江苏省射阳中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省射阳中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知a，，（i为虚数单位），则( )
A.，B.，C.，D.，
2．下列命题中正确的是( )
A.长方体是正四棱柱
B.圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长
C.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D.四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
3．在中,,,则一定是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形
4．欧拉是世纪最伟大的数学家之一,在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明,人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中,欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式,若复数z满足,则z的虚部是( )
A.1B.-1C.D.
5．设平面向量、满足,,,则在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6．如图,在中,已知,,E,F分别是边AB,AC上的点,且,,其中,,且,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．若,则( )
A.B.
C.D.
8．在中,内角A平分线与边BC交于点D且,,若的面积,则AD的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数,则下列说法正确的是( )
A.是纯虚数B.
C.D.在复平面内,复数对应的点位于第三象限
10．如图,在中,,D,E是BC的三等分点,且,则( )
A.B.
C.D.
11．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则( )
A.
B.B的取值范围是
C.若，，则
D.的取值范围是
12．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个n（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（)多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．设,且,在复平面内z对应的点Z的集合形成的图形的面积为______．
14．已知,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围为______________．
15．表示一个整数,该整数使得等式成立,则这个整数为___________.
16．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,则周长的取值范围为___________.
四、解答题
17．已知复数,其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数,求实数m的值;
（2）若,z是关于x的实系数方程的一个复数根,求实数a,b的值．
18．在平面直角坐标系中,,,．
（1）若A,B,C三点不能构成三角形,求实数k的值;
（2）若为直角三角形,求实数k的值．
19．在平面四边形中,,,.
（1）若的面积为,求;
（2）若,,求.
20．已知,,且,．
（1）求和;
（2）求的大小．
21．国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时,就会被警告．如图,设A,B是相距s海里的两个观察站,满足,一外轮在P点,测得,．
（1）当,时,该外轮是否被警告？
（2）当时,问处于什么范围内外轮不被警告？
22．已知为锐角三角形,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c．R为外接圆半径．
（1）若,且满足,求的取值范围;
（2）若,求的最小值．
参考答案
1．答案：B
解析：，而a，b为实数，故，.故选B.
2．答案：D
解析：根据题意,依次分析选项：
对于A,正四棱柱的底面是正方形,则长方体不一定是正四棱柱,A错误;
对于B,从圆锥的轴截面可知,圆锥的底面半径不可能比母线长,B错误;
对于C,用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台,C错误;
对于D,四个面都是等边三角形的四面体是正四面体,故D正确．
故选：D．
3．答案：D
解析：在中,因为,,
所以由余弦定理可得,,
所以,即,
所以,结合可得一定是等边三角形．
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意得,
所以,
所以,则z的虚部是1.
故选：A.
5．答案：D
解析：因为,,,则,
所以,,
所以,在方向上的投影向量为,
故选：D.
6．答案：C
解析：因为,,
所以
,
因为,
所以,
所以
因为,,
所以,
当时,有最小值,
最小值为,
故选：C.
7．答案：C
解析：[方法一]：直接法
由已知得：,
即：,
即：
所以
故选：C.
[方法二]：特殊值排除法
设则,取,排除A, B;
再取则,取,排除D;
选：C.
8．答案：D
解析：由,,则,而,故,
又,而,故,则,
由题意,则,
所以,故.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：
A：为纯虚数,正确;
B：,正确;
C：,错误;
D：,对应点为在第三象限,正确.
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：对于A,,故选项A不正确;
对于B,由题意得D为BE的中点,所以,故选项B正确;
对于C,取DE的中点G,由,D,E是BC的三等分点得G是BC的中点,且,所以
,
所以,,故选项C正确;
对于D,由G是BC的中点得,两边平方得,所以,故选项D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：对于A：在中，由正弦定理，
可化为：.
因为，所以，
所以，
所以.
所以，即.
或，即这与A为的内角相矛盾，舍去.
故.故A正确；
对于B：因为为锐角三角形，所以，所以，
解得：.故B错误；
对于C：因为，由正弦定理得：，即，
所以.
因为，，由余弦定理得：，
所以，
即，即，解得：（舍去）.故C正确；
对于D：由正弦定理，.
因为，所以，所以，即的取值范围是.
故D正确.
故选：ACD.
12．答案：BC
解析：，所以，A错误.
，所以，B正确.
.
所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正确.，所以D错误.
13．答案：
解析：不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合,
不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合,
所以所求点Z的集合是以为圆心,以1和2为半径的两个圆所夹的圆环,
包括边界.
.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,,所以,
因为与的夹角为锐角,所以,且与不共线,
所以且,
解得且,所以的取值范围为,
故答案为：
15．答案：1
解析：令整数为x,则,显然,
所以,
所以,
所以,故.
故答案为：1.
16．答案：
解析：由,则,故,
所以,又为锐角三角形,则,且,
则,
而,则,,
所以,
又,且,
所以,则.
故答案为：.
17．答案：（1）1
（2）
解析：（1）因为复数是纯虚数,
所以,解得：m=1.
（2）当时,.
因为z是关于x的实系数方程的一个复数根,所以z的共轭复数也是实系数方程的根,
所以,解得：.
18．答案：（1）;
（2）-2,-1,3,8．
解析：（1）A,B,C三点不能构成三角形,则和共线,所以,;
（2）由已知,,则,
若A为直角,则,,
若B为直角,则,或,
若C是直角,则,,
综上,k的值为-2,-1,3,8．
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,因为,,,
所以,解得：.
在中,由余弦定理得：
所以
（2）设,则
如图,
在中,因为,所以
在中,,
由正弦定理,得,即
所以
所以,即
所以,即
20．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,,故,,,
;.
（2）,,故,,
又,故,
,,故,
,故,
,
,
,,故,故.
21．答案：（1）该向外轮发出警告,令其退出我国海域
（2）当时,外轮不被警告
解析：（1）设外轮到我国海岸线的距离PQ,
在中,,,则,
所以,
在Rt△BPQ中,,
因为,
所以,
故该向外轮发出警告,令其退出我国海域．
（2）当时,
在中,由正弦定理得：,
解得,
,
要使不被警告,则,即,
解得,
又因为,
所以,
由得,
解得,
所以,当时,外轮不被警告．
22．答案：（1）;
（2）8.
解析：（1）因为,
所以由正弦定理,得,
又由余弦定理,得,所以,
即,所以,
又因为为锐角三角形,所以,
所以


,
因为为锐角三角形,所以 ,即,所以,
所以,即,所以,
所以,
即的取值范围为.
（2）因为,
所以,即,
又因为为锐角三角形,所以,所以,
所以由正弦定理,得,
又因为,所以,
所以,即,
两边同时除以,得,
因为且为锐角三角形,
所以,所以
所以,
所以
,
令,则,
所以
,
当且仅当时,即时等号成立,
所以的最小值为8.