福建省泉州市培元中学2024届高三下学期阶段性考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市培元中学2024届高三下学期阶段性考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若一组数据1,1,a,4,5,5,6,7的75百分位数是6,则( )
A.4B.5C.6D.7
2．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
3．已知等差数列的前n项和为,且,,则是中的( )
A.第30项B.第36项C.第48项D.第60项
4．已知直线l、m、n与平面、,下列命题正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,,则
5．中国灯笼又统称为灯彩,是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展,形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平,从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排,要求吊灯挂两端,同一类型的灯笼至多2盏相邻挂,则不同挂法种数为( )
A.216B.228C.384D.486
6．已知实数m,n满足,则m,n可能是( )
A.,B.,
C.,D.,
7．已知实数a,b,c成公差非0的等差数列,在平面直角坐标系中,点P的坐标为,点N的坐标为．过点P作直线的垂线,垂足为点M,则M,N间的距离的最大值与最小值的乘积是( )
A.10B.C.D.前三个答案都不对
8．宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理,里面包含阴阳、刚柔、奇偶,无所不有”．太极图（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数,若存在圆C,使得的图象能将圆C的周长和面积同时平分,则称是圆C的太极函数．下列说法正确的是( )
①对于任意一个圆,其太极函数有无数个
②是的太极函数
③太极函数的图象必是中心对称图形
④存在一个圆C,是它的太极函数
A.①④B.③④C.①③D.②③
二、多项选择题
9．在中,,,,则的面积可以为( )
A.B.C.D.
10．设、为不相等的两个复数,则下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若,则或
C.若,则
D.若,则在复平面对应的点在一条直线上
11．已知函数的定义域为R,且,,则( )
A.B.有最小值
C.D.奇函数
三、填空题
12．已知,,且,则在上投影向量为__________.
13．如图,画一个正三角形,不画第三边;接着画正方形,对这个正方形,不画第四边,接着画正五边形;对这个正五边形不画第五边,接着画正六边形;……,这样无限画下去,形成一条无穷伸展的等边折线．设第n条线段与第条线段所夹的角为,则__________．
四、双空题
14．已知圆锥的母线,侧面积为,则圆锥的内切球半径为_________;若正四面体能在圆锥内任意转动,则正四面体的最大棱长为__________．
五、解答题
15．已知函数在处有极值2．
（1）求a,b的值;
（2）证明：．
16．为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程,某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题,每类试题各10题,其中每答对1道A类试题得10分;每答对1道B类试题得20分,答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A类试题中有7道题能答对,而他答对各道B类试题的概率均为．
（1）若该同学只抽取3道A类试题作答,设X表示该同学答这3道试题的总得分,求X的分布和期望;
（2）若该同学在A类试题中只抽1道题作答,求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
17．如图,四棱锥中,底面,四边形中,,,,,．
（1）若E为的中点,求证：平面平面;
（2）若平面与平面所成的角的余弦值为．
（ⅰ）求线段的长;
（ⅱ）设G为内（含边界）的一点,且,求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度．
18．已知椭圆的离心率是,点在C上．
（1）求C的方程;
（2）过点的直线交C于P,Q两点,直线,与y轴的交点分别为M,N,证明：线段的中点为定点．
19．已知集合,其中．对于,,定义A与B之间的距离为．
（1）记,写出所有使得;
（2）记,A、,并且,求的最大值;
（3）设,P中所有不同元素间的距离的最小值为k,记满足条件的集合P的元素个数的最大值为m,求证：．
参考答案
1．答案：C
解析：这组数据为：1,1,a,4,5,5,6,7,但大小不定,因为,
所以这组数据的分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数,
经检验,只有符合．
故选：C．
2．答案：B
解析：由可得,其焦点坐标为,
故选：B.
3．答案：B
解析：设公差为d,
则,解得,
所以,
则,
令,则,
所以是中的第36项.
故选：B.
4．答案：B
解析：A选项,如图1,满足,,但,不垂直,A错误;
B选项,如图2,因为,
所以作平面,使得,且,
则,
因为,则,又,故,B正确;
C选项,如图3,满足,,但l,m不平行,C错误;
D选项,如图4,满足,,,但l,n不平行,D错误.
故选：B.
5．答案：A
解析：先挂2盏吊灯有种挂法,再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法,
最后将宫灯插空挂.
当4盏宫灯分成2,2两份插空时有种挂法;
当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时有种挂法;
当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时有1种挂法,
所以共有种不同的挂法.
故选：A.
6．答案：A
解析：由,得,
类比,
.
故选：A.
7．答案：A
解析：直线中a,b,c成等差数列即直线恒过点,
又,于是点M的轨迹是以为直径的圆,如图．
该圆的圆心为,半径为,因此,
故,于是所求最大值与最小值之积为．
故选：A.
