中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题3-2 一网打尽14类·二次函数的存在性问题（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题3-2 一网打尽14类·二次函数的存在性问题（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮培优模型方法技巧突破专题3-2一网打尽14类·二次函数的存在性问题原卷版doc、中考数学二轮培优模型方法技巧突破专题3-2一网打尽14类·二次函数的存在性问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共208页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc153962996" 解题策略梳理
\l "_Tc153962997" 题型一 等腰直角三角形存在性问题
\l "_Tc153962998" 本溪中考
\l "_Tc153962999" 辽宁阜新中考
\l "_Tc153963000" 2023·湖南娄底·统考中考真题
\l "_Tc153963001" 2023·四川广元·中考真题
\l "_Tc153963002" 题型二 等腰三角存在性问题
\l "_Tc153963003" 山东泰安中考
\l "_Tc153963004" 甘肃白银中考
\l "_Tc153963005" 江苏盐城中考（删减）
\l "_Tc153963006" 贵港中考（删减）
\l "_Tc153963007" 四川眉山中考删减
\l "_Tc153963008" 辽宁葫芦岛中考（删减）
\l "_Tc153963009" 题型三 直角三角形存在性问题
\l "_Tc153963010" 兰州中考（删减）
\l "_Tc153963011" 辽宁本溪中考
\l "_Tc153963012" 贵州安顺中考真题
\l "_Tc153963013" 怀化中考真题
\l "_Tc153963014" 2023·四川内江·中考真题
\l "_Tc153963015" 2023·海口华侨中学考模
\l "_Tc153963016" 题型四 平行四边形存在性问题
\l "_Tc153963017" 【例4.1】对边相等
\l "_Tc153963018" 【例4.2】两定两动：x轴+抛物线
\l "_Tc153963019" 【例4.3】两定两动：对称轴+抛物线
\l "_Tc153963020" 【例4.4】两定两动：斜线+抛物线
\l "_Tc153963021" 【例4.5】两定两动：抛物线+抛物线
\l "_Tc153963022" 【例4.6】三定一动
\l "_Tc153963023" 2023·四川南充·中考真题
\l "_Tc153963024" 2023·山东聊城·中考真题
\l "_Tc153963025" 2023·四川巴中·中考真题
\l "_Tc153963026" 2023-2024学年武汉市洪山区九年级统考
\l "_Tc153963027" 题型五 正方形存在性问题
\l "_Tc153963028" 例5.1：两动点：构造等腰直角定第3点
\l "_Tc153963029" 例5.2：两定两动：抛物线+抛物线
\l "_Tc153963030" 南充中考真题
\l "_Tc153963031" 2023·黑龙江绥化中考真题
\l "_Tc153963032" 2023·四川凉山·中考真题
\l "_Tc153963033" 2022·四川遂宁·中考真题
\l "_Tc153963034" 2023年广西钦州市一模
\l "_Tc153963035" 2020·四川德阳·中考真题
\l "_Tc153963036" 题型六 菱形存在性问题
\l "_Tc153963037" 例6.1
\l "_Tc153963038" 例6.2
\l "_Tc153963039" 例6.3
\l "_Tc153963040" 2023·湖南邵阳市·中考真题
\l "_Tc153963041" 2023·四川广安·中考真题
\l "_Tc153963042" 题型七 矩形存在性问题
\l "_Tc153963043" 【例7.1】
\l "_Tc153963044" 【例7.2】两定两动
\l "_Tc153963045" 2023·海南·中考真题
\l "_Tc153963046" 2023·内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
\l "_Tc153963047" 2022·贵州黔西·中考真题
\l "_Tc153963048" 2022·贵州黔东南·中考真题
\l "_Tc153963049" 2022·湖北随州·中考真题
\l "_Tc153963050" 题型八 相似三角形存在性问题
\l "_Tc153963051" 【例8.1】
\l "_Tc153963052" 【例8.2】
\l "_Tc153963053" 【例8.3】
\l "_Tc153963054" 【练习1】
\l "_Tc153963055" 【练习2】
\l "_Tc153963056" 【练习3】
\l "_Tc153963057" 2022·湖南张家界·中考真题
\l "_Tc153963058" 题型九 角的存在性问题之转化为相似或全等三角形
\l "_Tc153963059" 2023厦门一中模拟
\l "_Tc153963060" 2023-2024学年福建省福州屏东中学月考
\l "_Tc153963061" 2023-2024学年湖北天门市九年级月考
\l "_Tc153963062" 2024届福州市晋安区统考
\l "_Tc153963063" 深圳福田区模拟
\l "_Tc153963064" 题型十 角的存在性问题之转化为等腰三角形问题
\l "_Tc153963065" 2023年湖北省武汉市外国语学校模拟
\l "_Tc153963066" 武汉·中考真题
\l "_Tc153963067" 题型十一 角的存在性问题之化为正切值或斜率
\l "_Tc153963068" 【例11.1】
\l "_Tc153963069" 【例11.2】
\l "_Tc153963070" 题型十二 角的存在性问题之与特殊角结合
\l "_Tc153963071" 【例12.1】
\l "_Tc153963072" 【例12.2】
\l "_Tc153963073" 2023·浙江湖州·统考一模
\l "_Tc153963074" 题型十三 角的存在性问题之2倍角半角
\l "_Tc153963075" 2024届·武汉市武珞路中学期中
\l "_Tc153963076" 2022年长沙市雅礼教育集团中考一模
\l "_Tc153963077" 锦州中考真题
\l "_Tc153963078" 江苏盐城中考真题
\l "_Tc153963079" 题型十四 角的存在性问题之动点是角的顶点——构造圆
\l "_Tc153963080" 【例14】内蒙赤峰·中考：一题四法
\l "_Tc153963081" 山东日照中考真题
\l "_Tc153963082" 甘肃兰州·中考真题
\l "_Tc153963083" 四川资阳·中考真题
解题策略梳理
一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解
【问题描述】
如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．
【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
【注意】若有三点共线的情况，则需排除．
作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
同理可求，下求．
显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：
而对于本题的，或许代数法更好用一些．
二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．
【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：
【构造三垂直】
求法相同，以为例：
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
【代数法】表示线段构勾股
还剩下待求，不妨来求下：
（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示线段：，，；
（3）分类讨论：当为直角时，；
（4）代入得方程：，解得：．
三、等腰直角三角形在性问题方法突破
【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作DE⊥AC于点，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．
我们把这个数学模型成为“K型”．
推理过程如下：
【模型迁移】
【兰州中考（删减）】二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标．

