2023年山东省淄博市周村实验中学中考数学一模试卷

这是一份2023年山东省淄博市周村实验中学中考数学一模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．（π+5）0D．
2．（4分）如图图案，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）上网搜索“淄博烧烤”，网页显示找到相关结果约31600000个．数据31600000用科学记数法表示为（ ）
A．3.167B．3.16×106C．3.16×107D．31.6×106
4．（4分）已知a+b＜0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（a，b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（﹣a，﹣b）
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，点F是斜边BC的中点，以AF为边作正方形ADEF．若S正方形ADEF＝25，则tanC＝（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，⊙M和⊙N都经过A，B两点，且点N在⊙M上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙N于点P，连接AB，BC，BP．若∠APB＝30°，AB＝3，则MN长为（ ）
A．B．3C．D．
7．（4分）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
A．5cmB．10cmC．20cmD．5πcm
8．（4分）如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE＝2BE，则∠E的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB＝GE，若BE+CG＝10，＝，则AF的长为（ ）
A．1B．C．D．2
10．（4分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ ．
12．（4分）若3a﹣b＝1，则6a﹣2b+1的值为 ．
13．（4分）如图，AB∥CD，AE交CD于点F，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E＝ ．
14．（4分）已知一组数据2，a，4，5的众数是5，则这组数据的平均数为 ．
15．（4分）如图，某下水管道的横截面为圆形，水面宽AB的长为8dm，水面到管道上部最高处点D的距离为2dm，则管道半径为 dm．
16．（4分）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8﹣x＝x、7+x＝3（x+）都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ．
三、解答题
17．（10分）先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3），其中．
18．（10分）小明和小亮各自去往电影院看电影，发现有三场电影正在热播（均有票），它们分别是A：《流浪地球2》，B：《满江红》，C：《深海》，请用树状图或列表的方法求两人观看同一影片的概率．
19．（16分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取 名学生，a的值为 ；
（2）在扇形统计图中，n＝ ，E组所占比例为 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
20．（12分）已知：AC是▱ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．
21．（12分）如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，直线PA与⊙O的另一个交点为点B，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接CD并延长交直线PA于点M，连接OD．
（1）求证：OD∥BM；
（2）若，⊙O的直径为4，求AB的长度．
22．（12分）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，点A（﹣3，a）在反比例函数图象上，连接OA，将OA绕点O逆时针旋转90°到OB，若反比例函数经过点B．求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接AQ，抛物线上是否存在点M，便得∠MAQ＝45°，若存在，求出点M的横坐标．
23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出AB＝ ；当点P落在AC边上时，AD的长为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的两个三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长．
2023年山东省淄博市周村实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．
1．【解答】解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．（π+5）0＝1，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：选项A、B、C的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
3．【解答】解：31600000＝3.16×107．
故选：C．
4．【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0．
A、（a，b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、（a，﹣b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C、（﹣a，b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、（﹣a，﹣b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．【解答】解：∵S正方形ADEF＝25，
∴AF＝5，
在Rt△ABC中，点F是斜边BC的中点，
∴BC＝2AF＝10，
∵AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴tanC＝＝＝，
故选：C．
6．【解答】解：连接MN，AN，BN，过点M作MD⊥AN于D，如图所示：

