中考数学二轮复习 重难点04 二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题（2份打包，原卷版+解析版）

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目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc155773801" 题型01 二次函数平移问题
\l "_Tc155773802" 题型02 二次函数翻折问题
\l "_Tc155773803" 题型03 二次函数对称问题
\l "_Tc155773804" 题型04 二次函数旋转问题
\l "_Tc155773805" 题型05 二次函数折叠问题
题型01 二次函数平移问题
1. 二次函数的平移变换
2.平移与增加性变化
如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值.
只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.
只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上一点，如果，求点的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据对称轴，，列式，利用根与系数关系计算确定值即可．
（2） 过点作于点，交右侧的的延长线于点，交左侧的的延长线于点，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．
（3）设抛物线向左平移了个单位，则点，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 证明，根据相似三角形的性质得出即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且，
∴，
解得，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）过点作于点，交右侧的的延长线于点，
∵，
∴，
过点作轴于点，
∴
∵，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为，，
∴，，
∴
∴，
设的解析式为，的解析式为
∴，
解得
∴的解析式为，的解析式为，
∴，
解得，
故；
（3）∵，点,
设抛物线向左平移了个单位，则点，
过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，
由（2）知，直线的表达式为：，
设
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．
2．（2023·广东湛江·校考一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作交抛物线于点E，交y轴于点P．
(1)点F是直线下方抛物线上点一动点，连交于点G，连，当的面积的最大值时，直线上有一动点M，直线上有一动点N，满足，连，，求的最小值；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作轴于点H交于点L，将沿着射线平移到点A与点C重合，从而得到（点A，H，L分别对应点，，），再将绕点逆时针旋转，旋转过程中，边所在直线交直线于Q，交y轴于点R，求当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）作轴交于H．设，求出直线的解析式，联立方程得到时，的值最大，求出答案；作点G关于的对称点T，交于R，连接交于N，作于M，连接，，此时的值最小，求出答案即可；
（2）当是等腰三角形时，易知，易知直线与x轴的夹角为，得到直线的解析式为，进而求出答案，当是等腰三角形，同理求出答案．
【详解】（1）如图1中，作轴交于H．设．
由题意可知，，，
抛物线的对称轴，C，D关于直线对称，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
由，解得或，
，，
，的面积为定值，
的面积最大时，的面积最大，
的值最大时，的面积最大，
的值最大时，的面积最大，
，
．开口向下，
时，的值最大，此时．
如图2中，作点G关于的对称点T，交于R，连接交于N，作于M，连接，，此时的值最小．
直线的解析式为：，
由，
解得，
，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
．
的最小值为．
（2）如图3中，如图当是等腰三角形时，易知，
易知直线与x轴的夹角为，，
直线的解析式为，
，
．
如图4中，当是等腰三角形，
，
是等边三角形，
同法可得，
综上所述，满足条件的PR的值为或．
【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．
3．（2023·广东潮州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
(3)把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)当时，取得最大值，此时，
(3)N点的坐标为 其中一个N点坐标的解答过程见解析
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为 ，如图1，过点作轴交于点，设，则，证明，得出： ，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
（3）设，分三种情况：当为的边时；当为的边时；当为的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点（点在点的左侧)，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把 代入，
得：
解得：，
∴直线的解析式为，
如图1，过点作轴交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，取得最大值，此时，．
（3）如图2，沿射线方向平移个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，
∴新的物线解析式为 ，对称轴为直线，
设，
当为的边时，
则，
解得：，
当为的边时，
则，
解得：，
当为的对角线时，
则，
解得：，
综上所述，点的坐标为：
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．
4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）坐标综合：