【分析】
（1）；
（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等．
设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b，
由图可知：，解得：．
故D点坐标为（1,3）．
同理可求此时D点坐标为（3,2）．
思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．
如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求．
P点横坐标同D点，故可求得D点坐标．
四、平行四边形存在性问题方法突破
考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：
（1）对应边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为：，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
（2）对角线互相平分转化为：，
可以理解为AC的中点也是BD的中点．
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，
→．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．
三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时，，可得；
（2）AC为对角线时，，解得；
（3）AB为对角线时，，解得．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）
两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
五、矩形的存在性问题方法突破
矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
【题型分析】
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．
题型如下：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．
【解析思路】
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
【分析】
点C满足以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C有、、、
在点C的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D的坐标．
【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在坐标系中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
【分析】
设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．
先考虑平行四边形存在性：
（1）AB为对角线时，，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD，得：，
综合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．
（2）AC为对角线时，，另外AC=BD，得，综合以上可解得：．故C、D．
（3）AD为对角线时，，另外AD=BC，得，
综合以上可解得：．故C、D．
【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．
【代数法】表示线段构相等
（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．
【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
六、菱形的存在性问题方法突破
作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：
（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边都相等的四边形是菱形．
坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：
考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．
即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，
故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．
因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点
（2）1个定点+3个半动点
解决问题的方法也可有如下两种：
思路1：先平四，再菱形
设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．
思路2：先等腰，再菱形
在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．
看个例子：
如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．
思路1：先平四，再菱形
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．
（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC）
，解得：
（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）
，解得：或
（3）当AD为对角线时，由题意得：
，解得：或
思路2：先等腰，再菱形
先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．
（1）当AB=AC时，
C点坐标为，对应D点坐标为；
C点坐标为，对应D点坐标为．
（2）当BA=BC时，
C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；
C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．
（3）AC=BC时，
C点坐标为，D点坐标为．
以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．
七、正方形的存在性问题方法突破
作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：
（1）有一个角为直角的菱形；
（2）有一组邻边相等的矩形；
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．
依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．
比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．
从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：
（1）2个定点+2个全动点；
（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;
甚至可以有：（3）4个半动点．
不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！
常用处理方法：
思路1：从判定出发
若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；
若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．
正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．
例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．
如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．
至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．
题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．
八、相似三角形存在性问题
【模型解读】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
九、角的存在性问题
方法突破
除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．
回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：
（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；
（3）等腰三角形：等边对等角；
（4）全等（相似）三角形：对应角相等；
（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；
（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．
想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．
题型一 等腰直角三角形存在性问题
本溪中考
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点B（3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点在抛物线的对称轴上运动，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标．
【分析】
（1）；
（2）①当∠POQ为直角时，
考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P向x轴作垂线，长度必为1，故P的纵坐标为±1．如下图，不难求出P点坐标．
设P点坐标为，
可得：．
解得：，，，（舍）．
如下图，对应P点坐标分别为、、．
②当∠OPQ为直角时，如图构造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．
设P点坐标为，
则，QN=，
∴，
若，解得：，（舍）．
若，解得：，（舍）．
如下图，对应P点坐标分别为、．
对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！
也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．
其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．
辽宁阜新中考
如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．
（3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）；
（2）连接AC，将四边形面积拆为△APC和△ADC面积，考虑△ADC面积为定值，故只需△APC面积最大即可，铅垂法可解；
（3）过点N作NE⊥x轴交x轴于E点，
如图1，过点M向NE作垂线交EN延长线于F点，
易证△OEN≌△NFM，可得：NE=FM．
设N点坐标为，则，，
∴
，解得：（图1），（图4）
对应N点坐标分别为、；
，解得：（图2）、（图3）
对应N点坐标分别为、．
当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．
2023·湖南娄底·统考中考真题
如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上的动点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，再过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交抛物线于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，问：是否存在点P，使 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
【分析】（1）将将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（2）
由题意可知抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况：当点 SKIPIF 1 < 0 在对称轴左侧时，即 SKIPIF 1 < 0 时，当点 SKIPIF 1 < 0 在对称轴右侧时，即 SKIPIF 1 < 0 时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 中，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）存在，当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 在对称轴左侧时，即 SKIPIF 1 < 0 时，

SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
即： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去）
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ；
当点 SKIPIF 1 < 0 在对称轴右侧时，即 SKIPIF 1 < 0 时，

SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
即： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去）
此时： SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
2023·四川广元·中考真题
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线对称轴 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，代入抛物线解析式，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当 SKIPIF 1 < 0 点与 SKIPIF 1 < 0 点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
【详解】（1）解：将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0

∵以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 点在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0

∵以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 点在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 点与 SKIPIF 1 < 0 点重合时，如图所示，

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 ，综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
题型二 等腰三角存在性问题
山东泰安中考
如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由．

【分析】
（1）；
（2）可用铅垂法，当点D坐标为时，△ADE面积最大，最大值为14；
（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）
①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
∵AE=，∴，又AH=3，∴，
故、．
②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，，
故、．
③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点．
设，，
∴，解得：m=1．
故．
综上所述，P点坐标为、、、、．
【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．
甘肃白银中考
如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
【分析】
（1）；
（2）①当CA=CQ时，∵CA=5，∴CQ=5，
考虑到CB与y轴夹角为45°，故过点Q作y轴的垂线，垂足记为H，
则，故Q点坐标为．
②当AC=AQ时，考虑直线BC解析式为y=-x+4，可设Q点坐标为（m，-m+4），
，
即，解得：m=1或0（舍），
故Q点坐标为（1，3）．
③当QA=QC时，作AC的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在．
综上所述，Q点坐标为或（1，3）．
江苏盐城中考（删减）
如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中．
（1）求、两点的横坐标；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求的值．
【分析】
（1）A、B两点横坐标分别为1、2；
（2）求k的值等价于求B点坐标，
B点横坐标始终为2，故点B可以看成是直线x=2上的一个动点，
满足△OAB是以OA为腰的等腰三角形，
又A点坐标为（1，2），故
①当OA=OB时，即，
记直线x=2与x轴交点为H点，∵OH=2，∴BH=1，
故B点坐标为（2，1）或（2，-1），k=-1或-3．
②当AO=AB时，易知B点坐标为（2，0），k=-2．
综上所述，k的值为-1或-2或-3．
贵港中考（删减）
如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与线段交于点，连接．当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标．
【分析】
（1）；
（2）①当PM=PC时，（特殊角分析）
考虑∠PMC=45°，∴∠PCM=45°，
即△PCM是等腰直角三角形，P点坐标为（2，-3）；
②当MP=MC时，（表示线段列方程）
设P点坐标为，则M点坐标为，
故线段
故点M作y轴的垂线，垂足记为N，则MN=m，
考虑△MCN是等腰直角三角形，故，
∴，解得或0（舍），
故P点坐标为．
综上所述，P点坐标为（2，-3）或．
四川眉山中考删减
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图，连接、，点在线段上（不与、重合），作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1），顶点D坐标为；
（2）考虑到∠DAB=∠DBA=∠DMN，即有△BMD∽△ANM（一线三等角）．
①当MD=MN时，有△BMD≌△ANM，
可得AM=BD=5，故AN=BM=1；
②当NM=ND时，则∠NDM=∠NMD=∠DAB，
△MAD∽△DAB，可得AM=，
∴，即，
解得：．
③当DM=DN时，∠DNM=∠DMN=∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M．
综上，AN的值为1或．
辽宁葫芦岛中考（删减）
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为．点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动（点不与点和点重合），设运动时间为秒，过点作轴垂线交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接交于点，当是等腰三角形时，直接写出的值．
【分析】
（1）；
（2）①考虑到∠DPM=45°，当DP=DM时，即∠DMP=45°，
直线AM：y=x+1，
联立方程：，
解得：，（舍）．
此时t=1．
②当PD=PM时，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°，
考虑tan∠22.5°=，
直线AM：，
联立方程：
解得：，（舍）．
此时t=．
综上所述，t的值为1或．
附：tan22.5°=．
题型三 直角三角形存在性问题
兰州中考（删减）
通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作DE⊥AC于点，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．
我们把这个数学模型成为“K型”．
推理过程如下：
【模型迁移】
二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标．

