2025版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4讲一元二次不等式及其解法课件

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这是一份2025版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4讲一元二次不等式及其解法课件，共60页。PPT课件主要包含了判别式，Δ≥0，两相异，两相等，－14，BCD，－∞1等内容，欢迎下载使用。

知识梳理 · 双基自测
知识梳理知识点一　一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数________零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．2．计算相应的__________.3．当______时，求出相应的一元二次方程的根．4．利用二次函数的图象与x轴的______确定一元二次不等式的解集．
知识点二　三个二次之间的关系
{x|x>x2或x{x|x∈R且x≠x1}
{x|x1归纳拓展1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．
3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．4．一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正．如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿．
双基自测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式(x＋1)(2－x)<0的解集为(－1,2)．( 　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( 　　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( 　　)
题组二　走进教材2．(必修1P53T1改编)不等式－x2－5x＋6≥0的解集为( 　　)A．{x|－6≤x≤1} B．{x|2≤x≤3}C．{x|x≥3或x≤2} D．{x|x≥1或x≤－6}[解析]　不等式－x2－5x＋6≥0可化为x2＋5x－6≤0，即(x＋6)(x－1)≤0，解得－6≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－6≤x≤1}．
3．(必修1P55T3改编)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根，且x1＋x2＝5，x1x2＝6，则该一元二次方程是( 　　)A．x2＋5x＋6＝0 B．x2－5x＋6＝0C．x2－6x＋5＝0 D．x2－6x－5＝0
5．(必修1P55T2)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.
7．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围是_______________.
考点突破 · 互动探究
一元二次不等式的解法——多维探究
角度1　不含参数的不等式求下列不等式的解集．(1)x2－4x－5≤0；(2)－x2＋8x<3.(3)0[解析]　(1)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
名师点拨：解一元二次不等式的一般步骤1．化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．2．判：计算对应方程的判别式．3．求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．4．写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
[引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？
[引申2]若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况．
名师点拨：含参数的不等式的求解往往需要分类讨论1．若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．3．解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．4．解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．
【变式训练】1．(角度1)(多选题)下列四个不等式中，解集为∅的是( )A．－x2＋x＋1≤0 B．2x2－3x＋4<0C．x2＋3x＋10≤0 D．x2－2x＋3<0[解析]　根据函数的开口方向和根的判别式，即可得出正确的选项．A选项，开口向下，不可能为空集，故A选项错误；B选项，开口向上，Δ＝9－4×2×4＝－23<0，解集为空集，故B选项正确；C选项，开口向上，Δ＝9－4×10＝－31<0，解集为空集，故C选项正确；D选项，开口向上，Δ＝4－4×3＝－8<0，解集为空集，故D选项正确．故选BCD.
2．(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)．[解析]　由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1三个二次间的关系——师生共研
[分析]　利用根与系数的关系求解．
[分析]　令f(x)＝x2＋ax－2，Δ＝a2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x2＋ax－2≤0在区间[1,5]上恒成立的a的取值集合，只需f(5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．
[引申]若不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是____________.
名师点拨：已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．
【变式训练】1．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为{x|12．(2023·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( 　　)A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)[解析]　解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A.解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)一元二次不等式恒成立问题——师生共研
2．在给定某区间上恒成立(1)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min≥0即可．(2)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
【变式训练】1．若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为( 　　)A．(－∞，3) B．(－1,3)C．[－1,3] D．(－1,3]
2．(2024·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有( 　　)A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4[解析]　令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A.
3．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( 　　)A．{x|13}C．{x|12}
名师讲坛 · 素养提升
一元二次方程根的分布情况设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
表二：(两根与k的大小比较)
表三：(根在区间上的分布)
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)两根都在区间(－1,3)；(6)两根都大于0；(7)两根都小于1；(8)在(1,2)内有解．
【变式训练】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．[解析]　(1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，

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