(1)平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴为直线，且经过点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)将抛物线在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线：，
①如图，设自变量在的范围内取值时，函数的最小值始终等于．此时，若的最大值比最小值大，求的值；
②如图，直线：与轴、轴分别交于、两点过点、点分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点．设抛物线与轴交于、两点（点在左边）．现将图中的沿直线折叠，折叠后的边与轴交于点．当时，若要使点始终能够落在线段（包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？
【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为
(2)①的值为或；②抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向右平移，最少平移个单位，最多平移个单位
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把把代入，即可求解；
（2）①根据配方可得当时，函数有最小值，再由自变量在的范围内取值时，函数的最小值始终等于，可得，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A，C的坐标，可得点B的坐标，再根据图形折叠的性质可得，在中，根据勾股定理可得，从而得到点M的坐标，继而得到n的取值范围，然后根据点始终能够落在线段（包括两端点）上，可得m取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：的对称轴为直线，
，
解得：，
把代入，得，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
抛物线的对称轴为直线，
当时，函数有最小值，
在的范围内取值时，函数的最小值始终等于，
，
当时，时有最大值为，
，
解得，
；
当时，时有最大值为，
，
解得或舍，
综上所述：的值为或；
②直线：与轴的交点，与轴的交点，
，
沿直线折叠，
，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
当时，解得：或，
，，
点始终能够落在线段上，
，，
，
，，
当时，抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位，
当时，抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位，
抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向右平移，最少平移个单位，最多平移个单位．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
5．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
6．（2023·江苏·统考中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．

(1)_______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
故答案为；
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵，
∴二次函数的解析式为
设，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
当m=时，，
∴，
∵，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得抛物线为
∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴；
（3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，
∵顶点为在上，
∴，
∴平移后的抛物线为，顶点为，
∵原抛物线，
∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
∴化简得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
当p=3时，，
当p=时，，
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
7．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，过原点的抛物线为常数与轴交于另一点，是线段的中点，，点在抛物线上

(1)点的坐标为______；
(2)为轴正半轴上一点，且．
①求线段的长；
②线段与抛物线相交于另一点，求点的坐标；
(3)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，是抛物线上两点，是抛物线的顶点对于每一个确定的值，求证：矩形的对角线必过一定点，并求出此时线段的长．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)证明见解析，
【分析】（1）根据中点公式求点坐标即可；
（2）设，根据，建立方程，求出点坐标即可求；求出直线的解析式为，将代入，求出，将点代入，求出，从而求出抛物线，
直线与抛物线的交点即为点；
（3）根据平移的性质可求，则，设直线的解析式为，，当时，整理得，由根与系数的关系可得，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明∽，则，即，整理得，，求出，所以直线的解析式为，对于每一个确定的值，直线必经过定点，．
【详解】（1）是线段的中点，，
，
，
故答案为：；
（2）设，
，
，
解得，
；
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
将代入，
，
，
，
解得，
，
将点代入，
，
解得，
抛物线，
当时，解得或，
；
（3）证明：，
，
，
设直线的解析式为，，，
当时，整理得，
，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
∽，
，即，
整理得，，
，
，即，
直线的解析式为，
对于每一个确定的值，直线必经过定点，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，
题型02 二次函数翻折问题
二次函数的翻转问题的解题思路：
①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；
②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；
③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；
④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
8．（2023·广东潮州·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过两点，且．
(1)求抛物线的解析式．
(2)是抛物线第一象限内的一个动点，过作于，求的最大值．
(3)是抛物线对称轴上的一个动点，连接，把线段沿着直线翻折，的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，最大值为
(3)点坐标为或
【分析】（1）先求出，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点作轴，交于，交轴于，过点作于，过点作于，设，则，，由可求得，再由可得，，再证明，可得，进而可得，再运用二次函数的性质即可；
（3）设，，由翻折可得的中点在直线上，即，分两种情况：当点在的上方时，过点作轴交抛物线的对称轴于，设对称轴交于，利用解直角三角形可得，联立①②可得，即，当点在的下方时，同理可得．
【详解】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
当时，，当时，，解得：，
，，
∵抛物线经过两点，且，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，交于，交轴于，过点作于，过点作于，如图1，
，
设，则，，
，
，，
，，
在中，，
轴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，轴，
，
，
，
，
，
，
，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：设，，
∵线段沿着直线翻折，的对应点恰好落在抛物线上，
的中点在直线上，
，
化简得：，
当点在的上方时，
如图2，过点作轴交抛物线的对称轴于，设对称轴交于，
，
则，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
联立①②得：，
解得：，
，
，
；
当点在的下方时，如图3，
，
同理可得：，
；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质，解直角 ，二次函数的图象和性质，涉及知识点多，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解此题的关键．
9．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
(1)分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)函数的图象上有两个“等值点”或；
(2)或；
(3)当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．
【分析】（）根据定义分别求解即可求得答案；
（）根据定义分别求，，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，可得与的图象关于对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】（1）在中，令，得不成立，
∴函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图象上有两个“等值点”或；
（2）在函数中，令，
解得：，
∴，
在函数中，令，
解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
当时，，
解得:，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，
解得：或，
综上所述，的值为或；
（3）令，
解得：，，
∴函数的图象上有两个“等值点”或，
当时，，两部分组成的图象上必有个“等值点”或，
：，
：，
令，
整理得：，
∵的图象上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
当时，有个“等值点”，，，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．
【点睛】此题考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性，掌握计算方法，结合一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识是解题的关键．
10．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，将二次函数的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数的图象，函数的图象的顶点为A，函数的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位于点C左侧）．