【分析】
（1）；
（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等．
设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b，
由图可知：，解得：．
故D点坐标为（1,3）．
同理可求此时D点坐标为（3,2）．
思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．
如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求．
P点横坐标同D点，故可求得D点坐标．
辽宁本溪中考
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点B（3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点在抛物线的对称轴上运动，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标．
【分析】
（1）；
（2）①当∠POQ为直角时，
考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P向x轴作垂线，长度必为1，故P的纵坐标为±1．如下图，不难求出P点坐标．
设P点坐标为，
可得：．
解得：，，，（舍）．
如下图，对应P点坐标分别为、、．
②当∠OPQ为直角时，如图构造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．
设P点坐标为，
则，QN=，
∴，
若，解得：，（舍）．
若，解得：，（舍）．
如下图，对应P点坐标分别为、．
对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！
也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．
其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．
【对称轴上寻找点】
贵州安顺中考真题
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点坐标．
【分析】
（1）直线BC：
抛物线：；
（2）将军饮马问题，考虑到M点在对称轴上，且点A关于对称轴的对称点为点B，故MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M点坐标为（-1，2）；
（3）两圆一线作点 P：
以为例，构造△PNB∽△BMC，考虑到BM=MC=3，
∴BN=PN=2，故点坐标为（-1，-2）．
易求坐标为（1,4）．
、求法类似，下求：
已知PN=1，PM=2，设CN=a，BM=b，
由相似得：，即ab=2，由图可知：b-a=3，
故可解：，（舍），对应坐标为．
类似可求坐标为．
【抛物线上寻找点】
怀化中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：，直线AC：y=3x+3；
（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了．
（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点，
有如下两种情况，
先求过A点所作垂线得到的点P：
设P点坐标为，
则PM=m+1，AM=，
易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，
∴，解得：，（舍），
故第1个P点坐标为；
再求过点C所作垂线得到的点P：
，CN=m，
，解得：，（舍），
故第2个P点坐标为．
综上所述，P点坐标为或．
2023·四川内江·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ,(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线解析式求解即可；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线的对称轴于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线的对称轴于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， 可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：存在，
如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线的对称轴于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线的对称轴于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且经过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；综上所述：存在， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2023·海口华侨中学考模
如图1，抛物线交x轴于点和点，交于y轴点C，F为抛抛物线顶点，点在抛物线上．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式
(2)如图2，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接DA、DQ，当是直角三角形时，求出所有满足条件的D点的横坐标．
【答案】(1)
(2)Q点坐标为
【分析】分或两种情况结合一次函数图象的性质分析求解；
【详解】（1）∵抛物线经过点，，
∴，解得
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）∵点P在线段EB上，
∴不可能为直角，
∴当为直角三角形时，有或，
ⅰ．当时，则，
∵，，
∴直线AQ解析式为，
∴设直线DA解析式为，
把代入可求得，
∴直线DQ解析式为，
联立直线DQ和抛物线解析式可得，
解得或
∴（舍）或（舍）
∴此种情况不存在
ⅱ．当时，设，
设直线AD的解析式为，
把A、D坐标代入可得，解得，
设直线DQ解析式为，同理可求得，
∵，∴，即，解得
当时，∵，∴（舍）
当时，∵，D点横坐标为
综上可知：D点横坐标
题型四 平行四边形存在性问题
【例4.1】对边相等
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【分析】
（1）抛物线：，直线AB：；
（2）考虑EC∥MN，故若使点M、N、C、E是平行四边形，则EC=MN即可，
∵E（1，-2）、C（1，-4），∴EC=2，
设M点坐标为（m，m-3）（m>1），则N点坐标为，
则MN=
由题意得：，
，解得：，（舍），
对应P点坐标为；
，解得：，（舍）．
对应P点坐标为（2，-1）．
综上，P点坐标为或（2，-1）．
【例4.2】两定两动：x轴+抛物线
如图，已知抛物线经过点，，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）列方程组求：设P、Q，又B（-1，0）、C（0，-3），
若BC为对角线，由题意得：，解得：或（舍），
故对应的P（2，-3）；
若BP为对角线，由题意得：，解得：或（舍），
故对应的P（2，-3）；
若BQ为对角线，由题意得：，解得：或，
故对应的P、．
综上所述，P点坐标为（2，-3）、、．
