2024年河南省重点中学九年级三模考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1. 2025的倒数是（ ）
A. B. 2025C. D.
2. “非学无以广才”，意为不学习就难以增长才干，出自诸葛亮《诫子书》．将“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“学”相对的字是（ ）
A 无B. 以C. 广D. 才
3. 2024年，为扎实落实国务院《政府工作报告》关于促进消费稳定增长等有关要求，河南省财政安排专项资金亿元，“亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示，某同学自制了一个测角仪：等腰直角三角板的底边和量角器直径平行．若重锤线与的夹角为，那么被测物体表面的倾斜角的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
7. 某区举办了创新技能操作赛，A，B两个学校各有五名选手，在首轮比赛中选手得分汇表如下，有关数据分析完全正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
8. 如图所示，在中，点E在边上，且，连接交于点O，则的面积与的面积之比为（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（ ）．
A. 有最大值为B. 有最小值为C. 有最大值为D. 有最小值为
10. 如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转后得到按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图所示，从长a宽b的矩形纸片中剪去一个边长为c的正方形，余下纸片的面积为______．
12. 关于x的不等式组的解集是_______．
13. “学史明智”，历史是最好的教科书，也是最好的清醒剂和营养剂．在如图所示的四张无差别卡片上分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所抽取事件都发生于新中国成立以后的概率为____．
14. 如图所示，在圆内接正六边形中，，则阴影部分的面积为______．
15. 如图所示，在矩形中，，．点P为边上一定点且，点Q为边上不与端点重合的一动点，将四边形沿翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，连接，则的长为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 书法作为中国传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化信息，被誉为“无言的诗”．某初级中学注重学生书法练习，并将其作为家庭作业的一项必查内容，为了解学生每周在家书法练习时间t（小时）的情况，随机抽取了部分学生进行调查并整理分析，共分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为，绘制成如下不完整的统计图表．
学生每周在家书法练习时间的频数分布表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于______调查，本次调查的样本容量是_______；
（2）A组数据的中位数是______，D组所在扇形的圆心角的度数是______；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生每周在家书法练习时间超过人数．
18. 如图所示，在平面直角坐标系中的y轴正半轴上取点，x轴正半轴上取点，以为边构造等腰直角，点P为的中点，反比例函数过P，C两点．

（1）求a的值及反比例函数的解析式；
（2）设直线为，请依据图形直接写出不等式的解集．
19. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
20. 古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．
某数学兴趣小组对该命题进行了论证，其作答共分为两个流程：尺规作图和论证推理．

（1）尺规作图步骤如下：①以点B为圆心，小于的长为半径作弧，分别交射线OB于P，Q两点；②分别以P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线，射线与射线交于点A；④可得直线为的切线．请按描述完成作图；
（2）依据所作图形，求证：．
21. 随着电动车技术的日益发展和环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间．某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电．经测试，在用快速充电桩和普通充电桩对汽车充电时，其电量y与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段 ．根据以上信息，回答下列问题：
（1）求线段和线段所代表的函数解析式；（写出取值范围）
（2）在某次出行之前，李梅要对余电的电车充电，先用快速充电桩充电，再用普通充电桩充电，要求用2.5小时完成充电，请你设计一个合理的充电方案．
22. 高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？
23. 【问题发现】
（1）如图1所示，在等腰中，点P为底边上一动点，在射线上取点D，作，垂足为E．若．则与的数量关系为_______；
【类比探究】
（2）如图2所示，在等腰中，，点P为底边BC上一动点，在射线上取点D，作，垂足为E．若，且．请探究与的数量关系；
【拓展应用】
（3）在（2）的前提下，若，点P为线段的三等分点，请直接写出的长．
学校
1号
2号
3号
4号
5号
A学校
70分
80分
70分
70分
90分
B学校
75分
85分
75分
75分
95分
组别时间
t/h
频数
A
5
B
12
C
20
D
m
E
8
课题
古代典籍数学文化探究
工具计
算器、纸、笔等
示意图
说明
图2是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
参考数据
计算
求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1）
过程

命题解读：直线为的切线，直线为圆的割线，以为边构造正方形，以为边构造矩形，可得正方形的面积等于矩形的面积，由此可得．