2024年江苏省扬州市邗江区中考一模数学模拟试题（含答案及解析）

这是一份2024年江苏省扬州市邗江区中考一模数学模拟试题（含答案及解析），共38页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 古典园林中花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 有一组数据、、、、、，其中是最小值，是最大值，若去掉和，下列各数值中与原数值一定相等的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
6. 《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛头，羊头，共值金两；牛头，羊头，共值金两．问：牛、羊每头各值金多少？如果设每头牛值金两，每只羊值金两，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数的图像上，若，则k的值为（ ）
A. B. C. D. 24
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 年扬州经济运行大数据发布：地区生产总值元，数据用科学记数法表示为________．
10. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
11. 因式分解：________
12. 将直尺和直角三角板如图放置，已知，，则________

13. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．设大象的重量为x（N），若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为________（N）（用含k的代数式表示）．
14. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是______．
15. 如图，与正五边形的边分别相切于点F，G．点H是优弧上任意一点，则________°．
16. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则这个圆锥侧面积是底面积的________倍．
17. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在、处，，垂足为F．若，，则________．
18. 已知点，，在二次函数图象上，则方程的解为______
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算或化简：
（1）；
（2）．
20. 解不等式组：，并写出它的最大整数解．
21. 某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取________人；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，则A等级所在扇形圆心角的度数为________；
（3）该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级共有多少人．
22. 为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，坚持“五育并举”，培养学生勤俭、奋斗、创新、奉献的劳动精神，某校开设了“劳以启智、动以润心”劳动教育课程、小明对其中的A种植、B烹饪、C陶艺、D木工4门课程都很感兴趣，若每门课程被选中的可能性相等．
（1）小明从4门课程中随机选择一门学习，恰好选中B烹饪的概率为________；
（2）小明从4门课程中随机选择两门学习，用画树状图或列表的方法，求他恰好选中B烹饪、C陶艺的概率．
23. 年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
24. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求阴影部分的面积．
26. 阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．

图1 图2 图2备用图
（1）如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
（2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且．
①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算）
27. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
（3）如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
28. 综合与实践：
【问题情境】
数学活动课上，同学们发现以下结论：如图，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点，那么和数量关系是________，和位置关系是________；
思考尝试】
如图，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，直接写出与的数量关系________；
【实践探究】
如图，四边形和四边形都是矩形，若，连接．求出与的数量关系；
【拓展迁移】
如图，在【实践探究】的基础上，若，，如果所在直线相交于点，请直接写出矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值________．
2023-2024学年度九年级数学一模试卷（解析版）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的倒数是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的非负性，第四象限点坐标的特征．熟练掌握绝对值的非负性，第四象限点坐标的特征是解题的关键．
由题意知，，则，进而判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴在第四象限，
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算法则，熟练掌握这些知识点是解题关键．根据运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，故A不符合题意；
B、，原式计算错误，故B不符合题意；
C、，原式计算错误，故C不符合题意；
D、，原式计算正确，故D符合题意．
故选：D．
4. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5. 有一组数据、、、、、，其中是最小值，是最大值，若去掉和，下列各数值中与原数值一定相等的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，此题关键是了解中位数的定义．根据中位数的定义：一组数据从小到大或者从大到小排列，位于中间位置或中间两数的平均数．
【详解】解：先去掉一个最大值，去掉一个最小值，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数．
故选：B．
6. 《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛头，羊头，共值金两；牛头，羊头，共值金两．问：牛、羊每头各值金多少？如果设每头牛值金两，每只羊值金两，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每头牛值金两，每只羊值金两，根据题意，列出方程组即可，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，
由题意可得，，
故选：．
7. 如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
由题意知，第三个长方形的宽为，依题意得，，计算求解然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，第三个长方形的宽为，
∵围成如图②所示三棱柱形物体，
∴，，
解得，，
故选：C．
8. 如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数的图像上，若，则k的值为（ ）
A. B. C. D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．作轴于点N，过点C作于点M，先求得每个小正方形的边长，再求得，，利用相似三角形的性质结合勾股定理求得点E的坐标，据此求解即可．
【详解】解：作轴于点N，过点C作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设“L”型模具中小正方形的边长为m，
则，
解得：负值舍去，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
同理得：，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 年扬州经济运行大数据发布：地区生产总值元，数据用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故答案为：．
10. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】x≠5
【解析】
【详解】试题分析：依题意得：x﹣5≠0，解得x≠5．故答案为x≠5．
考点：分式有意义的条件．
11. 因式分解：________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解；首先提取公因式，再用平方差公式“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：原式
；
故答案：．
12. 将直尺和直角三角板如图放置，已知，，则________

