2024绵阳南山中学实验学校高三下学期4月月考试题数学（理）含答案

这是一份2024绵阳南山中学实验学校高三下学期4月月考试题数学（理）含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：唐建伟 王诗洁 审题人：朱礼臣 李如成
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的焦点和准线为（ ）
A． B．
C． D．
4．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为102分钟，则的值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
5．已知函数，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．直线与圆：有公共点的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．过双曲线：左焦点为和点直线与曲线的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为，那么经过时间后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量．”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为，经检测现在的存量为．据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：）
A．2452年B．2750年C．3150年D．3856年
9．函数的图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
11．在高考的任一考场中，都安排6行5列共30名考生，考号机选，考场使用卷和卷两种答卷以防作弊，且每名考生拿到卷和卷都是均等的，且相邻考生答卷不相同，甲乙两名同学在同一考场，已知甲乙同列的情况下，则他们都拿到卷的概率（ ）
A．B．C．D．
12．如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转90°得到的．设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面所成角的正弦值最大为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在新冠肺炎疫情期间，学生进行网上上课．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好从小到大排列的连续偶数．则我校高三年级的人数为______．
14．若，满足约束条件，则的最大值为______．
15．已知，则______．
16．倾斜角为锐角的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，则______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列，满足，，．
（1）证明：为等差数列．
（2）设数列的前项和为，求．
18．实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程（精确到0.01）；
（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为，求随机变量的分布列与数学期望．
参考数据：，，其中．
参考公式：对于一组数据（），其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别，．
19．如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．
（1）求三棱锥的体积的最大值；
（2）记平面与平面所成的锐二面角为，当点为中点时，求的值．
20．已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值．
21．已知函数，
（1）讨论时函数在上的单调性；
（2）当时，若对于任意恒成立，求的取值范围．
选作题：共10分，请考生在22、23题中任选一个作答，如果多做，按第一个给分．
选修4—4：极坐标与参数方程
22．在平面直角坐标系中，射线的方程为（），曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求射线和曲线的极坐标方程；
（2）若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点．求的面积．
选修4—5：不等式选讲
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
零件数（个）
18
20
22
加工时间（分）
27
33
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
编号
1
2
3
4
5
6
产值百万辆
9
18
30
51
59
80
绵阳南山中学实验学校高2021级（2024届）四月月考试卷
理科数学参考答案
一、选择题：
CACCB BBCDD AB
二、填空题：
13．650 14． 15．64 16．8
17．【详解】（1）由题意得，，
则，
所以是首项，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得，则，
当为偶数时，
．
当为奇数时，为偶数，
则．
综上，
18．【详解】（1）令，，，
则，
，所以，所以
（2）由题意得，
，，
，，
分布列为：
数学期望
19．【详解】（1）由垂直于平面，且为直三棱柱，故平面，
故为三棱锥的高，设，则，
由，故，则，
故，
故时，三棱锥的体积有最大值；
（2）由垂直于平面，、平面，故、，
又，故、、两两垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，，，
设平面与平面的法向量分别法与，
则有，，即，，
令，，可得，故，，
所以，．
故，当点在中点时，．
20．【详解】（1）由题设得，解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）由，得，
由，得．
设、，则，，
所以点的横坐标，纵坐标，
所以直线的方程为．
令，则点的纵坐标，则，
因为，所以点、点在原点两侧．
因为，所以，所以．
又因为，，
所以，解得，所以．
21．【详解】（1），
，，
当时，；
当时，存在，使得，，，；
故，当时，函数在上为增函数；
当时，存在，使函数在上为减函数，在上为增函数
（2）不等式在和上恒成立，则
当时，成立，；
当时，．
设函数，，，
设，，且，
，，且，
恒成立，
所以函数为上的增函数，即，
函数．
则函数为上的增函数，
则由罗必达法则，，
综上，．
22．【详解】（1）将，代入（）得，
所以，所以射线的极坐标方程为，，
将代入得，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）由题可知，可以设，，
则，，
所以，
所以
23．【详解】（1）由题知，当时，原不等式即，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，恒成立；
当时，不等式为，解得，
综上，不等式的解集为；
（2）因为，
当且仅当时不等式取等号，即，
所以，解得或，
所以的取值范围是1
2
3
4