中考数学一轮复习 题型举一反三 专题03 分式【八大题型】（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc4648" 【题型1 分式有、无意义的条件】 PAGEREF _Tc4648 \h 2
\l "_Tc23189" 【题型2 分式的值为0的条件】 PAGEREF _Tc23189 \h 2
\l "_Tc19062" 【题型3 分式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc19062 \h 3
\l "_Tc4172" 【题型4 分式的运算】 PAGEREF _Tc4172 \h 3
\l "_Tc27533" 【题型5 分式的化简求值】 PAGEREF _Tc27533 \h 4
\l "_Tc19441" 【题型6 分式运算的实际应用】 PAGEREF _Tc19441 \h 4
\l "_Tc11010" 【题型7 分式中的规律探究】 PAGEREF _Tc11010 \h 5
\l "_Tc18690" 【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】 PAGEREF _Tc18690 \h 6
【知识点 分式】
1.分式的定义
一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 （C≠0）。
3.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4.分式的乘除
①乘法法则： SKIPIF 1 < 0 。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则： SKIPIF 1 < 0 。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方： SKIPIF 1 < 0 。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂： SKIPIF 1 < 0 。
5.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减： SKIPIF 1 < 0 ；
②异分母分式的加法： SKIPIF 1 < 0 。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式有、无意义的条件】
【例1】（2023·吉林·统考中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·湖北·统考中考真题）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【变式1-3】（2023·四川·统考中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个B．3个C．4个D．2个
【题型2 分式的值为0的条件】
【例2】（2023·四川凉山·统考中考真题）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0B．C．1D．0或1
【变式2-1】（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．1B．0C．D．
【变式2-2】（2023·浙江金华·统考一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当时分式的值为0”，请写出一个这样的分式 ．
【变式2-3】（2023·山东枣庄·校考一模）若分式 的值为0，则 x的值是（ ）
A．3 B． C．D．或
【题型3 分式的基本性质的运用】
【规律方法】
分式化简的方法：
寻找分子、分母的最大公因式；
根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以（或除以）最大公因式，分式的值不变。
【例3】（2023·河北·统考中考真题）若，则下列分式化简正确的是（ ）
B．C．D．
【变式3-1】（2023·湖南·中考真题）若，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【变式3-2】（2023·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：＝ ．
【题型4 分式的运算】
【例4】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【变式4-1】（2023·贵州·统考中考真题）化简结果正确的是（ ）
A．1B．C．D．
【变式4-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简： ．
【变式4-3】（2023·湖北·统考中考真题）关于式子，下列说法正确（ ）
A．当时，其值为B．当时，其值为
C．当时，其值为正数D．当时，其值为负数
【题型5 分式的化简求值】
【例5】（2023·福建·统考中考真题）已知，且，则的值为 ．
【变式5-1】（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
【变式5-2】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知，求的值．
【变式5-3】（2023·四川成都·统考中考真题）若，则代数式，的值为 ．
【题型6 分式运算的实际应用】
【例6】（2023·河北廊坊·统考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是．
(1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
【变式6-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为米的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
【变式6-2】（2023·江苏·统考中考真题）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．
(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，
【变式6-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．
（2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．
【题型7 分式中的规律探究】
【例7】（2023·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
【变式7-1】（2023·山东·中考真题）观察下列各式：， 根据其中的规律可得 （用含n的式子表示）．
【变式7-2】（2023·湖北恩施·统考一模）对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算： ．
【变式7-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：
①， ②，
③， ④，
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明.
【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】
【例8】（2023·浙江杭州·模拟预测）规定一种新的运算“”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时．；当A的次数等于B的次数时，的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，不存在，例如：，，若，则的值为 ．
【变式8-1】（2023·河北·统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：，按照此规定，化简的结果为（ ）
A．B．C．D．1
【变式8-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
(2)若分式 与互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
【变式8-3】（2023·四川·统考中考真题）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）；
① ② ③ ④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____________+________________；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．