中考数学一轮复习 题型举一反三 专题17 函数综合测试卷（2份打包，原卷版+解析版）

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选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·四川成都·统考二模）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由纵坐标为0可得：，进而求解m的值，则问题得解．
【详解】解：由点P在直角坐标系的轴上，可得：
，解得：，
，
点；
故选A．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里x轴上点的坐标特点是解题的关键．
2．（3分）（2023·湖北恩施·统考一模）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．C．或D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且，
故选：A．
【点睛】本题考查的函数的自变量的取值范围，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，求解不等式组的解集，熟练的根据代数式有意义的条件求解函数的自变量的取值范围是解本题的关键．
3．（3分）（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的一次函数与（都为常数，且都不为0）．函数满足（m为常数），下列说法正确的是（ ）
A．若，当时，
B．若，恒过定点
C．若，则与的函数图像一定都有交点
D．若是与函数图像的交点，则也在函数图像上
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的性质求解．
【详解】解：
A：当时，有，
故A是错误的；
B：当时，有，
，故B是错误的；
C：设，
，
若，且或1，则，则与的函数图象都没有交点，
故C是错误的；
D：是函数图象的交点，
当时，，
也在函数图象上，
故D是正确的；
故选：D．
4．（3分）（2023·安徽·统考一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）

B．
C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得一次函数图象经过的象限以及反比例函数图象所在的象限．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴直线经过第一，二，四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系，解题的关键是判断出a，b，c的符号．
5．（3分）（2023·广东东莞·统考一模）如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解，根据题意结合图形，分别求出两个时间段的函数关系式，由抛物线开口方向判断是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
过点B作于H，
∴，
∴，
当时，由题意得，，
∴是等边三角形，
同理可得，
∴
当时，
由菱形的性质可得，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：．
6．（3分）（2023·广东佛山·校考一模）如图，抛物线（）与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．
根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为．根据抛物线对称轴在y轴右侧，则，而抛物线与y轴交点在正半轴，可得，则，从而可判断选项①；根据抛物线对称轴可得，又抛物线与x轴交于点，从而得到，因此，从而可判断选项②；观察抛物线与x轴的交点可判断选项③；从图象看，当时，，当时，，从而可判断选项④．综上即可解答．
【详解】根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为；
①函数对称轴在y轴右侧，则，而，故，故①正确；
②∵抛物线对称轴，即，
而时，，即，
∴，
∴．
故②正确；
③由图象知，当时，x的取值范围是，
故③错误；
④从图象看，当时，，
当时，，
∴，
故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④，共3个．
故选：C
7．（3分）（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点C作于点M，延长交于点N，先根据题意求出的长，再求出的长即可求出答案．
【详解】解：如图，过点C作于点M，延长交于点N，
令，则，
解得，
∴点D的坐标为，
∵点B为线段的中点，
，
是等边三角形，
，
又∵，
∴，
∴，
将代入，
得，
即，
∴，
即点C平移的距离为．
故选：C．

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等边三角形的性质和平移的性质解答．
8．（3分）（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（ ）

A．2B．3C．4D．
【答案】A
【分析】设，，则，根据已知条件，求出，，，根据，即可求出，连接，设与轴交于点，根据已知条件证明，得出，根据已知条件证明，过点A作轴于点M，求出，即可求出k的值．
【详解】解：设，，，
∵，轴，
，
设AB的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∵，
，
设的关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴的关系式为：，
联立，
解得：或，
∵点D在第一象限，
∴，
，
连接，设与轴交于点，
，
∵，
，
为的中点，，
，
，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
过点A作轴于点M，
∵，，，
∴，
，
，
，
∴．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出，是解题的关键．
9．（3分）（2023·山东济南·统考三模）新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】依据二函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于0，可初步确定m的取值范围，然后再依据自变量x的取值范围进一步确定m的取值范围，即可求解．
【详解】∵抛物线与线段有公共点，
∴抛物线与平行于x轴的线段相切或者相交．
代入中，
即关于x的二次方程有两个相等或者不等的实数根．
整理上述关于x的二次方程得，．①
∴对于①式，，
即，．

将①式整理成关于m的二次方程：
，则关于m的判别式：
，解得：．
结合x的已知取值范围得出：
线段 与抛物线有公共点的取值范围为：．
观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时， 正好是线段 与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是．
把代入方程①式：，
可求得，即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置．
因此，m的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．
10．（3分）（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，在中从左向右依次作正方形，，…，，点在轴上，点在轴上，点在直线上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为，则可表示为( )