【例4.3】两定两动：对称轴+抛物线
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：，对称轴：直线x=1；
（2）设M点坐标为，N点坐标为，
又B（3，0）、C（0，2）
若BC为对角线，由题意得：，解得：，
故M点坐标为（2，2）；
若BN为对角线，由题意得：，解得：，
故M点坐标为；
若BM为对角线，由题意得：，解得：，
故M点坐标为．
综上所述，M点坐标为（2，2）、、．
【例4.4】两定两动：斜线+抛物线
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知，分别是直线和抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）设E点坐标为，F点坐标为，
又B（0，2）、O（0，0），
①若OB为对角线，由题意得：，
解得：或，
故E点坐标为或；
②若OE为对角线，由题意得：，
解得：或，
故E点坐标为或；
③若OF为对角线，由题意得：，解得：，
故E点坐标为（2，1）．
【例4.5】两定两动：抛物线+抛物线
如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标．
【分析】
（1）解析式：；
（2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．
设P点坐标为，Q点坐标为，
又C（0，-3）、A（2，-3），
①若CA为对角线，由题意得;，
解得：或（舍），故P点坐标为（-3，12）；
②若CP为对角线，由题意得：，
解得：或，故P点坐标为（3，0）或；
③若CQ为对角线，由题意得：，
解得：或（舍），故P点坐标为（-1，0）．
综上所述，P点坐标为（-3，12）、（3，0）、、（-1，0）．
【例4.6】三定一动
如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，点坐标为，，，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为坐标平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）设P点坐标为（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D
①若BC为对角线，由题意得：，解得：，
故的坐标为；
②若BD为对角线，由题意得：，解得：，
故坐标为；
③若BP为对角线，由题意得：，解得：，
故坐标为．
综上所述，P点坐标为、、．
2023·四川南充·中考真题
如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或
【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，解得，故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，，解得：，，；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，，
在和中，，()，
，，，
解得：，，；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；综上所述：的坐标为或或．
2023·山东聊城·中考真题
如图①，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)点Q坐标 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，求得点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论：当 SKIPIF 1 < 0 为边， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，当 SKIPIF 1 < 0 为边， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解．
【详解】（1）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线解析式为： SKIPIF 1 < 0
（2）二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴点 SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为边， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相平分
∴ SKIPIF 1 < 0 解得， SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0
点Q坐标 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为边， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
同理得， SKIPIF 1 < 0
解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点Q坐标 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
综上，点Q坐标 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
2023·四川巴中·中考真题
在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后， SKIPIF 1 < 0 为平移后抛物线上一动点．在（ SKIPIF 1 < 0 ）的条件下求得的点 SKIPIF 1 < 0 ，是否能与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 构成平行四边形？若能构成，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)能， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 向左平移后的抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，假设存在以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，②当以 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，③当以 SKIPIF 1 < 0 为对角线时．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 抛物线的顶点横坐标为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与x轴另一交点为 SKIPIF 1 < 0
∴设抛物线为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的表达式为 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 向左平移后的抛物线为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，假设存在以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的平行四边形．

