江苏省徐州市沛县第五中学2023-2024学年八年级下学期3月阶段性练习数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 不共线的三条线段可以组成一个三角形B. 400人中有两个人的生日在同一天
C. 早上的太阳从西方升起D. 打开电视机，它正在播放动画片
【答案】B
【解析】
【分析】根据必然事件，随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：A选项中不共线的三条线段不一定首尾相接，不一定组成三角形，是随机事件；
B选项中一年最多366天，则400人中至少有2人生日在同一天，是必然事件；
C选项中太阳从西方升起是不可能事件；
D选项中打开电视不一定播放动画片，是随机事件；
故选B
【点睛】本题主要考查随机事件，必然事件及不可能事件的概念，熟练掌握概念并准确判断是解决本题的关键．
2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形，
所以，中心对称图有2个．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．

A. 45°B. 30°C. 25°D. 15°
【答案】D
【解析】
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′是等腰直角三角形的性质解题．
【详解】由旋转的性质可知，AC=AC′，
又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
∴∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．
故选D．
4. 下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（ ）
A. 守株待兔B. 旭日东升C. 瓜熟蒂落D. 夕阳西下
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案；
【详解】解：A．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间
5. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A. 矩形B. 菱形
C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到EH⊥EF，根据三角形中位线定理得到AC⊥BD，得到答案．
【详解】解：∵四边形EFGH为矩形，
∴EH⊥EF，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EFAC，
∴EH⊥AC，
同理，EHBD，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的对角线互相垂直，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
6. 如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P 是对角线AC上任一点(点P不与点AC重合)且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是( )
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=AC•BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故选B．
7. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质得，，，，由平行线的性质得，由折叠的性质得，于是，则，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：四边形为矩形，，，
，，，，
由折叠可知，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，利用平行线的性质和折叠的性质推出是解题关键．
8. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )．
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，过点作，分别与、交于点、点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值．
【详解】解：过点作于点，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
设则
，
当时，有最小值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，确定点运动的轨迹．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9. 为了了解线上教学时学校七年级800名学生参加家务劳动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查．在这次调查中，样本容量是_________．
【答案】50
【解析】
【分析】根据样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量可得答案．
【详解】解：为了了解线上教学时学校七年级800名学生参加家务劳动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查，在这次调查中，样本容量是50．
故答案为：50．
【点睛】此题主要考查了样本容量，关键是注意样本容量只是个数字，没有单位．
10. 每年的3月12日都是我国的植树节，某地林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，幼树移植过程中的一组统计数据如下表：
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是______（精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由频率估计概率，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某一个常数，则这个常数估计为事件A发生的概率，由此求解即可．
【详解】解：由统计表可知，这种幼树在此条件下移植成活的概率约是，
故答案为：．
11. 小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，已知A型血的有20人，则O型血的有____人．
【答案】10
【解析】
【详解】全班的人数是：20÷40%=50（人），则O型血的人数是：50×（1﹣40%﹣30%﹣10%）=10（人）．故答案为10．
考点：扇形统计图．
12. 平行四边形的对角线相等是______事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）
【答案】随机
【解析】
【详解】平行四边形的对角线相等是随机事件，
故填：随机.
