中考数学二轮复习 重难点07 三角形的6种模型（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc156571268" 题型01 A字模型
\l "_Tc156571269" 题型02 8字模型
\l "_Tc156571270" 题型03 飞镖模型
\l "_Tc156571271" 题型04 老鹰抓小鸡模型
\l "_Tc156571272" 题型05 双角平分线模型
\l "_Tc156571273" 题型06 三角形折叠模型
题型01 A字模型
【模型介绍】图形像“A”字，故曰“A”字模型.
1．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了；
结论③：通过图中条件可以得到；

A．只有①对B．①和③对C．①、②、③都对D．①、②、③都不对
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则 度．
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则 °．

6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
题型02 8字模型
【模型介绍】图形像“8”字，故曰“8”字模型.
7．（2023下·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）如图，相交于点O，连接．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，和的平分线相交于点P，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，与交于点，甲、乙两人要证明，做法如下：
甲：是和的外角，
，
故得证．
乙：作一圆通过，，，四点，
与对同弧，与对同弧．
，，
．
对于甲、乙两人的做法，以下结论正确的是（ ）
A．甲、乙两人的做法都是正确的B．甲的做法正确，乙的做法错误
C．乙的做法正确，甲的做法错误D．甲、乙两人的做法都是错误的
10．（2023·陕西榆林·统考一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
11．（2020·全国·九年级专题练习）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
12．（2020·全国·九年级专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．
13．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
14．（2021下·江苏苏州·七年级苏州市第十六中学校考阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示）
15．（2019下·河南新乡·七年级校联考期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
题型03 飞镖模型
【模型介绍】图形像“飞镖”，故曰飞镖模型.
16．（2013·湖北鄂州·中考真题）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A．165°B．120°C．150°D．135°
17．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点是的内心，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2023上·河北邯郸·八年级统考期末）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
19．（2023·河北邯郸·统考一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若保持不变，则将图中 （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．
20．（2021·全国·九年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A．B．C．D．
21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，若，则 ．
22．（2019·全国·九年级专题练习）如图，中，
(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；
(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．
23．（2020下·七年级统考课时练习）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；
②如图3，平分，平分，若，求的度数；
③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．
24．（2021下·江苏镇江·七年级统考期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________．
题型04 老鹰抓小鸡模型
25．（2019上·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
26．（2022上·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
27．（2020下·江苏常州·七年级校联考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于( )
A．40°B．60°C．80°D．140°
28．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点，落在边上的点，处，折痕为，则（ ）

A．B．C．D．
29．（2023下·河南郑州·八年级校考开学考试）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在中，请根据题意，探索不同情境中（或）与的数量关系．

(1)如图①，若∠A＝60°，沿图中虚线截去，则＝ ．
(2)如图②，翻折后，点A落在点处，若，求的度数．
(3)如图③，纸片沿折叠，使点A落在点处，若，，则的度数为 ．
30．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
31．（2019下·江苏宿迁·七年级校联考期中）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，
（1）①若，则 ；
②若，则 ；
③探索 、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则 ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则 ；
③若将n边形也按照上面方式折叠，则 ；
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点落在△ABC边上方点的位置， 探索、与之间的数量关系，并说明理由.
题型05 双角平分线模型
32．（2023·青海·统考一模）如图，在中，是的平分线，是的平分线，与相交于点，若，则的度数是 ．
33．（2023·山东青岛·统考一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．
如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，
（1）若，则______；
（2）若，则______；
（3）若，则______．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是的边延长线上一点，
（4）若，分别作和的平分线交于点O，则______；
（5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______；
（6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______．
34．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
35．（2021·全国·九年级专题练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ．
36．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．
（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．
（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．
37．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图（a），平分，平分.
①当时，求的度数.
②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

题型06 三角形折叠模型
38．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，在中，，D为的中点，E为边上一点，将沿着翻折，得到，连接．当时，则的度数为 ．
39．（2023·江西·模拟预测）如图，在中，，，点P是边上一点，点D是边上一点，将沿折叠，使点A落在边上的处，若，则的度数为 ．
40．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，有一个三角形纸片，，，将纸片一角折叠，使点C落在外．若，则的大小为 ．

41．（2020上·湖南常德·九年级校考期中）如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为 ．
42．（2020·山西·校联考二模）综合与实践：直角三角形折叠中的数学。数学活动：在综合实践活动课上，老师让同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动，探究折痕长度的有关问题．在中，．
（1）如图1，勤学组将点沿折叠，使得点与点重合，折痕交于点交于点则的长为 ．
如图2，乐学组将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，折痕交于点则的长为 ．
（2）如图3，博学组将点沿折叠，使得点与点重合，折痕交于点交于点求线段的长度；
如图4，善思组在博学组的基础上，将点沿折叠，使得点的对应点落在上，则的长度为_ ．
（3）如图5，奋进组将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，求的长度；
如图6，创新组在奋进组的基础上，将点沿折叠，使得点的对应点落在上，折痕交于点再把展开，将点沿折叠，使得点的对应点落在的延长线上，折痕交于点得到如图7所示的图形，请直接写出的长．
43．（2021上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．118°C．100°D．90°
已知
图示
结论（性质）
已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E
∠1+∠2=∠A+180°
已知
图示
结论（性质）
已知AD，BC相交于O
∠A+∠B=∠C+∠D
已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD
∠P= (∠B+∠D)
已知
图示
结论（性质）
已知四边形ABCD
∠C=∠A+∠B+∠D
已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC
∠O= (∠A+∠C)
已知
图示
结论（性质）
∠A+∠O=∠1+∠2
口诀：腋下两角之和等于上下两角之和
∠A+∠O=∠2-∠1
已知
图示
结论（性质）
已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB
∠D=90°+∠A
已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB
∠D=90°- ∠A
已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD
∠E=∠A
已知
图示
结论（性质）
将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时
∠2=2∠C
将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时
2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2）
将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时
2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）