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2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数课件
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这是一份2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数课件，共60页。PPT课件主要包含了x＝logaN，2几种常见对数，logaN，lgN，lnN，nlogaM，0＋∞，－∞＋∞，y＞0，y＜0等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一 对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_____________，其中_______叫做对数的底数，_______叫做真数．
2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①lga1＝______；②lgaa＝______(其中a>0且a≠1)；③lgaab＝________(a>0，a≠1，b∈R)．(2)对数恒等式algaN＝__________(其中a>0且a≠1，N>0)．
知识点二 对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质
y＝lgax(a＞0，且a≠1)
2.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数____________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0
5．(必修1P140T4改编)若b>a>1，则函数y＝lga(x＋b)的图象不经过( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析] 函数y＝lga(x＋b)的图象是由函数y＝lgax的图象向左平移b个单位长度得到，结合对数函数y＝lgax的图象即可求解．∵b>a>1，∴函数y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，图象过第一、四象限，又∵函数y＝lga(x＋b)的图象是由函数y＝lgax的图象向左平移b个单位长度得到，而b>1，∴函数y＝lga(x＋b)的图象不经过第四象限，故选D.
6．(必修1P127T5改编)函数y＝lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是__________.[解析] 当x＝2时，函数y＝lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
8．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析] 由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.
考点突破 · 互动探究
对数与对数运算——自主练透
名师点拨：1．利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法：(1)“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和；(2)“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数．2．利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数．
考向1 对数函数的图象及其应用——师生共研1.在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象可能是( )
名师点拨：应用对数型函数的图象可求解的问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练】1．函数y＝lg|x－1|的图象是( )
[解析] 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在x轴、y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝lg2x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根．
考向2 对数函数的性质及其应用——多维探究角度1 比较对数值的大小1.设m∈(0,1)，若a＝lg m，b＝lg m2，c＝(lg m)2，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a[解析] 利用对数函数的性质即得．∵m∈(0,1)，∴a＝lg m<0，b＝lg m2＝2lg m0，∴c>a>b.故选C.
2．(2022·云南昆明月考)设a＝lg63，b＝lg126，c＝lg2412，则( )A．b
【变式训练】1．(角度1)设a＝lg412，b＝lg515，c＝lg618，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a[解析] a＝1＋lg43，b＝1＋lg53，c＝1＋lg63，∵lg43>lg53>lg63，∴a>b>c.
3．(角度3)(2024·海南省高三第一次联考)已知函数f(x)＝3＋lg2x，x∈[1,16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)求函数g(x)的最值．
(2)因为x∈[1,4]，所以lg2x∈[0,2]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋lg2x)2＋6＋2lg2x2＝(lg2x)2＋10lg2x＋15＝(lg2x＋5)2－10，当lg2x＝0时，g(x)min＝15，当lg2x＝2时，g(x)max＝39，即函数g(x)的最大值为39，最小值为15.
名师讲坛 · 素养提升
名师点拨：在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一 对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_____________，其中_______叫做对数的底数，_______叫做真数．
2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①lga1＝______；②lgaa＝______(其中a>0且a≠1)；③lgaab＝________(a>0，a≠1，b∈R)．(2)对数恒等式algaN＝__________(其中a>0且a≠1，N>0)．
知识点二 对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质
y＝lgax(a＞0，且a≠1)
2.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数____________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0
5．(必修1P140T4改编)若b>a>1，则函数y＝lga(x＋b)的图象不经过( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析] 函数y＝lga(x＋b)的图象是由函数y＝lgax的图象向左平移b个单位长度得到，结合对数函数y＝lgax的图象即可求解．∵b>a>1，∴函数y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，图象过第一、四象限，又∵函数y＝lga(x＋b)的图象是由函数y＝lgax的图象向左平移b个单位长度得到，而b>1，∴函数y＝lga(x＋b)的图象不经过第四象限，故选D.
6．(必修1P127T5改编)函数y＝lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是__________.[解析] 当x＝2时，函数y＝lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
8．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析] 由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.
考点突破 · 互动探究
对数与对数运算——自主练透
名师点拨：1．利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法：(1)“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和；(2)“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数．2．利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数．
考向1 对数函数的图象及其应用——师生共研1.在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象可能是( )
名师点拨：应用对数型函数的图象可求解的问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练】1．函数y＝lg|x－1|的图象是( )
[解析] 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在x轴、y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝lg2x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根．
考向2 对数函数的性质及其应用——多维探究角度1 比较对数值的大小1.设m∈(0,1)，若a＝lg m，b＝lg m2，c＝(lg m)2，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a[解析] 利用对数函数的性质即得．∵m∈(0,1)，∴a＝lg m<0，b＝lg m2＝2lg m
2．(2022·云南昆明月考)设a＝lg63，b＝lg126，c＝lg2412，则( )A．b
【变式训练】1．(角度1)设a＝lg412，b＝lg515，c＝lg618，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a[解析] a＝1＋lg43，b＝1＋lg53，c＝1＋lg63，∵lg43>lg53>lg63，∴a>b>c.
3．(角度3)(2024·海南省高三第一次联考)已知函数f(x)＝3＋lg2x，x∈[1,16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)求函数g(x)的最值．
(2)因为x∈[1,4]，所以lg2x∈[0,2]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋lg2x)2＋6＋2lg2x2＝(lg2x)2＋10lg2x＋15＝(lg2x＋5)2－10，当lg2x＝0时，g(x)min＝15，当lg2x＝2时，g(x)max＝39，即函数g(x)的最大值为39，最小值为15.
名师讲坛 · 素养提升
名师点拨：在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．
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