连HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，∴∠HCA即为MN与平面DCA1所成的角，
题组三　走向高考4．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D
[解析]　正方体中DD1⊥EF，
又AC⊥BD，EF∥AC，∴BD⊥EF，∴EF⊥平面BDD1，EF⊂平面B1EF，从而平面B1EF⊥平面BDD1，∴A正确；
若平面B1EF⊥平面A1BD，则BD⊥平面B1EF，∴BD⊥B1E，又BB1⊥BD，∴BD⊥平面BB1E，又AD⊥平面BB1E，∴AD∥BD这与AD、BD相交矛盾，∴B错误；取A1B1的中点H，则AH∥B1E，
由于AH与平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，C错误；
取AD的中点M，很明显四边形A1B1FM为平行四边形，则A1M∥B1F，由于A1M与平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，D错误．故选A.
5. (2023·新课标全国Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
[解析]　(1)证明：连接AE，DE，因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC①，因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，∴AC＝AB，从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而AD⊂平面ADE，所以BC⊥DA.
∴AE2＋DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC⊂平面BCD，∴AE⊥平面BCD.以点E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
考点突破 · 互动探究
空间垂直关系的基本问题——自主练透
1.(2024·江苏部分四星级高中调研)设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，在下列命题中，真命题为( )A．若m⊥n，n⊥l，则m⊥lB．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α
[解析]　若m⊥n，n⊥l，则m∥l或m，l相交或m，l异面，所以A错误；若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，所以B错误；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n∥β，则α⊥β，所以C正确；若m∥n，m∥α，则n⊂α或n∥α，所以D错误．故选C.
2．(多选题)(2022·湖南名校联考)对于不同直线m，n和不同平面α，β，有如下四个命题，其中正确的是( )A．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βB．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βC．若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
[解析]　选项A，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能相交可能平行，故A不正确；选项B，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故B正确；选项C，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正确；选项D，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D不正确．故选BC.
名师点拨：解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决，其实最好的办法是笔当线，纸、手掌当面动态演示．
【变式训练】1．(多选题)(2022·江苏泰州调研)已知直线l与平面α相交于点P，则( )A．α内不存在直线与l平行B．α内有无数条直线与l垂直C．α内所有直线与l是异面直线D．至少存在一个过l且与α垂直的平面[解析]　α内的直线与l相交或异面，A对，C错；直线l与它在平面α内的射影m所确定的平面β与平面α垂直，D对；平面α内与射影m垂直的直线也与l垂直，显然这样的直线有无数条，B对．故选ABD.
2．(2024·河南名校联考)已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，m⊥l，m⊥α，n⊥l，n⊥β，则下列命题错误的是( )A．若m⊥n，则α⊥βB．若m∥n，则α∥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则n⊥α[解析]　若m∥β，则m⊥n，所以α⊥β，C错误．
直线与平面垂直的判定与性质——多维探究
角度1　线、面垂直的判定
[解析]　解法一：取AD的中点O，连接SO，OE，OF.因为四边形ABCD是矩形，O，E分别是AD，BC的中点，
所以EO綉AB，所以EO⊥AD.因为△SAD是等边三角形，所以SO⊥AD.因为SO∩OE＝O，所以AD⊥平面SOE.因为SE⊂平面SOE，所以AD⊥SE.因为SA＝2AB，
所以△SOE是等腰三角形．因为F是SE的中点，所以OF⊥SE.因为OF∩AD＝O，所以SE⊥平面ADF.
如图，连接AE，DE，
因为E为BC的中点，所以AE＝DE＝2.所以SD＝DE，SA＝AE.又F为SE的中点，所以DF⊥SE，AF⊥SE.因为DF∩AF＝F，所以SE⊥平面ADF.
解法三：由解法一易得AD，OE，SO两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
角度2　线、面垂直的性质
(2023·广东潮州模拟(节选))如图，在斜三棱柱BCE－ADF中，侧面ABCD⊥侧面ABEF，AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，M为CD上的中点．证明：EM⊥BF.
[解析]　连接AE，AM，
由AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，可知四边形ABCD，ABEF均为含60°的菱形，故AE⊥BF当M为CD的中点时，则AM⊥AB，又侧面ABCD⊥侧面ABEF，AB＝侧面ABCD∩侧面ABEF，故AM⊥平面ABEF，从而AM⊥BF，AE∩AM＝A，所以BF⊥平面AEM，又EM⊂平面AEM，故EM⊥BF.