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用每个小正方形的边都与坐标轴平行， ，可得到每组小正方形的边长都是该组直角三角形的两直角边之差，利用的坐标探索边长的规律，进而求面积．
【详解】解：直线的关系式为：
，，， ，
，
每个小正方形的边都与坐标轴平行，
，
每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，
每组小正方形的边长都是该组直角三角形两直角边之差，
正方形中，设点，
，
将点代入直线，
，，
正方形中阴影正方形边长为：，
阴影部分面积；
正方形中，设点，
，，
正方形中阴影正方形边长为 ；
阴影部分面积；
正方形中，设点，
， ，
正方形中阴影正方形边长；
阴影部分面积；
以此推理，第个阴影正方形的边长为；
阴影部分面积．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数点坐标的特点，求正切；能够利用点的坐标探索边长的关系是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由一次函数性质得，，，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，
∴．
∴．
时，
∵图象与y轴的交点在原点下方，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．（3分）（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（3分）（2023·山东济南·统考中考真题）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发 h后两人相遇．

【答案】0.35
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了，
∴小明的速度为：，
小亮0.4小时行驶了，
∴小明的速度为：，
设两人出发后两人相遇，
∴
解得，
∴两人出发0.35后两人相遇，
故答案为：0.35
【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

【答案】24
【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q为的中点，
∴，
∴，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P点纵坐标为，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点横坐标为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．（3分）（2023·江苏无锡·统考中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
【答案】或或
【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线 ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线 ，⑥如图6，直线 ，同理可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：由，令，解得：，令，解得：，
∴，，，
设直线解析式为，
∴
解得：
∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于，
∵，
∴，
∴点必在内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线的解析式为
∴
解得：
则直线的解析式为
①如图1，直线过中点，，
中点坐标为，代入直线求得，不成立；

②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；
③如图3，直线过中点，中点坐标为，
直线与轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．
④如图4，直线 ，
∴
∴，
∴，
解得；

⑤如图5，直线 ，，则
∴，又，
∴，
∵，
∴不成立；
⑥如图6，直线 ，同理可得，
∴，，，
∴，解得；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．
16．（3分）（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

【答案】
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，
∴有最小值，
作轴于点P，

则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，则，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，，解得，
即；
过点D作轴于点G，

直线与x轴的交点为，则，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·山东淄博·统考中考真题）若实数，分别满足下列条件：
（1）；
（2）．
试判断点所在的象限．
【答案】点在第一象限或点在第二象限
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可．
【详解】解：
或
，；
，
解得：；
∴当，时，，，点在第一象限；
当，时，，，点在第二象限；
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键．
18．（6分）（2023·青海西宁·统考中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．

(1)求点和点的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)坐标是，
【分析】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解；
（2）画出经过的直线，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴令
解得
∴点的坐标是
∵点在一次函数的图象上
把代入，
得，
∴，
∴点的坐标是；
（2）解：如图所示，

（3）解：如图所示，当时，;
∵，，
∴，
当时，

∴符合条件的点坐标是，.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．（8分）（2023·江苏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．C是y轴上的一点，连接、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)若的面积是6，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）设点，点E是一次函数与y轴的交点，求出，则，再由，得到，问题随之得解．
【详解】（1）解：点在比例函数上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∵点，点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，所示：

根据题意：设点，
∵点E是一次函数与y轴的交点，
∴点，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
∴点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
20．（8分）（2023·辽宁丹东·统考中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，
设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
21．（8分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）作轴于点G，如图，证明四边形是矩形，得到， 推出，证明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐标求出，进而得到点C的坐标为，再代入反比例函数的解析式即可；
（2）根据（1）中结论可得，由，利用两点距离公式求得，再由轴，，的平分线交直线于点，证明，即可分别求出的横纵坐标．
【详解】（1）解：作轴于点G，如图，

图1
∵轴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
设，则，解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
代入，得；
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当在A点右侧时：如图1中图所示，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F的坐标是．
，，
当在A点左侧时，如图2：
轴，的平分线交直线于点，
点纵坐标为2，，
，
，
点横坐标为，
，
综上所述：F或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
22．（8分）（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．

(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点．
①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值．
【详解】（1）点在直线上，
，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）①点在直线上，且的横坐标为，
的纵坐标为：，
点在直线上，且点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
，
点，线段的长度为，
，
，
，
即；
②的面积为，
，
即，
解得，
由①知，，
，
解得，
即的值为或．
【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键．
23．（8分）（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．

(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值
(2)的取值范围为或
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；
②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；
③把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线经过原点，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
①抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
②当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
∴的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，则，
∵经过点，
∴，可得，
∴，
由，可得，，
设点，且，
∵轴，
∴，
可得：，则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值；
（2）∵，
∴，
∵直线：经过点、，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴，
联立方程得：，
解得：，，
当时，，
∴，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，

∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：（舍去），，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，

∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．