①当以 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
SKIPIF 1 < 0 平行四边形对角线互相平分
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
②当以 SKIPIF 1 < 0 为对角线时
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
③当以 SKIPIF 1 < 0 为对角线时
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
综上所述：存在以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的平行四边形．
SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
2023-2024学年武汉市洪山区九年级统考
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)直接写出A，B，C点的坐标；
(2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标；
【答案】(1)点、、的坐标分别为：、、
(2)点的坐标为：
【分析】（1）对于，当时，，当时，或3，即可求解；
（2）①当是边时，用数形结合的方法求出点，即可求解；当在上方时，同理可解；②当是对角线时，由，即可求解．
【详解】（1）对于，当时，，
当时，或3，
即点、、的坐标分别为：、、；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，，
①当是边时，如下图，
当在下方时，
设交轴于点，过点作于点，
则由，，，四点组成的平行四边形面积，
则，
由知，，
则，
则点，
则直线的表达式为：，
联立和并解得：（舍去）或，
即点；
点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，
则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，
故点；
当在上方时，
同理可得：直线的表达式为：，
经验证，该方程和抛物线无交点，
即无解；
②当是对角线时，如下图：

则，
设点，则点，
则，
则，
该方程无解；
综上，点的坐标为：
题型五 正方形存在性问题
例5.1：两动点：构造等腰直角定第3点
如图，抛物线与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）已知A（-1，0）、B（3，0），故构造以AB为斜边的等腰直角△APB，如下：
若四边形APBQ是正方形，易得P点坐标为（1，2）或（1，-2），
当P点坐标为（1，2）时，易得抛物线解析式为；
当P点坐标为（1，-2）时，易得抛物线解析式为．
综上所述，抛物线解析式为或．
【小结】看到两个定点，不管题目如何描述第3个点的位置，均可通过构造等腰直角三角形确定第3个点，再求得第4个点．
例5.2：两定两动：抛物线+抛物线
如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由．
【分析】
（1）C（3，1）；
（2）抛物线：；
（3）考虑A、B、P构成等腰直角三角形且∠B为直角，故可作出点P如下：
构造三垂直全等：△AMB≌△BNP，
即可求得P点坐标为（-1，-1），将点P代入抛物线解析式，成立，
即点P在抛物线上．
根据点P构造点Q，通过点的平移易得点Q坐标为（-2，1），
代入抛物线解析式，成立，即点Q也在抛物线上，
故存在，点P坐标为（-1，-1），点Q坐标为（-2，1）．
【小结】本题数据设计得巧妙，由A、B确定的点P恰好在抛物线上，由A、B、P确定的点D恰好也在抛物线上，故存在这样的一组P、Q，当然若适当调整数据，则答案完全可以变成不存在．
南充中考真题
如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）由题意可得：MN∥BC，四边形MNED是矩形，若要变为正方形，可考虑①对角线互相垂直；②有一组邻边相等．
思路1：考虑对角线
连接ME，则△MDN为等腰直角三角形，∠MED=45°，
即ME⊥x轴，
设M点坐标为，
则E点坐标为，
①当M点在E点上方时，可推得N点坐标为，
将点N坐标代入抛物线：，
得：，
化简得：
，
解得：，（舍）
此时ME=2，正方形边长为；
②当M点在E点下方时，同理可解：m=6．
此时ME=18，正方形边长为．
综上，正方形边长为或．
思路2：考虑邻边相等
考虑M、N两点均未知，但MN∥BC，
故可设直线MN解析式为y=-x+b，
联立方程：，
化简为：，
MN=
∵MN=MD，
∴
解得：，
代入得边长为或．
【小结】其实只要能将计算进行下去，在已知矩形的前提下，无论选边还是选对角线，都能解决问题．
2023·黑龙江绥化中考真题
如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点，且一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平面内两点，若以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是正方形，且点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧．这样的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标：如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)满足条件的E、F两点存在， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 为正方形的边长时，分别过 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 同理可得， SKIPIF 1 < 0 ；②以 SKIPIF 1 < 0 为正方形的对角线时，过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平分且相等，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或4，进而即可求解；
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）满足条件的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点存在， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
解：①当 SKIPIF 1 < 0 为正方形的边长时，分别过 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .

过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
同理可得， SKIPIF 1 < 0
②以 SKIPIF 1 < 0 为正方形的对角线时，过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平分且相等，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0

∵ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或4
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 右侧故舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
2023·四川凉山·中考真题
如图，已知抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于H，先证明 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，得到 SKIPIF 1 < 0 ；再分如图3-1所示，当 SKIPIF 1 < 0 时， 如图3-2所示，当 SKIPIF 1 < 0 时， 如图3-3所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点，
∴抛物线对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线顶点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于H，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如图3-1所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，
过点C作 SKIPIF 1 < 0 于G，则 SKIPIF 1 < 0
∴点G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
由（2）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如图3-2所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E的纵坐标为5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0
如图3-3所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于G，
同理可证 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
综上所述，点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
2022·四川遂宁·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d， SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，求点N的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）连接BM，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 ，再求出直线BC的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AM的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，可得M的坐标 SKIPIF 1 < 0 ，设N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，则得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据等腰三角形的性质，分类讨论① SKIPIF 1 < 0 时，② SKIPIF 1 < 0 时，③ SKIPIF 1 < 0 时，分别计算即可．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵M到x轴的距离为d， SKIPIF 1 < 0 ，连接BM，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴B、N到AM的距离相等．
又∵B、N在AM的同侧，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设直线BC的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴直线BC的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴设直线AM的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设直线AM的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴M的坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
∵点N在射线BC上，
∴设N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，
则易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
① SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
② SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
③ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∵N在第一象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴t的取值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2023年广西钦州市一模
定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；
(2)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为或
【分析】（1）先由求得，，可得点M，N的坐标，将点，代入抛物线，利用待定系数法即可求抛物线的解析式；
（2）由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，进而求得，连接，由于等腰直角三角形可知，分两种情况讨论：当时，，当时，，分别进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点M、N，且当时，
解得，，
∴，；
将点，代入抛物线，
得，解得
∴抛物线的解析式为； 3分
（2）存在．
由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，
∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，，
∴，
如解图，连接，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
假设存在，设点，分两种情况讨论：
①当时，，如解图①，过点D作轴于点C，连接，，
则，，由勾股定理可知，
∴，解得：，，
∴，；