∵⊙M和⊙N都经过A，B两点，∠APB＝30°，AB＝3，
∴∠ANB＝2∠P＝60°，
又∵AN＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴AN＝AB＝3，
∴△ABN内接于⊙M，
∴点M为等边△ABN的外心，
∴MN平分∠ANB，MD垂直平分AN，
∴∠MND＝30°，DN＝AN＝1.5，
∴cs∠MND＝DN/MN，
∴MN＝＝＝．
故选：C．
7．【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，
则由题意得R＝30，由Rl＝300π得l＝20π；
由2πr＝l得r＝10cm；
故选：B．
8．【解答】解：连接OC，
∵CE切⊙O于点E，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2，
∵CE＝2BE，
∴BE＝CE，
∴OC＝OB＝OE﹣BE＝OE﹣CE，
∴（OE﹣CE）2+CE2＝OE2，
整理得CE（CE﹣OE）＝0，
∵CE≠0，
∴CE﹣OE＝0，
∴OE＝CE，
∴csE＝＝＝，
∴∠E的余弦值为，
故选：B．
9．【解答】解：过点G作GH⊥BE，垂足为点H，
设BE＝2x，
∵BE+CG＝10，＝，
∴CG＝10﹣2x，AG＝3x，
∴AC＝CG﹣AG＝10﹣5x，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC＝10﹣5x，CD＝DE＝CE＝BC﹣BE＝10﹣7x，∠ABC＝∠DEC＝∠C＝60°，
∵GB＝GE，GH⊥BE，
∴BH＝HE＝x，
∴CH＝CE+HE＝10﹣6x，
∵∠GHC＝90°，∠C＝60°，
∴∠HGC＝30°，
∴CH＝CG，
∴10﹣6x＝（10﹣2x），
∴x＝1，
∴AG＝3x＝3，CG＝10﹣2x＝8，CD＝DE＝10﹣7x＝3，
∴GD＝CG﹣CD＝5，
∵∠ABC＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∴△GDF∽△GDE，
∴，
即，
∴AF＝．
故选：C．
10．【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝＝
∴FG＝
∴CG＝﹣1
∴＝
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．【解答】解：原式＝x•x﹣x•3
＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
12．【解答】解：∵3a﹣b＝1，
∴6a﹣2b＝2．
∴6a﹣2b+1＝2+1＝3．
故答案为：3．
13．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFD是△CEF的一个外角，
∴∠EFD＝∠E+∠C，
∵∠C＝25°，
∴∠E＝∠EFD﹣∠C＝60°﹣25°＝35°，
14．【解答】解：∵这组数据2，a，4，5的众数是5，
∴a＝5，
∴这组数据的平均数为：
（2+5+4+5）÷4
＝16÷4
＝4．
故答案为：4．
15．【解答】解：如图，连接OD，OB，OD与AB交于C，则AC＝BC＝AB＝4dm，CD＝2dm，
设⊙O的半径为rdm，则OC＝（r﹣2）dm，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OC2+BC2＝OB2，
即（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即半径为5dm，
故答案为：5．
16．【解答】解：解方程8﹣x＝x，得：x＝4，
解方程7+x＝3（x+），得：x＝3，
由x﹣2≤m，得：x≤m+2，
由x＜2x﹣m，得：x＞m，
∵x＝3、x＝4均是不等式组的解，
∴m＜3且m+2≥4，
∴2≤m＜3，
故答案为：2≤m＜3．
三、解答题
17．【解答】解：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3）
＝a2+2a+1﹣（a2﹣9）
＝a2+2a+1﹣a2+9
＝2a+10，
当时，
原式＝﹣×2+10
＝﹣1+10
＝9．
18．【解答】解：列表得：
由列表可知共有9种等可能的结果，其中两人观看同一影片的结果有3种，
所以小明和小亮的选择观看同一影片的概率为．
19．【解答】解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，
因此调查人数为：15÷10%＝150（人），
a＝150×8%＝12（人），
故答案为：150，12；
（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，
“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，
故答案为：144，4；
（3）b＝a+15＝27（人），
“C组”频数为：150×30%＝45（人），
“E组”频数为：150×4%＝6（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（4）1500×＝660（人），
答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．
20．【解答】解：（1）如图，CE为所作；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC，
∴△DCE的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．
21．【解答】（1）证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠MAD＝∠ODA，
∴OD∥BM；
（2）解：如图，连接BC，
，
∵AC为⊙O的直径，⊙O的直径为4，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝4，
∵，
∴，
令AD＝x，则CD＝2x，
由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝42，
解得：，
∴，，
∵OD∥BM，
∴∠M＝∠ODC，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠M＝∠OCD，
∴AM＝AC＝4，
∵∠ADC＝90°，
∴，
∵BC2＝CM2﹣（AM+AB）2，BC2＝AC2﹣AB2，
∴AC2﹣AB2＝CM2﹣（AM+AB）2，即，
解得：．
22．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
又∵AB＝BE，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）解：如图2，分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D．

将A（﹣3，a）代入得：a＝﹣1，
∴A（﹣3，﹣1），AC＝1，OC＝3．
同（1）可得△ACO≌△ODB，
∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝3，
∴B（1，﹣3），
∵反比例函数经过点B（1，﹣3），
∴k＝﹣3，
∴；
（3）解：抛物线上存在点M，使得∠MAQ＝45°，理由如下：
如图3，当M点位于x轴上方，且∠MAQ＝45°，过点Q作QD⊥AQ，交MA于点D，过点D作DE⊥y轴于点E．