(1)求函数的解析式；
(2)从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
(3)点M是线段上的动点，N是三边上的动点，是否存在以为斜边的，使的面积为面积的？若存在，求的值，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，的值为1或4或，理由见解析．
【分析】（1）利用配方法得到，然后根据抛物线的变换规律求解；
（2）利用顶点式得到，解方程得，易得，列举出所有的三角形，再计算出，，，，，，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；
（3）易得的解析式为，，点的坐标为，讨论：①当点在上，如图1，利用面积公式得到，解得，，当时，求出，，再利用正切定义计算的值；当时，计算出，，再利用正切定义计算的值；②当点在上，如图2，先利用面积法计算出，再根据三角形面积公式计算出，然后利用正切定义计算的值；③当点在上，如图3，作于，设，则，由②得，利用勾股定理可计算出，证明，利用相似比可得到，根据此方程没有实数解可判断点在上不符合条件，从而得到的值为1或4或．
【详解】（1）解： 的图象沿轴翻折，得．
把向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得，
所求的函数的解析式为；
（2）解：，
，
当时，，
解得，
则，；
当时，，则，
从点，，三个点中任取两个点和点构造三角形的有：，，，
，，，，，，
为等腰三角形，
构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）解：存在．
，．
设解析式为，
则有，
∴，
的解析式为，，
设点的坐标为，
①当点在上，如图1，

的面积为面积的，
，解得，，
当时，点的坐标为，，
则，，
；
当时，点的坐标为，，
则，，
；
②当点在上，如图2，

，
，
解得，
，
，
；
③当点在上，如图3，作于，

设，则，
由②得，
则，
，
，
，即，
，
，
即，
整理得，
，方程没有实数解，
点在上不符合条件，
综上所述，的值为1或4或．
【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
11．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
12．（2023·辽宁鞍山·校考一模）抛物线与坐标轴交于，，

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的一点，过点D作，交抛物线于E、F，当时，求出点D的坐标；
(3)点D是x轴上的一点，过点D作，交线段于E，将沿翻折，得到，若与重合部分的面积为S，点D的横坐标为m，直接写出S与m的函数关系式并写出取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用待定系数法求抛物线的解析式，设抛物线的解析式为，把点，，代入，求出a，b，c的值，即可得到抛物线的解析；
（2）过点E作轴，过点F作轴，两平行线，相交于点K，设点D的坐标为，由点，可得直线的解析式为，由与可得直线的函数解析式为，由得点E的横坐标为，点F的横坐标为，易证，根据相似三角形对应边成比例可得，，代入即可求出t的值，从而得到点D的坐标；
（3）根据点，，，可得，， ，因此证得是直角三角形，， ，由点D的横坐标为m得到，根据可得，根据相似三角形的性质可得，从而求得．分两种情况讨论：①若，即点在线段上， 与重合部分为，其面积；②当时，点在线段外，设与的交点为R，此时，若与重合部分为四边形．根据，可得，因此，易证，可得，因此，即与重合部分面积．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
∵该抛物线过点，，，
∴，解得
∴抛物线的解析式为
（2）过点E作轴，过点F作轴，两平行线，相交于点K，