②当时，，如解图②，由勾股定理可得，
∴，此方程无解
，∴此种情况不存在．
综上所述，在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为
或．
2020·四川德阳·中考真题
如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3）是，3NE+NF为定值4
【分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0 x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
【详解】（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵△ABC的面积为2，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴OC=1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，
∴a=﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
∴该二次函数的解析式为y=﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0 x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0 x+1=m，
解得：x1=1+ SKIPIF 1 < 0 ，x2=1﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P的坐标为（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ，m），点Q的坐标为（1+ SKIPIF 1 < 0 ，m），
∴点G的坐标为（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ，0），点H的坐标为（1+ SKIPIF 1 < 0 ，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴PQ=PG，
∴1+ SKIPIF 1 < 0 ﹣（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ）=m，
解得：m1=﹣6﹣2 SKIPIF 1 < 0 ，m2=﹣6+2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2 SKIPIF 1 < 0 或2 SKIPIF 1 < 0 ﹣6
题型六 菱形存在性问题
例6.1
综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形：
①当CA=CM时，
即CM=CA=，M点坐标为、，
对应N点坐标为、．
②当AC=AM时，
即AM=AC=，M点坐标为（0，6），
对应N点坐标为（2，0）．
③当MA=MC时，
勾股定理可求得M点坐标为，
对应N点坐标为．
综上，N点坐标为、、（2，0）、．
如下图依次从左到右．
例6.2
综合与探究
如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0），与y轴交于点C，抛物线经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式
（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线解析式：；
（2）设M点坐标为（m，0）（-40时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
【分析】
（1）抛物线：，D点坐标为（1，4）；
（2）①铅垂法可解，当F坐标为（2，3）时，△BDF面积最大，最大值为1；
②思路1：构造平行线．
考虑到A、E、B三点均在x轴上，故可构造EF∥BD即可得角相等．
过点E作EF∥BD交抛物线与F点，
考虑到BD解析式：，
故可求EF的解析式为：，
联立方程：，
解得：，（舍）．
故F点坐标为．
将EF作关于x轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F点，
且翻折后的直线解析式为：，
联立方程：，
解得：，（舍）．
故F点坐标为．
综上，F点坐标为或．
思路2：三角函数值．
设F点坐标为，
过F点作FH⊥x轴交x轴于H点，则H点坐标为，
，，
解得：，（舍），，（舍）．
故F点坐标为或．
题型十二 角的存在性问题之与特殊角结合
【例12.1】
如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）由题意得：坐标为（2，-4），
考虑到A、C、三点坐标均已知，故可求的三角函数值．
思路1：构造直角三角形
过点作⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3），
故，，
∴，则．
转化“”为“”，即．
①当时，设PA解析式为，
将A（4，0）代入，得：，
联立方程：，解得：，，
故坐标为；
②当时，设PA解析式为，
将A（4，0）代入，得：，
联立方程：，解得：，，
故坐标为．
综上所述，P点坐标为或．
思路2：发现特殊角．
如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4），
故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，
考虑，可知，
下同思路1求解P点坐标．
【例12.2】
如图，直线与坐标轴交于、两点，抛物线经过点，与直线交于点，且与轴交于，两点．
（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点，当时，求点的横坐标.
【解答】解：（1）直线与坐标轴交于、两点，
则，，，
把、点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式①，
则：；
（2）符合条件的有和，如下图所示，
当时，
，，
此时符合条件的只有如图所示的一个点，
直线的为，所在的直线方程为：②，
联立方程①、②可求得：，
即：点的横坐标；
当时，，
直线的值为，其方程为，
将所在的方程与抛物线表达式联立，
解得：，故：即：点的横坐标或．
2023·浙江湖州·统考一模
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；
(2)点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度
【答案】(1)点；
(2)
【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据是等腰直角三角形，直线和直线的夹角为 ，推出或，进行分类讨论即可解答；
【详解】（1）∵对称轴为直线 ，
∴，
，
∵抛物线 与y轴交于C点，代入得：
，
∴抛物线的解析式为，
由抛物线的表达式知，点；
（2），
是等腰直角三角形，
则，
∵直线和直线的夹角为 ，
或，
在中，，
，
当 时，如图1所示：
∵，
则，
则；
当时，如图2所示：
，
，
∴的长度为 或
题型十三 角的存在性问题之2倍角半角
2024届·武汉市武珞路中学期中
已知过点的直线：与抛物线：的图象交于点，，点在轴上，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．过点作轴的平行线，交直线于点，交轴于点．当时，求的值．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，两点关于轴对称，推出，分两种情况讨论，当轴和当时，利用一次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：由得，为，将为，代入得：
解得，，抛物线的解析式为；
（2）解：二次函数．与轴交于点，
，
∵，
，
，两点关于轴对称，
，
，
，
，
如图，当时，轴，

