2024年贵州省贵阳六中高考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年贵州省贵阳六中高考数学一模试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(1x− x)8的展开式中含x项的系数为( )
A. 24B. 28C. 20D. 32
2.已知F1(−1,0)，F2(1,0)是椭圆M的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆M于A，B两点，且|AB|=3，则椭圆M的离心率为( )
A. 12B. 32C. 13D. 22
3.已知zz−i=2i(i为虚数单位)，则z=( )
A. 25+45iB. 25−45iC. −25+45iD. 45+25i
4.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S5−S3=6，则S8=( )
A. 36B. 24C. 18D. 32
5.已知α，β满足tan(α+π6)=3，tan(π12−β)=12，则tan(α+2β)=( )
A. −13B. 13C. 34D. 23
6.已知函数f(x)=a+ex,x>0e−x,x≤0，若方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,e)B. (−∞,−e)C. (−∞,−2e)D. (−∞,2e)
7.如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为3km，山高为3 15km，B是山坡SA上一点，且AB=7km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为( )
A. 10.2kmB. 12kmC. 2513kmD. 14413km
8.如图，在边长为2的正方形ABCD中.以C为圆心，1为半径的圆分别交CD，BC于点E，F.当点P在劣弧EF上运动时，BP⋅DP的取值范围为( )
A. [1−2 2,−12]
B. [1−2 2,−1]
C. [−1,1− 2]
D. [1−2 2,1− 2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 频率分布直方图中a的值为0.005
B. 估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80
C. 估计这200名学生竞赛成绩的众数为78
D. 估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为150
10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点Q，使得PQ/​/BD
B. 存在点Q，使得PQ⊥平面AB1C1D
C. 三棱锥Q−APD的体积不是定值
D. 存在点Q，使得PQ⊥AC
11.已知2x=3y=6，则实数x，y满足( )
A. (x−1)(y−1)=1B. x+y>4
C. 1x+1y>1D. xy>4
三、解答题：本题共8小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题5分)
已知集合A={x|013.(本小题5分)
如图，点M，N在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，且MN的中点A在直线x=−1上，线段MN的中垂线AB与x轴交于点B(−3,0)，则双曲线的方程可以为______．
14.(本小题5分)
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，已知f(x1)+f(x2)=0，且|x2−x1|<π2，则f(x1+x2+π6)= ______．
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=xlnx，g(x)=x2+ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设f(x)的图象在点(1,0)处的切线与g(x)的图象相切，求a的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a=2ccsB+b．
(1)求角C的大小；
(2)若c= 7，a+b=5，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=BB1=2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC．
(1)证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C.
(2)若BC=2，且∠B1BC=60°，求二面角D−AC1−C的余弦值．
18.(本小题17分)
高邮市某中学开展劳动主题德育活动，某班统计了本班学生1−7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月劳动时间y(单位：小时)关于月份x的线性回归方程y =b x+4，y与x的原始数据如表所示：
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知i=17xiyi=452．
(1)求m，n的值；
(2)如果该月人均劳动时间超过13(单位：小时)，则该月份“达标”.从表格中的7组数据中随机选5组，设ξ表示“达标”的数据组数，求ξ的分布列和数学期望．
参考公式：在线性回归方程y​=b​x+a​中，b =i=1nxiyi−nx−⋅y−i=1nxi2−nx−2．
19.(本小题17分)
如图，抛物线Γ：y2=2x，A，B，M，N为抛物线Γ上四点，点T在y轴左侧，且M，N，D分别为线段TA，TB和AB的中点．
(1)证明：直线TD与x轴平行．
(2)设圆C：(x+2)2+y2=3，若T为圆C上的动点，设△TAB的面积为S，求S的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据二项式的展开式：Tr+1=C8r⋅(−1)r⋅x3r2−8(r=0,1,2,3,4,5,6,7,8)；
当r=6时，含x项的系数为C86⋅(−1)6=28．
故选：B．
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，如图：
|AB|=3，由椭圆的对称性可得：|AF2|=|AB|=32，
又|F1F2|=2，由勾股定理可得：|AF|= |F1F2|2+|AF2|2= 22+(32)2=52，
所以2a=|AF1|+|AF2|=4，a=2，
又c=1，故离心率e=ca=12．
故选：A．
根据题意，由椭圆的几何性质求出a、c的值，结合椭圆的性质计算可得答案．
本题考查椭圆的基本性质，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵zz−i=2i(i为虚数单位)，
则z=2i(z−i)，即z=2i⋅z+2，
即(1−2i)z=2，
即z=21−2i=2(1+2i)(1−2i)(1+2i)=25+45i.