设点D的坐标为，
由点，可得直线的解析式为，
∵，
∴设直线的函数解析式为，
把点代入，得，
∴，
∴直线的函数解析式为，
由得
点E的横坐标为，点F的横坐标为，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴点D的坐标为．
（3）∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形，，
∵点D的横坐标为m，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵将沿翻折，得到，
∴．
∵，
∴，
∵将沿翻折，得到，
∴，
∴，
∴点在射线上．
①若，即点在线段上，如图

此时，与重合部分为，其面积．
②当时，点在线段外，如图，

设与的交点为R，此时，若与重合部分为四边形．
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴
∵由折叠可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
即与重合部分面积．
综上所述，S与m的函数关系式为
．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与三角形，三角形相似的判定与性质，勾股定理及其逆定理，掌握分类讨论思想，熟练运用各个知识是解题的关键．
题型03 二次函数对称问题
二次函数图象的翻折与旋转
13．（2023·湖南岳阳·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意先求得旋转后的抛物线的解析式，然后确定旋转后的抛物线的开口方向和对称轴，最后根据在旋转后的抛物线上，当时，随的增大而增大，可得到关于的不等式，从而求解得的取值范围．
【详解】∵由题意得旋转后的抛物线的解析式为：，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵在抛物线上，当时，随的增大而增大，
∴可得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及函数图象的变换，确定旋转后的函数解析式是解题的关键．
14．（2023·广东河源·统考一模）抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
【答案】
【分析】易得抛物线的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即可解答．
【详解】解：
所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，
代入得：，
把抛物线绕顶点旋转180°，
可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变，
所以，所求的抛物线解析式为：，
故答案为：．
15．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，抛物线与x轴交于点，，顶点为P．

(1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；
(2)如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部分记作图形M，在图形M中，回答：
①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为_______；
②当时，求y的取值范围；
③当，且时，若最高点与最低点的纵坐标的差为，直接写出m的值．
【答案】(1)；点P的坐标为
(2)①；②y的取值范围为；③m的值为或或
【分析】（1）两点式求出函数解析式，进而求出点P的坐标；
（2）①顶点式，写出函数解析式即可；②求出最大值和最小值，即可得出y的取值范围；③分，，，，五种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
∵，
∴点P的坐标为．
（2）①折叠后顶点变为：，
∴点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为；
故答案为：．
②∵，顶点在之间的图象上，
抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴当时，；当时，，
∴y的取值范围为．
③∵，
∴，
当，即：时，此时：，如图：

由题意，得：，
解得：（舍掉）；
当时，如图：

由题意，得：，
解得：或（舍）；
当时，，当时，
解得：，
∴当时，如图：

由题意，得：，
解得：或（舍掉），
当时，

，
解得：或（舍去）；
当时，如图：

则：，
解得：（舍去）；
综上：m的值为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
16．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
，
，
，
把，代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为
（2）直线表达式，
直线经过定点，
将过点的直线旋转观察和新图象的公共点情况
把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的解析式为，
新图象表达式为：时，；或时，，
如下图当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，

联立，得：，
整理得：
，
，
，
，
，
时，即如上图所示，符合题意，
时，如下图所示，经过点，

不符合题意，故舍去，
如下图，当直线经过点时，和新图象有三个公共点，

把代入，得：，
解得：，
综上所述，当平面内的直线与新图象有三个公共点时，k的值为或
（3）在抛物线上，
设坐标为，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
，代入，
点的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合、翻折、交点个数问题，结合一元二次方程、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点，数形结合是解题的关键．
17．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