【答案】##40度
【解析】
【分析】由，，根据等角的余角相等，得到，结合，代入，即可求解，
本题考查了，根据等角的余角相等，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：标记直尺的两个顶点、，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．设大象的重量为x（N），若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为________（N）（用含k的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列代数式．根据题意正确的列代数式是解题的关键．
依题意知，，设移动后弹簧秤读数为，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：依题意知，，
设移动后弹簧秤读数为，
依题意得，，
解得，，
故答案为：．
14. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】设每小格的面积为1，易得整个面积为9，黑色区域的面积3，然后根据概率的定义（反映随机事件出现的可能性大小）计算即可．
【详解】解：设每小格的面积为1，
∴整个墙的面积为9，
黑色区域的面积为3，
∴最终停在黑色区域上的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率．
15. 如图，与正五边形的边分别相切于点F，G．点H是优弧上任意一点，则________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形内角和，切线的性质，圆周角定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
由题意知，，如图，连接，由切线的性质可得，则，由圆周角定理可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
如图，连接，
∵与正五边形的边分别相切于点F，G，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则这个圆锥侧面积是底面积的________倍．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积和底面积，求弧长，该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其展开图所得扇形的弧长得到，则，再分别求出圆锥的侧面积和底面积即可得到答案．
【详解】解：该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，
由题意得，，
∴，
圆锥的侧面积为，底面积为，
∴这个圆锥侧面积是底面积的4倍，
故答案为：4．
17. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在、处，，垂足为F．若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形性质，折叠的性质，解直角三角形，根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，求出，再根据三角函数即可得到答案；
【详解】解：过作所在直线于点Q，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为______
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，由可得，进而得到二次函数为，由二次函数的对称性可得二次函数的对称轴为直线，把方程转化为，即可得为二次函数图象上的点，得到是方程的一个解，利用对称性即可得到方程的另一个解，即可求解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【详解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴二次函数为，
∵，在二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为直线，
由方程可得，，
∵点为二次函数图象上的点，
∴是方程一个解，
即为方程的的一个解，
设方程的另一个解为，
由可得，，
∴方程的另一个解为，
∴方程的解为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算或化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，整式运算；
（1）先由特殊角的三角形函数值、零次幂进行运算，化简二次根式，再进行计算，即可求解；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解；
掌握，()，，是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【答案】，最大整数解为5．
【解析】
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
分别解不等式，求解集的公共部分，再找出整数解即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
故原不等式组的解集为：．
所以不等式组的最大整数解为5．
21. 某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取________人；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，则A等级所在扇形圆心角的度数为________；
（3）该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级共有多少人．
【答案】（1）60 （2）补全条形图见解析；
（3）900
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，得到必要的信息是解题的关键.
（1）用D等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的人数；
（2）由（1）得这次抽样调查共抽取的人数是60人，再根据C等级的百分比即可得出C等级的人数，补全条形统计图即可，再求出A等级的百分比，利用圆周角即可求出A等级所在扇形圆心角的度数；
（3）先求出A等级的百分比，再求出A等级和B等级的百分比和，即可得出答案.
【小问1详解】
解：根据条形统计图得D等级的人数有6人，根据扇形统计图得D等级的百分比是，
所以这次抽样调查共抽取的人数是：(人)；
【小问2详解】
解：由（1）得这次抽样调查共抽取的人数是60人，由扇形统计图得C等级的百分比是，
C等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：

