天津市武清区杨村第三中学2023-2024学年高一下学期第一次过程性评价数学试卷(含答案)

这是一份天津市武清区杨村第三中学2023-2024学年高一下学期第一次过程性评价数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足,则z的模为( )
A.1B.C.D.2
2．设x,,向量,,,且,,则( )
A.-2B.1C.2D.0
3．已知非零向量,满足,且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
4．已知向量,,且,若,则在方向上的投影向量的坐标是( )
A.B.C.D.
5．在中,,且,M是的中点,O是线段的中点,则的值为( )
A.0B.C.D.
6．在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若角A,C,B满足,且,则的形状为( )
A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形
7．如图,在中,,,P为上一点,且,若,,则的值为( )
A.B.C.D.
8．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且的面积,,则( )
A.B.C.2D.-2
9．在平面四边形中,,,.若E、F为边BD上的动点,且,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．如果（,i表示虚数单位）,那么_____________.
11．若向量与的夹角为钝角,则的取值范围是_________．
12．已知单位向量、满足,则___________.
13．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则__________．
14．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度,某人在教堂的正东方向找到一座建筑物,高约为,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和,在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为,则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为______________.
三、双空题
15．在平行四边形中,,E是的中点,,若设,,则可用,表示为__________;若的面积为,则的最小值为___________．
四、解答题
16．已知复数（i为虚数单位）,求适合下列条件的实数m的值;
（1）z为实数;
（2）z为虚数;
（3）z为纯虚数．
（4）若z在复平面内对应的点在第二象限,求m的取值范围．
17．已知向量,．
（1）求;
（2）若向量,且,求向量的坐标;
（3）若向量与相互垂直,求实数k的值．
18．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,．
（1）求的值;
（2）求a的值;
（3）求的值．
19．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.
（1）求的值;
（2）若,且的面积为,求的值.
20．如图,中,,,D是的中点,,AB与交于点M.
（1）用,表示;
（2）设,求的值;
（3）若,求的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：复数z满足,,
所以．
故选：B．
2．答案：D
解析：因为向量,,,且,,
所以,解得,,
所以.
故选：D.
3．答案：B
解析： ,
,
,
∵,
.
故选：B．
4．答案：A
解析：,故,解得,所以,
则在方向上的投影向量为.
故选：A.
5．答案：C
解析：如图,以A为原点,,所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,
则,,,
因为M是的中点,所以,
因为O是线段的中点,所以,
所以,,,
所以,
所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：由题意可知,,则,
因为,所以由正弦定理得,
则由余弦定理得,则,
所以,所以,
故为等边三角形．
故选：C．
7．答案：D
解析：因为,所以
所以,
因为,所以,
即,
因为P,C,D三点共线,所以,解得,
所以,
而,
所以,
即.
故选：D.
8．答案：D
解析：的面积,
,
,
则,
,
,
,
,,,
,
．
故选：D．
9．答案：A
解析：如图,设,交于O.不妨设E点到B点的距离大于F点到B点的距离.
由可知且,所以平面四边形是平行四边形.
设,,因为,
所以,
所以,所以平面四边形是菱形.
又因为,即,
所以,因为,所以,
所以,,
因为,所以.
所以
当,即E点在B处或F点在D处时,有最大值1,
因为,
当且仅当时等号成立,所以有最小值.
所以的取值范围为.
故选：A.
10．答案：1
解析：由于,
结合题意可得：,由复数相等的充分必要条件可得：.
故答案为:1．
11．答案：;
解析：根据题意,若与的夹角为钝角,则且与的方向不相反,
则有,解可得且,即的取值范围是;
故答案为：．
12．答案：-1
解析：因为、为单位向量,且,
所以,所以,
因此,.
故答案为：-1.
13．答案：
解析：由余弦定理可得,
所以,
于是有.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题可得在直角中,,,所以,
在中,,,
所以,
所以由正弦定理可得,所以,
则在直角中,,即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：.
15．答案：①.②.
解析：如图所示,根据向量的运算法则,
可得,
设,,因为的面积为,可得,即,
又由
,当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为.
故答案为：;.
16．答案：（1）或;
（2）且;
（3）
（4）
解析：（1）当z为实数时,,解得或;
（2）当z为虚数时,,解得且;
（3）当z为纯虚数时,,解得.
（4）由题意得,解得.
17．答案：（1）-2
（2）或
（3）
解析：（1）,,.
（2）设,由,且得,
解得,或,故,或.
（3）若向量与相互垂直,则,
即,所以,
即,故．
18．答案：（1）
（2）6
（3）
解析：（1）根据C为三角形的内角可得,
根据正弦定理得;
（2）根据余弦定理,
解得,（负值舍去）;
（3）因为,所以B为锐角,
所以,
所以,
,
所以.
19．答案：（1）
（2）4
解析：（1）因为,
所以由正弦定理得,
即,
因为,则,所以.
（2）由（1）知,
又,所以,
因为面积为,
所以,得,
又,所以由,得,
所以,即,
又,,所以.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）.
（2）因为E,M,D三点共线,所以,解得.
（2）,由（1）可知,
所以,得,
则,
所以
所以的最大值为.