(1)求点C，D的坐标；
(2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；
(3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．
①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①，，；②
【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；
（2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴；
（2）解：当时，抛物线解析式为，
当，即，解得或，
∴；
如图，设上与点M关于直线对称的点为，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴；

（3）解：①当时，抛物线解析式为，，
∴，
∴，，
当时，，
∴抛物线恰好经过；
∵抛物线对称轴为直线，
由对称性可知抛物线经过，
∴点时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点；
综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；

②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴点T的纵坐标为，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
解得（舍去，因为此时点F在点D下方）

如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，
当 时，，
∴不符合题意；

综上所述，．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．
18．（2023·河南新乡·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180°得到，W与组成一个新的函数图像，记作G．
①点M，N为图像G上两点（点M在点N的左侧），且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为图像G上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标的取值范围；
②若点，在图像G上，且，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①当点M的坐标为，点N的坐标为时，点Q的纵坐标的取值范围为；当点M的坐标为，点N的坐标为时，点Q的纵坐标的取值范围为；②或．
【分析】（1）先根据抛物线经过原点，可求得a，进而求得抛物线解析式；然后再化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）①先画出函数图像，再根据点M的位置解答即可；②分点在抛物线当点在抛物线W和两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点
∴，即 .
∴抛物线的解析式为.
∵．
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：①根据题意，画出图像G，如图所示：
∵点M，N为图像G上两点，且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，
∴点M的坐标为或，点N的坐标为或.
又∵点M在点N的左侧，
∴点M的坐标为或，点N的坐标为.
∴当点M的坐标为，点N的坐标为时，点Q的纵坐标的取值范围为.
当点M的坐标为，点N的坐标为时，点Q的纵坐标的取值范围为．
②当两点均在y轴右侧时，即点在抛物线上
∵点，在图像G上，且
∴，解得：
当两点均在y轴左侧时，
∵将W绕原点O顺时针旋转180°得到
∴抛物线的解析式为
∵点，在图像G上，且
∴，解得：．
综上，出m的取值范围或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、求抛物线的顶点坐标、二次函数的增减性等知识点，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．
19．（2023·湖南永州·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求、两点的坐标（用含的式子表示）；
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围；
(3)已知直线：，点在二次函数的图象上，点的横坐标为，二次函数的图象在、之间的部分记为（包括点，），图象上恰有一个点到直线的距离为，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）当时，，解方程即可求解；
（2）画出函数图象，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
（3）由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，分别求出， ，画出函数图象，分①当C点在B点左侧，同时C点在直线上方时；②当C点在B点右侧，且在的下方时，两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）
当时，
即
解得：
∴，
（2）解：当时，，
解得或，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图1，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

如图2，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

综上所述：或时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
（3）解：由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，
当时，，
∴，
如图当点在点左侧，同时点在直线上方时，都符合题意，如图所示，

当在上时，
∴
解得：或
∴
如图所示，当点在上或者的下方时，且在对称轴的右侧时，
解得：或（舍去）

综上所述，或时，图象M上恰有一个点到直线l距离为2；
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
20．（2023·河北·统考二模）如图，函数的图象过原点，将其沿轴翻折，得到函数的图象，把函数与的图象合并后称为函数的图象.

(1)的值为__________；函数的解析式为_______________（注明的取值范围）；
(2)对于函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围是_____________；
(3)当直线与函数的图象有个公共点时，求的值.
【答案】(1)3，；
(2)或；
(3)或
【分析】（1）根据函数的图象过原点，即可求出的值，求出函数的解析式，求出抛物线对称轴，顶点坐标；令，解出，把点代入，即可求出的解析式，即可；
（2）根据函数图象的增减性，即可；
（3）结合图象，时，直线与函数有三个公共点，当直线与抛物线相切时，直线与函数有三个公共点，结合图象，确定有个公共点的条件，即可．
【详解】（1）∵函数的图象过原点，
∴，
∴；
∴对称轴，抛物线的顶点为：，
∴令，
整理得：，
解得：，；
∴抛物线与轴的交点为：，，
∵函数沿轴翻折，得到函数的图象，
∴函数的图象与轴的交点为：，，顶点坐标为：，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：．
（2）由函数图象可知，的对称轴为：直线；的对称轴为：直线，
在中，当时（即段），随的增大而减小；
在，当时（即的右侧），随的增大而减小，
∴函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为：或．