根据扇形统计图得：，
故A等级的百分比为，
所以A等级所在扇形圆心角的度数为：；
【小问3详解】
解：根据扇形统计图得：，
故A等级的百分比为，
所以该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级共有：（人），
答：该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级共有900人.
22. 为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，坚持“五育并举”，培养学生勤俭、奋斗、创新、奉献的劳动精神，某校开设了“劳以启智、动以润心”劳动教育课程、小明对其中的A种植、B烹饪、C陶艺、D木工4门课程都很感兴趣，若每门课程被选中的可能性相等．
（1）小明从4门课程中随机选择一门学习，恰好选中B烹饪的概率为________；
（2）小明从4门课程中随机选择两门学习，用画树状图或列表的方法，求他恰好选中B烹饪、C陶艺的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可求解，
（2）列表得出所以可能的情况，及恰好选中B烹饪、C陶艺的情况数量，应用概率公式，即可求解，
本题考查了，列表法或树状图法求概率，用概率公式求概率，解题的关键是：熟练掌握列表法、树状图法求概率．
【小问1详解】
解：根据题意得，恰好选中B烹饪的概率为：，
故答案为：，
【小问2详解】
解：列表如下：
由表可知，总共有12种情况，其中恰好选中B烹饪、C陶艺的情况有2种，
∴好选中B烹饪、C陶艺的概率为：，
故答案为：．
23. 年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
【答案】第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元；
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，根据数量等量关系列式求解即可得到答案；
【详解】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，由题意可得，
，
解得：，
经检验是方程的解，
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元．
24. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接交于，则，证明，则，证明，则，进而结论得证；
（2）由，可得，即，由菱形的性质可知，，，由勾股定理得，，可求，则，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接交于，
∵平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，即，
∵四边形是菱形；
∴，，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正切，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正切，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等：
（1）连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可得到证明；
（2）连接，由为直径，得到，进而求出，再求出，则，，证明是等边三角形，得到，最后根据进行求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
．
26. 阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．

图1 图2 图2备用图
（1）如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
（2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且．
①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算）
【答案】（1）见详解 （2）①见详解②
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；
（1）作出的平分线交于，即可求解；
（2）①连接，作的垂直平分线，过作的垂线，交的垂直平分线于，即可求解；
②由可判定，由全等三角形的性质得，，由可判定，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解；
掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
是所求作的点；
【小问2详解】
解：①如图，
是所求作的点；
②如图，
由图得：，
，，
由作图过程得：
，
，
在和中
，
()，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
故答案：．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
（3）如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合：
（1）把抛物线设为顶点式即可得到答案；
（2）先求出，进而求出直线解析式为；如图所示，过点D作轴，交于E，设，则，可得；进而得到，据此可得答案；
（3）利用勾股定理得到，，，则，可得，利用三角形外角的性质证明，进而证明，得到，设，则，可得，则当时，有最大值，最大值为1，即点F的横坐标的最大值为．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，解得或，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
如图所示，过点D作轴，交于E，
设，则，
∴；
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1；
小问3详解】
解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为1，
∴点F的横坐标的最大值为．
28. 综合与实践：
【问题情境】
数学活动课上，同学们发现以下结论：如图，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点，那么和数量关系是________，和位置关系是________；
【思考尝试】
如图，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，直接写出与的数量关系________；
【实践探究】
如图，四边形和四边形都是矩形，若，连接．求出与的数量关系；
【拓展迁移】
如图，在【实践探究】的基础上，若，，如果所在直线相交于点，请直接写出矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值________．
【答案】问题情境：，；思考尝试：；实践探究：；拓展迁移：．
【解析】
【分析】问题情境：证明，得到，，进而推导出，得到，即可得到；
思考尝试：证明四边形为平行四边形，得到，由勾股定理得到，即可得到；
实践探究：过点作，并使得，证明，得到，进而得到，即可得到，又由勾股定理得到，即得到；
拓展迁移：由作图可得，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，点重合，此时最大，最小，即的长最小，
，由勾股定理求出，再根据即可求解．
【详解】解：【问题情境】
∵等腰和等腰，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
【思考尝试】∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【实践探究】如图，过点作，并使得，则，连接，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【拓展迁移】解：如图，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，点重合，此时最大，
∵，
∴此时最小，即的长最小，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．调查目的
提高学生的防诈骗意识
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分初中生
调查内容
学校组织学生参加了“防诈骗知识竞答”活动
成绩分为四个等级：A（很强），B（强），C（一般），D（弱）
调查结果


建议
…
调查目的
提高学生的防诈骗意识
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分初中生
调查内容
学校组织学生参加了“防诈骗知识竞答”活动
成绩分为四个等级：A（很强），B（强），C（一般），D（弱）
调查结果


建议
…
A
B
C
D
A
B
C
D