，
由，
解得，
如图，当时，设交轴于，

，
，
设，则，
在中，，
，
解得，，设直线的解析式为，∴，解得，
∴直线的解析式为，将代入直线得，
，
解得或，综上所述，点的坐标为或或或
2022年长沙市雅礼教育集团中考一模
如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于坐标轴上的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）抛物线上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，则求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式及 SKIPIF 1 < 0 点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）针对于二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 抛物线过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线解析式中，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）Ⅰ、当点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 下方时，延长 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在射线 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ①，
由（1）知，抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
Ⅱ、当点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上方时，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ③，
联立②③解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
锦州中考真题
如图1，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，并且与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于坐标轴上的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 下方的二次函数图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 中的某个角恰好等于 SKIPIF 1 < 0 的2倍？若存在，直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，得
SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图2所示，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即， SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 点的横坐标），或 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为2；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 （舍去），或 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 中的某个角恰好等于 SKIPIF 1 < 0 的2倍．其 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为2或 SKIPIF 1 < 0 ．
江苏盐城中考真题
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得，，抛物线经过、两点，
，， SKIPIF 1 < 0 ；
（2），，，，，，
，是以为直角的直角三角形，取的中点，，，
，，，
过作轴的平行线交轴于，交的延长线于，
情况一：如图，，
，，即，
令，，，，
（舍去），，
，
情况二，，，
设，
，，
，
，
，，
，，
，
，（舍去），，点的横坐标为或．
题型十四 角的存在性问题之动点是角的顶点——构造圆
【例14】内蒙古赤峰·中考真题：一题四法
如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴另一交点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）（1，2＋2 SKIPIF 1 < 0 ）或（1，−2−2 SKIPIF 1 < 0 ）．
（2）
【法一：构造圆】
分析：在角的存在性问题中，当角的顶点是动点时，一般考虑构造圆
解析：以AC为底，构造等腰三角形ADC，且∠ADC=90°(此角为圆心角）再以D为圆心，AD为半径作圆，交对称轴于Q，易知∠AQB= SKIPIF 1 < 0 ∠ADB=45°
计算：不难得到D点坐标为（1，3），圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，Q点在E点正上方，距离为r，则Q点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，当P点下x轴下方时，由对称性得到此时P点坐标为 SKIPIF 1 < 0
综上，P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【法二：倍半角模型】
简析：由对称性可知AQ=CQ⇒∠AQD= SKIPIF 1 < 0 ∠AQC=22.5°
延长OB至点E，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接AE交对称轴于Q
易知∠AEO= SKIPIF 1 < 0 ∠ABO=22.5°
由相似可知⇒QD= SKIPIF 1 < 0 EO= SKIPIF 1 < 0 ⇒ SKIPIF 1 < 0
同时我们也可以通过三角函数来求QD， SKIPIF 1 < 0
【法三：转化为等腰直角三角形】
分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解．
当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方时，如下图，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得：m2＝8＋4 SKIPIF 1 < 0 ，
则AQ2＝2m2＝16＋8 SKIPIF 1 < 0
则yP＝ SKIPIF 1 < 0
∴Q（1， SKIPIF 1 < 0 ）
当点Q在x轴下方时，
则yP＝−（2＋2 SKIPIF 1 < 0 ）；故点Q的坐标为（1，2＋2 SKIPIF 1 < 0 ）或（1，−2−2 SKIPIF 1 < 0 ）．
【法四：K型图找2组相似】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
山东日照中考真题
如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC＝OA＝1
∴∠BAC＝45°．
∵∠BQC＝∠BAC＝45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝ SKIPIF 1 < 0 （负值已舍去），
∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，
∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣ SKIPIF 1 < 0 ）．
甘肃兰州·中考真题
二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 .动点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 SKIPIF 1 < 0 方向运动，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .设运动的时间为 SKIPIF 1 < 0 秒.
(1)求二次函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式:
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，在直线 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 点在二次函数的对称轴上，以 SKIPIF 1 < 0 点为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 （同弧所对圆周角），即可解答
【详解】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 所以，二次函数的表达方式为： SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 点在二次函数的对称轴上，
以 SKIPIF 1 < 0 点为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点在该圆上
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （同弧所对圆周角）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
四川资阳·中考真题
如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 交于B、C两点，点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式 SKIPIF 1 < 0 ；（2）点Q的坐标： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）将点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此抛物线的解析式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心为H，于是 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，求得符合题意的点Q的坐标： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：（1）将点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线的解析式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线的解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心为H，
∴ SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
∴符合题意的点Q的坐标： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．