（3）当时，与函数有三个交点，
∵与平行，
∴当直线与抛物线相切时，直线与函数也有个交点，
∴，
∴，
解得：；
∴直线与函数的图象有个公共点时，的值为：或．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，函数的平移，二次函数和一次函数的交点问题．
21．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知抛物线（，，为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像”．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若时，直线与图像有三个交点，求的值；
(3)若直线与图像有四个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)的值为或；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得翻折部分的解析式，根据交点个数，分两种情况求解即可；
（3）求得翻折部分的解析式，利用翻折部分的最低点在的下方，且满足与翻折部分有两个交点．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
∴，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵交轴于、，
∴抛物线沿翻折部分的解析式为，
∵直线与图像有三个交点，
∴与有一个交点，
即有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
∴；
当直线经过时，直线与图像有三个交点，
此时，，
解得；
综上，的值为或；
（3）解：抛物线沿直线翻折，
其开口大小不变，方向向下，对称轴不变，关于直线的对称点为，
故翻折部分的解析式为，
∵直线与图像有四个交点，
∴有两个不相等的实数根，即，
解得，
当时，有，
解得，
故，
即．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、不等式的应用等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
题型04 二次函数旋转问题
22．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)求周长的最小值；
(3)将线段绕点旋转，得到线段，点的对应点为点，当点在抛物线上时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为和
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）因为BC为定值，所以当最小时，PBC的周长最小．如图1所示，连接交l于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求；
（3）分点Q在直线l的左侧和右侧，构造全等三角形即可得出结论．
【详解】（1）由题意可知：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2），
．
的周长为：，是定值，
当最小时，的周长最小．

如图所示，点、关于对称轴对称，连接交于点，则点为所求的点．
，
周长的最小值是：．
，，，
，．
周长的最小值是：；
（3）如图，当点在直线左侧时，

抛物线与轴交于，两点，
对称轴为直线，
将线段绕点旋转，得到线段，
，，
与关于直线对称，
，
，
，
；
如图，当点在直线的右侧时，

过点作于，于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
，，
设，则，
点的坐标为，
代入中，
解得，或舍，
的坐标为，
综上，点的坐标为和．
【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形周长计算、轴对称最短路线等知识点，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解本题的关键．
23．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设．
连接，当与相似时，求的值；
当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标．
【答案】(1)
(2)①或；②或或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用已知条件用含a的代数式表示出点E，D，F，G的坐标，进而得到线段的长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于a的方程，解方程即可得出结论；
②利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质求得 ，和的长，利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得相应线段的长度即可得出结论；
【详解】（1）二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，
解得：
此抛物线的解析式为
（2）令，则
解得：或，
∴
．
∵,
∴
四边形为矩形，
∴
∴
∴
Ⅰ当时，
∴
∴
∴
Ⅱ当时，
∴
∴
∴
综上，当与相似时，的值为或；
点与点重合，
∴
∴
∴
四边形为平行四边形，
在和中，
Ⅰ、当 所在直线与 垂直时，如图，

，，三点在一条直线上，
过点 作 轴于点 ， 则
∴此时点 的横坐标为
Ⅱ当所在直线与垂直时，如图，
，
，
设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，．
，
，
．
，
．
，
，
此时点的横坐标为；
Ⅲ当所在直线与垂直时，如图，
，，
，
，，三点在一条直线上，则，
过点作，交的延长线于点，
，
此时点的横坐标为．
综上，当的边与线段垂直时，点的横坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键
24．（2023·河南周口·校联考二模）如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根据函数的交点式设二次函数的表达式为，将点代入即可求解，再把二次函数变换成顶点式即可求出点的坐标；
（2）①根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为，可知为顶点和的中点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；②根据题意求出点的坐标，由的坐标，图形结合得，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可设二次函数的表达式为，将点代入得，
∴二次函数表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为，
∵为顶点和的中点，即，，
∴点的坐标为，
∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，
∴，
故旋转后的抛物线表达式为；
②由①得点坐标为，
∵，点关于点对称，
∴点坐标为，
∵，，，，
∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，函数图像旋转的性质，中点坐标，几何图形的特点等知识的综合运用是解题的关键．
25．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