故选：A．
由复数的四则运算法则直接求解．
本题考查复数的四则运算，还考查了计算能力，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5−S3=6，
∴a4+a5=S5−S3=6，
则S8=82(a1+a8)=4(a4+a5)=4×6=24．
故选：B．
由等差数列前n项和得到a4+a5=S5−S3=6，则S8=82(a1+a8)=4(a4+a5)，由此能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵tan(π12−β)=12，
∴tan(π6−2β)=2tan(π12−β)1−tan2(π12−β)=11−14=43，且tan(α+π6)=3，
∴tan(α+2β)=tan[(α+π6)−(π6−2β)]=tan(α+π6)−tan(π6−2β)1+tan(α+π6)tan(π6−2β)=3−431+3×43=13．
故选：B．
根据二倍角的正切公式求出tan(π6−2β)的值，然后根据两角差的正切公式可得出答案．
本题考查了两角差的正切公式，二倍角的正切公式，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：令g(x)=f(x)+ex，
由题意得，g(x)有3个零点，
因为x≤0时，g(x)=ex+e−x，则g′(x)=e−1ex，
当x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当−10，g(x)单调递增，且g(−1)=0，
当x>0时，g(x)=a+ex+ex，
则g′(x)=e−ex2=e×x2−1x2=e(x−1)(x+1)x2，
当01时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
g(x)的大致图象如图所示：
结合函数图象可知，g(1)=a+2e<0，
所以a<−2e．
故选：C．
构造函数g(x)=f(x)+ex，结合x的范围分别讨论单调性，结合单调性及函数零点存在条件即可求解．
本题主要考查了由函数零点个数求解参数范围，体现了分类讨论及数形结合思想的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意，半径为3，山高为3 15，
∴母线长为：SA= (3 15)2+32=12，
底面圆周长为2π×3=6π，
圆锥侧面展开图如图所示，
圆心角θ=6πSA=6π12=π2，即∠ASA′=π2，A′B=7，
∴SB=12−7=5，AB= SA2+SB2= 122+52=13，
作SH⊥AB于H，则△SBA∽△HBS，
∴5HB=135，∴HB=2513，
∴上坡路段长AH=AB−HB=13−2513=14413km．
故选：D．
将圆锥的侧面展开成扇形，然后利用解三角形知识求解即可．
本题考查圆锥的性质，考查解三角形，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0,−2)，D(−2,0)，
设P(csθ,sinθ)，其中θ∈[π,3π2]，
则BP⋅DP=(csθ,sinθ+2)⋅(csθ+2,sinθ)
=2sinθ+2csθ+1
=2 2sin(θ+π4)+1，
又θ∈[π,3π2]，
则θ+π4∈[5π4,7π4]，
则sin(θ+π4)∈[−1,− 22]，
则BP⋅DP∈[1−2 2,−1]．
故选：B．
先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的运算及三角函数最值的求法求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数最值的求法，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由频率分布直方图可得：10×(2a+3a+7a+6a+2a)=1，解得a=0.005，故A正确；
对于B，前三个矩形面积为(2a+3a+7a)×10=0.6，即第60百分位数为80，故B正确；
对于C，估计这200名学生竞赛成绩的众数为70+802=75，故C错误；
对于D，总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为：3a×10×1000=150，故D正确．
故选：ABD．
由频率分布直方图的性质逐一计算即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A、正方体中，BD/​/B1D1，而P为线段A1C1的中点，即为B1D1的中点，
∴B1D1∩PQ=P，故BD，PQ不可能平行，故A错误；
对于B、若Q为BC1的中点，则PQ/​/A1B，而A1B⊥AB1，故PQ⊥AB1，
又AD⊥面ABB1A1，A1B⊂面ABB1A1，则A1B⊥AD，故PQ⊥AD，
AB1∩AD=A，AB1，AD⊂面AB1C1D，则PQ⊥面AB1C1D，
∴存在Q使得PQ⊥平面AB1C1D，故B正确；
对于C、由正方体的性质知，BC1/​/AD1，而AD1∩面APD=A，故BC ​1与面APD不平行，
∴Q在线段BC1上运动时，到面APD的距离不一定相等，
故三棱锥Q−APD的体积不是定值，故C正确；
对于D、∵PQ⊂平面A1B1C，而当Q与B重合时，PQ⊥A1C1，
又AC/​/A1C1，则PQ⊥AC，故D正确．
故选：BCD．
直接证明A错误；利用直线与平面垂直的判定判断B；分析BC1与面APD不平行判断C；举例说明D正确．
本题考查线线平行的判断，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积，线线角的求解，属中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为2x=3y=6，
所以x=lg26，y=lg36，
所以1x+1y=lg62+lg63=1，C错误；
所以x+y−xy=0，
因为(x−1)(y−1)=xy−(x+y)+1=1，A正确；