8．答案：A
解析：对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分,
所以对于任意一个圆,太极函数有无数个,故①正确
对于②：,
,所以关于y轴对称,不是太极函数,故②错误;
对于③：中心对称图形必定是太极函数,对称点即为圆心．
但太极函数只需平分圆的周长和面积,不一定是中心对称图形,故③错误;
对于④：曲线存在对称中心,
所以必是某圆的太极函数,故④正确．
故选：A．
9．答案：AC
解析：,,,
,即,
整理得,解得或,
当时,,
当时,,
所以的面积为或.
故选:AC.
10．答案：BD
解析：对于A,令,,则,此时,A错误;
对于B,设,,则,
所以,,即,则;
若,则成立,此时;
若,,由知;由知：,此时;
同理可知：当,时,;
若,,由得：,则,此时;
综上所述：若,则或,B正确;
对于,令,,则,此时,C错误;
对于D,设,,,
则,,
由,可得,
所以,
又、不全为零,
所以表示一条直线,
即在复平面对应的点在一条直线上,故D正确.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：对于A中,令,可得,所以A正确;
对于B中,令,且,则,
可得,
若时,时,,此时函数为单调递增函数;
若时,时,,此时函数为单调递减函数,
所以函数不一定有最小值,所以B错误;
对于C中,令,可得,
即,
所以,, ,,
各式相加得,所以,所以C正确;
对于D中,令,可得,可得,
即,所以函数是奇函数,所以D正确;
故选：ACD.
12．答案：
解析：设,由可知①,
而,,
所以
由可得②,
由①②可得,解得,则,
所以或者,又,
向量在上的投影向量是.
故答案为：.
13．答案：
解析：第一条线段与第二条线段所夹的角,由此类推, ,,
,,,,,,,
观察规律,三角形会有个相等的角,并且角的度数恰好是其内角的度数,
正方形有2个,正五边形有3个,正六边形有4个,
多边形有个
又观察图形得：正三角形画2条线段,正方形画2条线段,正五边形画3条线段,正六边形画4条线段,,正n边形画条线段;
画完正n多边形时,画线段的条数为,
当时,;当时,
第2022条线段应在正66边形中,
故答案为：.
14．答案：①.②.
解析：如图,在圆锥中,设圆锥母线长为l,底面圆半径为r,

因为侧面积为,所以,即．
因为,所以,所以．
棱长为a的正四面体如图所示,
则正方体的棱长为,体对角线长为,
所以棱长为a的正四面体的外接球半径为．
取轴截面,设内切圆的半径为r,
则,解得,
即圆锥的内切球半径为．
因为正四面体能在圆锥内任意转动,所以,即,
所以正四面体的最大棱长为．
故答案为：;.
15．答案：（1）,;
（2）证明见解析.
解析：（1）由已知,,
则
解得,
经检验,,符合题意.
（2）证明：由（1）可知,．
要证,
只需证．
即．
令,则．
令,解得．
,的变化情况如下表所示．
所以,时,有最小值．
故成立
16．答案：（1）分布列见解析,
（2）
解析：（1）
,,
,
所以X的分布为
所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）（ⅰ）2;（ⅱ）.
解析：（1）在四棱锥中,底面,平面,则,
而,,,平面,于是平面,又平面,
则,由,E为的中点,得,,,平面,
因此平面,而平面,
所以平面平面.
（2）（ⅰ）由（1）知,直线,,两两垂直,
以点为原点,直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
过C作于F,由,,得,令,
则,,,,,
设平面的法向量,则,令,得,
由平面,得平面的一个法向量,
依题意,,整理得,而,解得,
所以线段的长为2.
（ⅱ）显然平面,而平面,则,又,
于是,解得,因此点G的轨迹是以点A为圆心,为半径的圆的,
所以点G轨迹的长度为.
18．答案：（1）
（2）证明见详解
解析：（1）由题意可得,解得,
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在,设,,
联立方程,消去y得：,
则,解得,
可得,,
因为,则直线,
令,解得,即,
同理可得,
则
,
所以线段的中点是定点.
19．答案：（1）A的所有情形有：、、、;
（2）;
（3）证明见解析.
解析：（1）已知,,且,
所以,A的所有情形有：、、、;
（2）设,,
因为,则,
同理可得,
当时,;
当时,.
当,时,上式等号成立.
综上所述,;
（3）设P是满足条件的最大集合,即P中的元素个数为m,
所以,、且,,
,记集合,
那么中的元素个数为,
对于中任意元素X,都存在,使得,
若不然,假设存在,都有,
那么集合中所有不同元素间的距离的最小值为,
且中有个元素,这与m最大性矛盾.
所以中的每个元素必与P中某个元素间的距离不超过.
从而,所以,.
x
1
－
0
+
单调递减
1
单调递增
X
0
10
20
30
P