(1)如图1，若测得，求a的值；
(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测得，求此时点A、B的坐标；
(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
【答案】(1)
(2)A，
(3)不论k为何值，直线恒过点，见解析
【分析】（1）设线段与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为中点，根据等腰直角三角形的性质即可得到，从而求出，再将代入
即可求出a的值；
（2）过点A作轴于点E，先求出，再证明，利用相似三角形的性质可推算出，设点，建立方程，解方程即可求出m的值，即可得到答案；
（3）设，，设，将A、B代入一次函数建立方程组，根据建立等式，化简等式即可得到，再结合相似三角形的性质，可推算出，从而得到不论k为何值，直线恒过点的结论．
【详解】（1）解：设线段与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为中点，
∵，，
∴，
∴
∵将代入抛物线得，
解得．
（2）解：过点A作轴于点E，

∵点B的横坐标为1，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
设点，则，，
∴
∴，，即点A的坐标为
（3）解：设，，
设，则
得，，
∴
由图可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
由此可知不论k为何值，直线恒过点．
【点睛】本题考查二次函数的性质、旋转的性质和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运行相似三角形的相似比建立等式．
题型05 二次函数折叠问题
26．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．

(1)求，两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
(2)如图1，点在线段上运动，连接，沿直线折叠得到，当轴时，求的度数及点的坐标；
(3)如图2，连接，作，交的边于点，请直接写出的长．
【答案】(1)，，抛物线的解析式为，
(2)的度数为，
(3)的长为或3
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用翻折的性质可得：，；设，利用点的坐标表示出线段，，，的长度，再利用三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点在边上时，利用直角三角形的性质和直角三角形的斜边上的中线，勾股定理解答即可；②当点在边上时，利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论．
【详解】（1）解：令，则，
，
令，则，
，
，
抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
令，则，
或，
；
（2）解：沿直线折叠得到，
，
，．
设，，
，
，，
，．
．
，，
．
解得：或（不合题意，舍去），
，
．
，
，
，
的度数；
（3）解：①当点在边上时，如图，

，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
，，
，
；
②当点在边上时，如图，

，
，
，
．
，，
．
，
，
，
．
综上，当，交的边于点，的长为或3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，折叠的性质，垂直的性质，平行线的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
27．（2023·安徽芜湖·校考一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点O与点D关于线段对称．

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，P为上方的抛物线上的一个动点，连接交于点E．当的面积被直线分成的两部分时，求点P的坐标．
(3)如图2，若直线沿过点D的直线m折叠后恰好经过点，请直接写出直线m与抛物线的交点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)，或
【分析】（1）待定系数法求出解析式即可；
（2）根据的面积被直线分成的两部分，得到或，求出点坐标，进而得到直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；
（3）求出直线的解析式，进而求出点的对应点的坐标，进而求出的中点坐标，该点在直线m上，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵点O与点D关于线段对称，
∴是的垂直平分线，
设交于点，

则，
∴为的中点，
∴，
又为的中点，
∴，
的面积被直线分成的两部分时，有两种情况：
①，
∵，
∴，
∴，
∴点为点的中点与点的中点，
∵的中点坐标为：，
∴，
设的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴，
②当时，
同法可得：点为点的中点与点的中点，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴；
综上：或．
（3）设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
设点关于直线的对称点为，
则：在直线上，，
设，
∵，，
∴，
解得：或（舍掉），
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴的中点在直线上，
设直线的解析式为：，
∵，点在直线上，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或，
∴或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
28．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，二次函数与x轴交于，两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．

