2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数课件，共58页。PPT课件主要包含了知识点一幂函数，0＋∞，－∞0∪，非奇非偶，－∞0，b＝0，二次函数的图象与性质，x2－4x＋3，－∞－1等内容，欢迎下载使用。

知识梳理 · 双基自测
知识点二　二次函数的图象和性质
归 纳 拓 展1．二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
3．(必修1P100T5改编)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递减，则m的值为( 　　)A．－1 B．1 C．2或－1 D．2[解析]　利用幂函数的定义及性质列式计算并判断．∵f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，即(m－2)(m＋1)＝0，解得m＝2，或m＝－1，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递减，∴m2＋m－3<0，当m＝2时，m2＋m－3＝3>0，不合题意，舍去；当m＝－1，m2＋m－3＝－3<0，符合题意，故m＝－1.故选A.
4．(必修1P53T2改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b______0，ac______0，a－b＋c______0.
5．(必修1P58T6改编)已知f(x)＝x2－2 025x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于( 　　)A．2 025 B．－2 025C．0 D．10 025
题组三　走向高考6．(2013·浙江文，7,5分)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( 　　)A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
[解析]　选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.
[解析]　∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.
考点突破 · 互动探究
幂函数图象与性质——自主练透
[解析]　由题意，得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.
3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( 　　)A．－3 B．1C．2 D．1或2[解析]　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
名师点拨：1．幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．3．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考向1　二次函数的解析式——师生共研
名师点拨：根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
【变式训练】1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点(－1,0)，(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为( 　　)A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6[解析]　根据已知，得到抛物线的交点式方程，进而根据抛物线形状与抛物线y＝－2x2相同，得到a＝－2，展开可得答案．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c形状与抛物线y＝－2x2相同，∴a＝－2，又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点(－1,0)，(3,0)，∴抛物线y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6，故选D.
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝___________.
考向2　二次函数的图象和性质——多维探究角度1　二次函数的图象 1.设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( 　　)
[解析]　因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；C中，a>0，c<0，b>0，不符合题意，故选D.
2.(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面选项正确的是( )A．b2>4ac B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D．5a名师点拨：二次函数图象的识别方法二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．
角度2　二次函数的单调性与最值(2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
名师点拨：解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，根据图象的对称轴方程x＝h和所给区间并结合图象求解．1．对称轴和区间都固定时，根据单调性和图象直接求解．2．若区间固定，对称轴变动，这时要讨论顶点横坐标是否在区间中；若对称轴固定，区间变动，这时要讨论区间与对称轴的位置关系，讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系，再根据函数单调性求最值或值域．
【变式训练】1．(角度1)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是( 　　)
2．(角度2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(4)3．(角度2)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
名师讲坛 · 素养提升
二次函数恒成立问题二次函数的恒成立问题是高考命题的热点，此类问题的处理方法较为灵活，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养．
[解析]　(1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2,1]．
(2)因为对于∀x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.当－1<－a<1，即－1(3)∃x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.综上可得，实数a的取值范围是R.
[探究]　本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．
名师点拨：恒成立问题的解法1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(1)(2)(3)x是变量，(4)a是变量．2．对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
【变式训练】1．(2023·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是_______________.[解析]　解法一：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
2．已知函数f(x) ＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是_______.