2025版高考数学一轮总复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法课件，共60页。PPT课件主要包含了考情探究，一定顺序，每一个数，an＝fn，a1＋a2＋＋an，nan，Sn－Sn－1，知识点四数列的分类，题组二走进教材，题组三走向高考等内容，欢迎下载使用。

【命题规律与备考策略】重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式，考查错位相减、裂项相消等求和方法.有时考查数列的创新问题，实际应用问题，与不等式的综合问题，考查化归与转化思想，运算求解能力.
第一讲　数列的概念与简单表示法
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　数列的有关概念
知识点二　数列的表示方法
知识点三　an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，
归 纳 拓 展1．数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点.
2．常见数列的通项公式(1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n.(2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1.(3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n.(4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2.(5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n.(6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1).
(8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1.(9)符号数列：－1,1，－1,1，…，或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1.
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来.( )(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(3)数列的项与项数是同一个概念.( )(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＝Sn－ Sn－1.( )
[解析]　(1)因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误.
(3)数列{an}中第n项an，其中n为项数，an为项.(4)由数列前n项和的定义可知，当n∈N*，且n≥2都有an＝Sn－ Sn－1，而n＝1时a1＝S1，所以不正确.
3．(选修2P8T2改编)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋1＋2an，则32是数列的( )A.第4项B．第5项C.第6项D．第7项[解析]　由a1＝1，a2＝2，得a3＝a2＋2a1＝4，a4＝a3＋2a2＝8，a5＝a4＋2a3＝16，a6＝a5＋2a4＝32.故选C.
4．(选修2P8T3改编)下列数列是递减数列的是( )
A.b1∴所求和为1＋3＋6＝10.
考点突破 · 互动探究
由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an.(1)－1,7，－13,19，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)5,55,555,5 555，…；
[解析]　(1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).(2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1.
名师点拨：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等.2．具体策略(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；
(5)化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一.
由an与Sn的关系求通项公式——多维探究
角度1　已知Sn求an问题 1.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝______________.[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.故填2n－11.
2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝___________.[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.
角度2　由Sn与an的关系求an
名师点拨：已知Sn求an的一般步骤1．当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值.2．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式.3．检验a1的值是否满足2中的表达式，若不满足，则分段表示an.4．写出an的完整表达式.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式.2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
【变式训练】1．(角度1)(2023·福建三明一中期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且lg2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式( )
2．(角度2)(2023·辽宁部分重点高中高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1，则{an}的通项公式为( )A.an＝2n－1 B．an＝2n－1C.an＝2n－1 D．an＝2n＋1[解析]　当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－ Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.因此an＝2n－1(n≥2).又n＝1时，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.故选B.
用累加法、累乘法求通项公式——多维探究
角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an
名师点拨：1．累加法求通项公式如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式.
【变式训练】根据下列条件，写出数列{an}的通项公式：(1)(角度1)若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则an＝________________；(2)(角度2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝______.
[解析]　(1)∵an＋1＝an＋2n－1，∴当n≥2时，a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，
又当n＝1时，12－2×1＋2＝1，∴n＝1时符合上式.∴an＝n2－2n＋2.
数列的函数性质——多维探究
可以看出数列的周期为4，
A.(3，＋∞) B．(2，＋∞)C.(1，＋∞) D．(0，＋∞)
角度3　数列的最大(小)项问题
名师点拨：1．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.2．判断数列单调性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去.
[解析]　∵数列{an}满足a1＝2，
可知此数列有周期性，周期T＝3，
2．(角度2)(2024·滕州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为( )
[解析]　∵数列{an}是单调递增数列，∴对任意的n∈N*，都有 an＋1>an，∴(n＋1)2＋b(n＋1)>n2＋bn，即b>－(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，又n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，∴b>－3，即实数b的取值范围为(－3，＋∞).故选B.
A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是a3C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是a2
[解析]　令t＝n－1≥0，则n＝t＋1，
所以数列{an}有最大项a3，有最小项a1.故选B.
名师讲坛 · 素养提升
递推数列的通项公式的求法热点一　an＋1＝Aan＋B(A、B为常数)型 (2024·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝______________.[解析]　∵an＋1＝3an＋6，∴an＋1＋3＝3(an＋3)，又a1＝－2，∴a1＋3＝1，∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.
热点三　an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型 (1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝______________.(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝_____________.
名师点拨：1．形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B为常数)的类型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}为等比数列，进而可求an.
【变式训练】在数列{an}中，(1)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝________________.
(3)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则an＝__________________；(4)若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，则an＝__________________.
－5·2n－1＋3n＋3
(3n－2)·2n－1
[解析]　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2公比为3的等比数列，∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.
∴an＋1－3(n＋1)－3＝2(an－3n－3).又a1＝1，∴{an－3n－3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴an－3n－3＝－5·2n－1∴an＝－5·2n－1＋3n＋3.