(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：；②的最小值；
(3)当时，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
(3)
【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可得出二次函数的表达式；
（2）①根据两角相等的两个三角形相似即可证明；②由得出，则，所以最小，的值最小，求出此时，即可得出答案；
（3）先求出点和的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵二次函数与x轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式．
（2）①由翻折得：，
∵二次函数与x轴交于，两点，顶点为C，
∴点O、A关于对称轴对称．
∴．
∴．
∵，
∴．
②∵，
∴．
∵，
∴．
∴的最小值就是的最小值．
∵，
∴．
∴．
∴当时，最小，的值最小．
此时，，
∴的最小值是．
（3）连接，过点作于，延长交于点，设抛物线的对称轴与轴交于点，如图所示：

∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
由翻折知，，
∵，，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴．
解得：（舍去），，
∴，．
∴．
∴．
设直线的解析式为，把和代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，抛物线的对称性，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．
29．（2023·浙江湖州·统考一模）一张矩形纸片（如图1），，．点E是边上的一个动点，将沿直线折叠得到，延长交直线于点G，直线与直线交于点Q．
初步探究
(1)求证：是等腰三角形；
(2)设，当时，计算m的值；
深入探究
(3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点О重合，边、分别与x轴、y轴正半轴重合．点H在边上，将沿直线折叠得到．
①当经过的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数的图象经过A、D两点．若将直线右侧的抛物线沿对折，交y轴于点M，请求出的长度．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由题意易得，然后根据折叠的性质及平行线的性质可进行求证；
（2）过点F作，交于点K、L，由题意易证，则有，设，则有，然后利用勾股定理可建立方程求解；
（3）①过点P作，交x轴于点J，交于点T，由题意易得，则有，然后根据矩形的性质及等腰直角三角形的性质可求解；②设与抛物线的交点为，连接，根据折叠性质可知点M与点关于对称，由①及折叠的性质可知，则有，把点A、D的坐标代入求得二次函数解析式，过点作轴于点R，则，设点，然后根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点F作，交于点K、L，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得：（负根舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①过点P作，交x轴于点J，交于点T，如图所示：
在矩形中，，，
∴同理（2）可得，四边形是矩形，
∴，
∵经过的中点N时，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴也为等腰直角三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴；
②设与抛物线的交点为，连接，根据折叠性质可知点M与点关于对称，如图所示：
∴，
由可得点，代入二次函数得：
，
解得：，
∴，
由①可知，过点作轴于点R，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点，则，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
30．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值；
(3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)秒
(3)能， 秒或 秒或 秒
【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线，待定系数求解析式即可求解；
（2）设．三点，，构成以为为斜边的直角三角形，勾股定理得出， ．继而得出直线的解析式为 ，当时，，得出，进而即可求解；
（3）分三种情况讨论，①点在轴正半轴上；②点在y轴负半轴上，③点在轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
，
顶点的坐标为；
（2）如图1，
设．
三点，，构成以为斜边的直角三角形，
，
即，
整理，得，
解得 ，舍去，
．
设直线的解析式为，则 ，
解得 ，
．
当时，，
，
秒；
（3）分三种情况：
①若点在轴正半轴上，如图2，
可得，
即 ，
解得 ；
②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E．
可得，
，
，
，
，
，
．
在与中，
，
，
，
；
③若点在轴负半轴上，如图
可得，
即，
解得 ；
综上所述，所有满足条件的的值为 秒或 秒或 秒．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．平移方式（n＞0)
一般式y=ax2+bx+c
顶点式y＝a(x–h) 2＋k
平移口诀
向左平移n个单位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n个单位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右减
向上平移n个单位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n个单位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下减
变换前
变换方式
变换后
口诀
y=a(x-h)²+k
绕顶点旋转180°
y= -a(x-h)²+k
a变号，h、k均不变
绕原点旋转180°
y= -a(x+h)²-k
a、h、k均变号
沿x轴翻折
y= -a(x-h)²-k
a、k变号，h不变
沿y轴翻折
y= a(x+h)²+k
a、h不变，h变号