湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期第一次大练习数学试卷(含答案)

这是一份湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期第一次大练习数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则与共线D.若,则一定不与共线
2．已知,i是虚数单位,当时,复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．使“”成立的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
4．如图,在平行四边形中,点E是的中点,点F为线段上的一个三等分点,且,若,则( )
A.1B.C.D.
5．已知,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
6．已知函数为奇函数,且在上单调递减,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．如图,在中,已知,D是边上的一点,,,则的长为( )
A.B.C.D.10
8．已知的值域为D,,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.复数的虚部为
B.若i为虚数单位,则
C.在复数集C中,方程有两个解,依次为,
D.复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心,2为半径的圆
10．已知是边长为1的等边三角形,点D在边上,且,点E是边上任意一点（包含B,C.点）,则的取值可能是( )
A.B.C.0D.
11．直角三角形中,P是斜边上一点,且满足,点M,N在过点P的直线l上,若,,则下列结论正确的是( )
A.为常数
B.的最小值为3
C.的最小值为
D.m,n的值可以为：,
三、填空题
12．设,复数（i是虚数单位）的共轭复数是,则______________.
13．如图,在中,D是的中点,E在边上,,与交于点O.若,则的值是__________.
14．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,若的面积,则的最小值为__________.
四、解答题
15．在中,,,,E点满足,D在边的中点.
（1）当时,求直线与相交所成的较小的角的余弦值;
（2）求的最小值及相应的t的值.
16．已知函数.
（1）若函数的图像关于直线对称,求实数a的值;
（2）当时,
①求函数的单调增区间;
②若,求的值.
17．已知锐角的三个内角A,B,C满足.
（1）求角A的大小及角B的取值范围;
（2）若的外接圆的圆心是O,且,求的取值范围.
18．某足球场长､宽,球门宽,球门位于底线中央.当足球运动员沿斜向直线带球突破时,A为球场边线的中点,B为底线上一点,路线如图,若;
（1）求;
（2）若P是球员起脚射门的点,试问是多少时,P对球门的张角最大？并求此时P到底线的距离.
19．设A是有序实数对构成的非空集,B是实数集,如果对于集合A中的任意一个有序实数对,按照某种确定的关系f,在B中都有唯一确定的数z和它对应,那么就称为从集合A到集合B的一个二元函数,记作,,其中A称为二元函数f的定义域.
因为平面向量与有序实数对有一一对应的关系,设,则二元函数也可以记为.
（1）已知,,,若,,求;
（2）非零向量,若对任意的,,记,都有,则称f在D上沿u方向单调递增.已知,,.请问f在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
（3）设二元函数f的定义域为D,如果存在实数M满足：
①,都有,
②,使得.
那么,我们称M是二元函数f的最小值.
求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为向量是既有大小又有方向的量,两个向量间不能比较大小,因此,A不正确;
两个向量的模相等,但方向却不一定相同,因此B不正确;
相等的向量方向一定相同,相等向量一定共线,因此C正确;
对于选项D,两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反,所以与有共线的可能,故D不正确.
故选：C.
2．答案：A
解析：,
又,,,
所对应的点在第一象限.
故选：A.
3．答案：A
解析：不等式的解集为,是其解集的真子集,
所以“”是使“”成立的一个充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：D
解析：由题知点F为线段上的一个三等分点,所以,
所以
,
因为,不共线,所以,,故.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题意知,,即,
,即,即,
.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为为奇函数,,所以,
所以.
令,,则,
因为在上单调递减,所以解得.
故选：B.
7．答案：B
解析：在中,,则,
在中,,
故选：B.
8．答案：C
解析：①若,当时,在上单调递增,此时,
则,又不成立,
所以此时不成立,排除选项D;
②若
当时,,
当时,,当且仅当时,等号成立,
则函数的值域,满足;排除选项A;
③若,当时,在上单调递减,此时,
当时,,当且仅当时,等号成立,
又函数的值域D满足,
则解得.
综上所述：.
故选：C.
9．答案：BC
解析：复数的虚部为-2,故A错误;,故B正确;
,
因此在复数集C中,方程有两个解,依次为,故C正确;
复平面内满足条件的复数z对应的点Z的集合是以点为圆心,2为半径的圆面,故D错误.
10．答案：AB
解析：设BC的中点为O,以点O为坐标原点,,所在直线分别为x,y
轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
由于是边长为1的等边三角形,且,
所以,,设,则,
所以,,
所以,所以,
即,
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：根据题意,如图：依次分析选项：
对于A,P是斜边上一点,且满足,则,
若,,则,
又由M,P,N三点共线,则,变形可得,故为常数,A正确;
对于B,,
当且仅当,即时等号成立,则的最小值为3,B正确;
对于C,,
当且仅当时等号成立,故C错误;
对于D,当,满足,此时M为的中点,C为的中点,符合题意,D正确.故选：ABD.
12．答案：12
解析：据题意有,即,
据复数相等的定义有.
13．答案：
解析：设,
,
,
,
,
故,,,.
14．答案：48
解析：在中,,
由正弦定理得,
即,
,,,,可得,
又的面积为,,
再由余弦定理可得,整理可得,
当且仅当时,取等号,,即的最小值为48.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,则如图建立平面直角坐标系,
又,即E为的中点,
据已知有,,,
则,,
设与的夹角为,则,
即直线与相交所成的较小的角的余弦值是;
（2）法一：表示E是直线上任意一点,
,其最小值就是原点O到直线的距离d.
则,,
此时,则,
即时,取得最小值.
法二：,,
,
当时,取得最小值.
16．答案：（1）1
（2）①,②或
解析：（1）法一：的图像关于直线对称,则,
即
可验证时,为函数的最大值,故;
法二：,
的图像关于直线对称,则为函数的最值,
（2）①当时,有,
由,,得,,
即函数的单调递增区间为,;
②,
则或或,
或.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知和正弦定理有：,
即,由余弦定理有,
则,由A为锐角,故,
是锐角三角形,;
（2）法一：设外接圆的半径为r,由已知有,
则,
由（1）,有,
则,
故的取值范围是.
法二：设是边的中点,则,
又,
,
据得,则,
是锐角三角形,当或取临界值时,最小是,
当时,最大是,则,
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）在直角三角形中,,,则,
在直角三角形中,,,则,
在三角形中,由余弦定理得;
（2）点P在线段上,设为,过点P作垂线,垂足为H,
以E为原点,为x轴正方向,为y轴正方向,建立平面直角坐标系.
则有,,,
,,
,
,
,
由基本不等式知当且仅当时,上式取到最大值,
又因为,故此时也是的最大值,
此时,
故球员在距离底线处射门对球门的张角最大,此时.
19．答案：（1）
（2）f在上沿向量方向单调递增
（3）
解析：（1）由已知有,,
则;
（2）x,,,,,
,,
又,
,
故f在上沿向量方向单调递增;
（3）由题意可类似的知道的最大值的含义,
,其中,
,当且仅当时取等号.
故,当,时取等号,（或当时取等号）,
又,易知当或2时,函数取最大值为.