角度3　直线与平面所成的角 (2022·江苏无锡高三期末)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线B1M与平面A1C1B所成角的正弦值为( )
[解析]　解法一：连接B1D1交A1C1于H，连接BD，DB1，DB1∩BH＝O，BH∩B1M＝N，
易证B1D⊥平面A1C1B.∴∠B1NO即为B1M与平面A1C1B所成的角，且B1O⊥ON.设正方体棱长为1，
名师点拨：1．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．如：直径所对圆周角是直角；菱形对角线互相垂直；等腰三角形底边上的中线、顶角平分线垂直底边．等等．(2)若知某些线段长度，常利用勾股定理的逆定理．(3)利用直线与平面垂直的性质．(4)向量法：a⊥b⇔a·b＝0.
2．证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.
3．求直线与平面所成角的方法(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角；③求，通过解三角形，求角．
证明：PA⊥平面PBC.
则∠APB＝90°，所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.
证法二：因为△ABC是底面圆O的内接正三角形，且AE为底面直径，所以AE⊥BC.因为DO(即PO)垂直于底面，BC在底面内，所以PO⊥BC.又因为PO⊂平面PAE，AE⊂平面PAE，PO∩AE＝O，所以BC⊥平面PAE.又因为PA⊂平面PAE，所以PA⊥BC.设AE∩BC＝F，则F为BC的中点，连接PF.
因此PA2＋PF2＝AF2，从而PA⊥PF.又因为PF∩BC＝F，所以PA⊥平面PBC.
证法三：空间直角坐标系法
所以AP⊥BP，AP⊥CP.又BP∩CP＝P，故AP⊥平面PBC.
(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
[解析]　(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)解法一：连接PE，
又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB.∴AB⊥平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE.∴∠DPE为PD与平面PAB所成的角．
解法二：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，
设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，
两个平面垂直的判定与性质——师生共研
证明：平面PAD⊥平面ABCD.
[证明]　证法一：取AB的中点F，连接BD，DF.
在四边形ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，故四边形ABCD为直角梯形，又AB＝2BC＝2CD＝2，
又由CD∥BF，CD＝BF，所以四边形BCDF为正方形，
故BD⊥PD.由PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，从而BD⊥平面PAD，又BD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
证法二：取AD的中点O，AB的中点F，连接PO，BO，DF.
在四边形ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，故四边形ABCD为直角梯形，又AB＝2BC＝2CD＝2，故CD∥BF，且CD＝BF＝BC＝1，所以四边形BCDF为正方形，
所以△PAD≌△FAD，从而∠APD＝∠AFD＝90°，
由AO∩BO＝O，AO⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，从而PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
名师点拨：1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(一般在一个平面内找交线的垂线，证此线与另一面垂直．)2．在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
【变式训练】(2024·广东珠海实验中学适应性考试(节选))如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，△APD是等腰直角三角形，∠APD是顶角．求证：平面PAB⊥平面PCD.
[证明]　因为平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥CD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为AP⊂平面PAD，所以CD⊥AP，因为△APD是等腰直角三角形，∠APD是顶角，所以AP⊥PD，又PD∩DC＝D，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PCD，所以AP⊥平面PCD，又AP⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.
名师讲坛 · 素养提升
直线与平面平行、垂直判定和性质的综合应用
A．B1D⊥A1PB．DP∥平面AB1D1
[解析]　由正方体性质易知B1D⊥平面A1BC1，
又A1P⊂平面A1BC1，∴B1D⊥A1P，故A正确；由平面BDC1∥平面AB1D1，DP⊂平面BDC1，∴DP∥平面AB1D1，故B正确；
∵AD1∥BC1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，∴BC1∥平面ACD1，∴点P到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离，
△A1BC1是正三角形，△BCC1是等腰直角三角形，
∠A1C1C＝105°，
2.(2024·江苏扬州高邮期初测试(节选))如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是边长为2的正三角形，△BCD是以∠BDC为直角的等腰三角形．
证明：AB∥平面CDE.
[证明]　取CD的中点F，连接EF，由EC＝ED知EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，∴EF⊥平面BCD.又∵AB⊥平面BCD，∴AB∥EF.∵AB⊄平面ECD，EF⊂平面ECD.∴AB∥平面CDE.
名师点拨：空间两点“路径”最短问题通常“展平”化为两点间距离问题．
【变式训练】(2024·陕西汉中模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中不正确的是( )
A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．MN与CC1所成角为45°D．MN⊥平面ACD1