x+y=(x+y)(1x+1y)=2+yx+xy≥2+2 xy⋅yx=4，当且仅当x=y时取等号，显然等号无法取得，
故x+y>4，B正确；
因为xy=x+y>2 xy，等号无法取得，
所以xy>4，D正确．
故选：ABD．
结合指数与对数的转化可求x，y，然后结合对数运算性质检验选项A，C，结合基本不等式检验选项B，D．
本题主要考查了指数与对数的转化公式，对数的运算性质，基本不等式，属于基础题．
12.【答案】{−2,−1,0}
【解析】解：∵A={x|0又B={−2,−1,0,1,2}，∴(∁RA)∩B={−2,−1,0}．
故答案为：{−2,−1,0}．
利用补集运算的定义求得∁RA，再由交集运算的定义得答案．
本题考查交集与补集的混合运算，是基础题．
13.【答案】x2−y22=1
【解析】解：设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，依题意，x1+x2=−2，线段MN的中点A(−1,y1+y22)，
因为线段MN的中垂线与x轴交于点(−3,0)，显然直线MN的斜率存在且不为0，
则y1+y22−1−(−3)⋅y1−y2x1−x2=−1′，即y12−y22=−4(x1−x2)，
又点M，N在双曲线上，则b2x12−a2y12=a2b2b2x22−a2y22=a2b2，即有b2(x12−x22)=a2(y12−y22)=−4a2(x1−x2)，于是b2a2=−4x1+x2=2，
所以双曲线的方程可以为：x2−y22=1．
故答案为：x2−y22=1．
设出点M，N的坐标，表示出MN的中点A的坐标，再利用斜率坐标公式，可得双曲线方程．
本题主要考查双曲线的方程和性质，属于中档题．
14.【答案】1
【解析】解：由题意可知，A=2，3T4=2πω=11π12−π6=3π4，
故ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)，
由五点作图可知，2×π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，
又0<φ<π，
所以φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6)，
若f(x1)+f(x2)=0，且|x2−x1|<π2，
则根据正弦函数的对称性可知，x1+x2=2×5π12=5π6，
f(x1+x2+π6)=f(π)=2sin(2π+π6)=2sinπ6=1．
故答案为：1．
由最值可求A，由周期求出ω，结合五点作图可求φ，即可求解函数解析式，再由正弦函数的对称性即可求x1+x2=5π6，代入即可求解．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的求解，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=lnx+x⋅1x=lnx+1，
令f′(x)=0，得x=1e，
所以在(0,1e)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(1e,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为(0,1e)，单调递增区间为(1e,+∞)．
(2)f(1)=1×ln1=0，
所以(1,0)在函数f(x)=xlnx的图象上，
f′(x)=lnx+1，则f′(1)=1，
所以f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x−1．
当(1,0)在g(x)=x2+ax上时，12+a=0，解得a=−1，
所以g(x)=x2−x，则g′(x)=2x−1，
所以g′(1)=2−1=1，
所以g(x)=x2−x在(1,0)处的切线方程为y=x−1，满足题意，
当(1,0)不在g(x)=x2+ax上时，设切点为(x0,x02+ax0)，
g′(x)=2x+a，则g′(x0)=2x0+a，
由于在(x0,x02+ax0)处的切线方程为y=x−1，
所以x02+ax0=x0−12x0+a=1x0≠1，
解得x0=−1，a=3，
综上所述，a=−1或a=3．
【解析】(1)求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性，即可得出答案．
(2)通过计算可得(1,0)在函数f(x)=xlnx的图象上，求导可得f′(1)，进而可得f(x)在点(1,0)处的切线方程，分两种情况：当(1,0)在g(x)=x2+ax上时，当(1,0)不在g(x)=x2+ax上时，g(x)的切线方程，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为2a=2ccsB+b，由余弦定理可得2a=2c⋅a2+c2−b22ac+b，
整理可得：a2+b2−c2=ab，
由余弦定理可得：a2+b2−c2=2abcsC，
所以csC=12，而C∈(0,π)，
所以角C为π3；
(2)因为c= 7，a+b=5，由(1)可得c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−3ab，
即7=25−3ab，解得ab=6，
所以S△ABC=12absinC=12×6× 32=3 32．
【解析】(1)等式中由余弦定理可得a，b，c的关系，再由余弦定理可得csC的值，再由角C的范围，可得角C的大小；
(2)由余弦定理可得ab的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积的大小．
本题考查余弦定理的应用及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，
又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥平面BB1C1C，
又因为AD⊂平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BB1C1C.