∵∠MAQ＝45°，QD⊥AQ，
∴∠MAQ＝∠ADQ＝45°，
∴AQ＝QD，
∵DE⊥y轴，QD⊥AQ，
∴∠AQO+∠EQD＝∠EQD+∠QDE＝90°，∠AOQ＝∠QED＝90°，
∴∠AQO＝∠QDE，
∵AQ＝QD，
∴△AQO≌△QDE（AAS），
∴AO＝QE，OQ＝DE，
令y＝x2+2x﹣3＝0，得x1＝﹣3，x2＝1，
∴AO＝QE＝3，
又∵Q（0，﹣1），
∴OQ＝DE＝1，
∴D（1，2），
设AM为y＝kx+b，则，
解得：，
∴AM：y＝x+，
令＝x2+2x﹣3，得x1＝，x2＝﹣3（舍去），
当x＝时，y＝＝，
∴；
如图4，当M点位于x轴下方，且∠MAQ＝45°，

同理可得D（﹣1，﹣4），AM为y＝﹣2x﹣6．
由﹣2x﹣6＝x2+2x﹣3，得x1＝﹣1，x2＝﹣3（舍去），
∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，
∴M（﹣1，﹣4）．
综上：M的坐标为或（﹣1，﹣4）．
23．【解答】解：（1）∵△ABC是直角三角形，10AC＝20，BC＝15，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴，
∵∠ACB＝90°，10AC＝20，PD⊥AB
∴即，
解得AD＝4t，
故答案为：25，4t；
（2）由题意可知点E落在BC上，如图1所示，
∵动点P的运动速度为5个单位/s，
∴AP＝5t，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△APD∽△ABC，
∴＝，
∴＝＝，
∴，
∴DB＝AB﹣AD＝25﹣4t，
∵∠ADP＝∠EPD＝90°，
∴AD∥PE，
又∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，四边形APED为平行四边形，
∴＝，DE＝AP＝5t，
∴＝，
解得：，
此时；
（3）①当点P在AC上时，由（2）中可知：AP＝5t，四边形APED是平行四边形，PE＝AD＝4t，DE＝AP＝5t，设直线PE与BC的交点为E′，
∴∠A＝∠CPE，PC＝AC﹣AP＝20﹣5t，
∵∠ADP＝∠C＝90°，结合已知条件可知：△APD≌△PE′C，
∴PE′＝AP＝5t＞PE，
∴点E在△ABC内部，即此时△PDE与△ABC重叠部分图形的周长即为△PDE的周长，如图2所示，
∵△APD≌△PE′C，
∴AD＝PC，
即4t＝20﹣5t，
解得，，
∴PE＝4×＝，DE＝AP＝5×＝，
∴DP＝＝，
∴此时重叠部分的周长为；
②当点P在BC上时，
∵动点P的运动速度为5个单位/s，
∴AC+CP＝5t，
∴BP＝AC+CB﹣5t＝35﹣5t，
∵PD⊥AB，
∴∠BDP＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△BPD∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝21﹣3t，
∴AD＝AB﹣BD＝3t+4，
∵∠BDP＝∠EPD＝90°，
∴BD∥PE，
又∵DE∥BC10，
∴△ADE∽△ABC，四边形DEPB为平行四边形，
∴，DE＝BP＝35﹣5t，PE＝BD＝21﹣3t，DE＝BP＝35﹣5t，
设直线PE与AC的交点为E′，
∴∠B＝∠CPE，PC＝BC﹣BP＝5t﹣20，
∵∠BDP＝∠C＝90°，结合已知条件可知：△BPD≌△PE′C，
∴PE′＝BP＞BD＝PE，
∴点E在△ABC内部，即此时△PDE与△ABC重叠部分图形的周长即为△PDE的周长，
如图3所示，
∵△BPD≌△PE′C，
∴BD＝PC，
即21﹣3t＝5t﹣20，
解得，，
∴PE＝＝，DE＝35﹣5×＝，
∴DP＝＝，
∴此时重叠部分的周长为PD+DE+PE＝＝；
综上：当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，△PDE与△ABC重叠部分图形的周长或．
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）