三原县北城中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份三原县北城中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知平面向量,,则等于( )
A.B.C.D.
2．设,是不共线的两个非零向量,则下列四组向量不能作为基底的是( )
A.和B.与
C.与D.与
3．已知中,,,,则( )
A.B.或C.D.
4．已知在中,,,,则( )
A.1B.C.D.
5．已知向量,,若向量,则实数x的值是( )
A.-2B.C.D.2
6．向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
7．在中，若，则的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
8．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2,若正八边形的边长为2,P是正八边形八条边上的动点,则的最小值为( )
A.B.0C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.若，为单位向量，则
B.若与共线，则或
C.若，则
D.是与非零向量共线的单位向量
10．化简以下各式，结果为的有( )
A.B.
C.D.
11．在锐角中,边长,,则边长c可能的取值是( )
A.B.2C.D.
12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有( )
A.B.
C.D.的面积为
三、填空题
13．已知向量与的夹角为,其中,,则__________．
14．在中,若,则角___________.
15．已知边长为2的正方形,P是棱上的一动点,则__________．
16．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度,某人在教堂的正东方向找到一座建筑物,高约为,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和,在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为,则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为______________.
四、解答题
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,．
（1）若,求B;
（2）若,求b．
18．已知向量,．
（1）求与夹角的大小;
（2）若向量与互相平行,求k的值．
19．已知,,与的夹角为．
（1）求;
（2）若向量与相互垂直,求实数k的值．
20．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知．
（1）求角A的大小;
（2）若,,求a的值;
（3）若,判断的形状．
21．已知在中,点M是边上靠近点的四等分点,点N为中点,设与相交于点P.
（1）请用、表示向量;
（2）设和的夹角为,若,且,求证：.
22．已知a,b,c是的内角A,B,C所对的边,,且满足．
（1）求B;
（2）求面积的最大值．
参考答案
1．答案：A
解析：.
故选：A.
2．答案：C
解析：对A：不存在实数,使得,故和不共线,可作基底;
对B：不存在实数,使得,故与不共线,可作基底;
对C：对与,因为是不共线的两个非零向量,
且存在实数-2,使得,故与共线,不可作基底;
对D：不存在实数,使得,故与不共线,可作基底.
故选：C.
3．答案：C
解析：因为,所以,解得,而,
所以,所以．
故选：C．
4．答案：D
解析：由余弦定理得,
所以．
故选：D．
5．答案：B
解析：,,解得.
故选：B.
6．答案：C
解析：向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
7．答案：D
解析：由正弦定理化简已知的等式得：，，，又A和B都为三角形的内角，或，即或，则为等腰或直角三角形．
8．答案：C
解析：设,,
当P与A重合时,;
当P在线段（除A）、线段、线段,线段,线段（除F）点上运动时,
,,所以,
当P与F重合时,,所以,
以A为原点,、分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
根据正八边形的性质可知,,
则,,,
直线的方程为,直线的方程为,直线的方程为,
当P在线段（除F）上运动时,设,
所以,
当P在线段上运动时,设,
所以,
当P在线段（除A）上运动时,设,
所以.
综上所述,的最小值为.
故选：C.
9．答案：CD
解析：对于A中，向量，的方向不一定相同，所以A错误；对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误；对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确；对于D中，由，可得与向量同向，又由的模等于1，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确.故选CD.
10．答案：ABC
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：ABC.
11．答案：BD
解析：若c边为最大边,则,
,,
若b边为最大边,则,
,,
所以,
所以边长c可能的取值是2、.
故选：BD.
12．答案：ACD
解析：根据正弦定理，由，因为，所以，因此.因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以.
或（舍去）.因此，所以选项C正确；
的面积为，所以选项D正确，故选ACD.
13．答案：3
解析：由题可得：.
故答案为：3.
14．答案：
解析：因为,所以,
又,所以且,
所以,所以,
故答案为：.
15．答案：4
解析：以点A为坐标原点,,所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,
则,,,,
则.
故答案为：4.
16．答案：
解析：由题可得在直角中,,,所以,
在中,,,
所以,
所以由正弦定理可得,所以,
则在直角中,,即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由余弦定理,得,
又,
．
（2）由正弦定理,得,
,
或．
当时,,
;
当时,,
．
综上,或．
18．答案：（1）
（2）或-1
解析：（1）,
因为,所以;
（2）,
,
由于与互相平行,故,
解得或-1,
经检验,均满足要求.
19．答案：（1）2;
（2）.
解析：（1）根据题意,,
又.
（2）根据题意,,即,,解得.
20．答案：（1）;
（2）;
（3）正三角形．
解析：（1）因为在三角形中,,,所以;
（2）根据余弦定理,,,,解得;
（3）因为,,
化简得,则,
又由(1)可知,,所以为正三角形.
21．答案：（1）.
（2）证明见解析.
解析：（1）.
（2）,
,.
22．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为,
由正弦定理可得
即,又,,
则,又,,故,又,故.
（2）由（1）可知,,,
由余弦定理可得：,即,
又,则,故,当且仅当时取得等号;
又,故面积最大值为.