(2)解：若BC=2，∠B1BC=60°，连接B1D，
因为B1B=2，BD=1，利用余弦定理得，B1D2=B1B2+BD2−2B1B⋅BD⋅cs60°=4+1−2×2×1×12=3，
所以B1D2+BD2=B1B2，所以B1D⊥BD，所以AD、B1D、BD两两垂直，
分别以DA、DB、DB1为x、y、z轴建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示：
则D(0,0,0)，A( 3,0,0)，C(0,−1,0)，C1(0,−2, 3)，
所以DA=( 3,0,0)，AC1=(− 3,−2, 3)，AC=(− 3,−1,0)，
设平面DAC1的一个法向量为m=(x,y,z)，则m⋅DA=0m⋅AC1=0，
即 3x=0− 3x−2y+ 3z=0，解得x=0，令z=1，得y= 32，所以m=(0, 32,1)，
设平面AC1C的一个法向量为n=(a,b,c)，则n⋅AC=0n⋅AC1=0，
即− 3a−b=0− 3a−2b+ 3c=0，令a=1，得b=− 3，c=−1，所以n=(1,− 3,−1)，
计算cs=m⋅n|m||n|=0−32−1 0+34+1× 1+3+1=− 357，
由图知，二面角D−AC1−C是锐角，所以余弦值是 357．
【解析】(1)由平面BB1C1C⊥平面ABC，得出AD⊥平面BB1C1C，即可证明平面ADC1⊥平面BB1C1C.
(2)由余弦定理求出B1B，利用勾股定理判断B1D⊥BD，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值．
本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了二面角的大小计算问题，是中档题．
18.【答案】解：(1)x−=17(1+2+3+4+5+6+7)=4，
y−=17(8+9+n+12+m+19+22)=17(70+m+n)，
∵i=17xiyi=1×8+2×9+3n+4×12+5m+6×19+7×22=452，
∴3n+5m=110，①
∵i=17xi2=1+4+9+16+25+36+49=140，
∴b =i=17xiyi−7x−y−i=17xi2−7x−2=452−7×4×y−140−7×42，
整理得7b +7y−=113，②
由y−=b x−+4，得y−=4b +4，③
由②③得b =177y−=967，故m+n=26，④
由①④得m=16n=10；
(2)由题意，ξ的可能取值为1，2，3，
且P(ξ=1)=C31C44C75=17，
P(ξ=2)=C32C43C75=47，
P(ξ=3)=C33C42C75=27，
故ξ的分布列为：
∴E(ξ)=1×17+2×47+3×27=157．
【解析】(1)根据已知数据，结合最小二乘法列方程求相关参数，进而确定原数据值；
(2)由题设确定随机变量的可能值并求对应概率，写出分布列，进而求期望即可．
本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的分布列和期望，属中档题．
19.【答案】(1)证明：设T(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为M，N分别为线段TA，TB的中点，
所以M(x0+x12,y0+y12)，N(x0+x22,y0+y22)，
又A，M在抛物线Γ上，
所以y12=2x1，(y0+y12)2=2⋅x0+x12，整理得y12−2y0y1+4x0−y02=0，
同理可得y22−2y0y2+4x0−y02=0，
所以y1，y2是方程y2−2y0y+4x0−y02=0的两根，
所以y1+y2=2y0，y1y2=4x0−y02，
因为D为线段AB的中点，
所以点D的纵坐标为y1+y22=2y02=y0，与点T的纵坐标相等，
所以直线TD与x轴平行．
(2)解：因为D为线段AB的中点，
所以xD=12(x1+x2)=12(y122+y222)=14[(y1+y2)2−2y1y2]=14[(2y0)2−2(4x0−y02)]=12(3y02−4x0)，
所以D(12(3y02−4x0),y0)，
所以S=12|TD|⋅|y1−y2|=12|12(3y02−4x0)−x0|⋅ (y1+y2)2−4y1y2=34|y02−2x0|⋅2 2 y02−2x0=3 22⋅(y02−2x0)32，
因为点T(x0,y0)在圆C：(x+2)2+y2=3上，
所以(x0+2)2+y02=3，即y02=3−(x0+2)2，
所以y02−2x0=3−(x0+2)2−2x0=−x02−6x0−1，是关于x0的二次函数，且开口向下，对称轴为x0=−3，
故当x0=−3时，y02−2x0取得最大值8，
此时S=3 22⋅(y02−2x0)32≤3 22⋅832=48，
所以S的最大值为48．
【解析】(1)设T(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，结合中点坐标公式与抛物线的方程，利用韦达定理，证明点T与点D的纵坐标相等即可；
(2)结合中点坐标公式与韦达定理，表示出点D的坐标，再由三角形的面积公式表示出S，利用点T在圆C上，进一步将S转化为关于x0的函数，然后根据二次函数的性质，求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握抛物线的方程，中点坐标公式，韦达定理是解题的关键，考查方程思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．月份x
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