13. 在平行四边形中，，则的度数是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据对角相等，即可得解．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补，是解题的关键．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则AB的长为________．
【答案】5
【解析】
【分析】首先由在平行四边形ABCD中，AD= 8， BE= 3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，可证CD= CE= 5，即可求解．
【详解】∵在平行四边ABCD中，AD= 8，
∴BC= AD= 8， AD//BC，
∴CE=BC-BE=8-3=5，∠ADE=∠CED，
∴DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD= CE= 5= AB，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，注意证得CE = CD是解此题的关键．
15. 如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形的边、应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形，然后由菱形的判定定理进行解答．
【详解】解：要使四边形是菱形，四边形的边、应满足的条件是，
理由：∵，，，分别是，，，的中点，
∴，，，
∴，
同理，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴平行四边形是菱形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了中点四边形、菱形的判定、平行四边形的判定、三角形的中位线性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
16. 在平面直角坐标系中，□OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过_______秒该直线可将□OABC的面积平分．
【答案】3
【解析】
【分析】若该直线可将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设M为平行四边形ABCD的对称中心，利用O和B的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且点B（6，2），
∴平行四边形ABCD的对称中心M的坐标为（3，1），
∵直线的表达式为y＝2x＋1，
令y=0，2x+1=0，解得x=-
∴直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0）
设直线平移后将平行四边形OABC平分时的直线方程为y＝2x＋b，
将（3，1）代入y＝2x＋b得b＝−5，即平分时的直线方程为y＝2x−5，
令y=0，2x−5=0，解得x=
∴直线y＝2x−5和x轴的交点坐标为（，0），
∵直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0），
∴直线运动的距离为＋＝3，
∴经过3秒的时间直线可将平行四边形OABC的面积平分．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．
三、解答题（共9小题，满分84分）
17. △ABC在平面直角坐标系中位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度
（1）按要求作图，
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1
②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2
（2）按照（1）中②作图，回答下列问题，△A2B2C2中顶点A2坐标为 ；若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点Q的坐标为
【答案】（1）①见详解；②见详解；（2），
【解析】
【分析】（1）①分别作出点A、B、C三点关于原点对称的点，然后依次连接即可；
②由旋转的性质可直接进行作图；
（2）由（1）中②可直接进行求解即可．
【详解】解：（1）①②如图所示：
（2）由（1）中②的图像可得：A2坐标为，若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点Q的坐标为；
故答案为，．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及点的坐标关于原点对称，熟练掌握旋转的性质及点的坐标关于原点对称是解题的关键．
18. 某市对参加2020年中考的名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，的值为__ _，的值为 ．
（2）请将频数分布直方图补充完整．
（3）若视力在以上（含）均属正常，根据上述信息估计全市初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
【答案】（1）60，0.05；（2）见解析；（3）7000人
【解析】
【分析】（1）根据第一组的频数是20，对应的频率是0.1即可求得总人数，然后利用频率的概念求得a、b的值；
（2）根据中位数的定义即可作出判断；
（3）用样本值后面三组的频率和乘以20000可估计全区初中毕业生中视力正常的学生数．
【详解】解：（1）抽查的总人数是：20÷0.1=200（人），
则a=200×0.3=60，b==0.05．
故答案是：60，0.05；
（2）如图，
；
（3）20000×（0.3+0.05）=7000（人），
估计全区初中毕业生中视力正常的学生有7000人．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：

（1）将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，画出；
（2）与关于原点成中心对称，画出；
（3）点为平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点的坐标
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）分别讨论以，，为对角线时的情况，根据平行四边形的性质可得答案．
【小问1详解】
如图，即为所求．
【小问2详解】
如图，即为所求．
【小问3详解】
当以为对角线时，
四边形为平行四边形，
且，
点的坐标为；
当以为对角线时，
四边形为平行四边形，
且，
点的坐标为；
当以为对角线时，
四边形为平行四边形，
且，
点的坐标为．
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查平移作图、中心对称、平行四边形的性质，熟练掌握平移、中心对称的性质以及平行四边形的性质是解答本题的关键．
20. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；
（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．
【详解】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵∠DEB=90°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
则四边形BFDE为矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质定理和矩形点的判定定理是解题的关键．
21. 如图，在中，O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．
（1）与相等吗？证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形是矩形，并加以证明．
【答案】（1），理由见解析
（2）O在的中点上时，四边形是矩形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出,然后运用等量代换即可解答；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可解答．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵直线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
【小问2详解】
解：当O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，证明如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，灵活应用相关性质、判定定理是解答本题的关键．
22. 如图，是以为底的等腰三角形，是边上的高，点、分别是、的中点．求证：四边形是菱形；
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出，再根据，点E、F分别是、的中点，即可得到，进而判定四边形是菱形．
【详解】证明：∵，点E、F分别是、的中点，
∴中，，
中，，
又∵，点E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．另外还考查了等腰三角形的性质，根据题意灵活选取菱形的判定方法是解题的关键．
23. 在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使与重合．
（1）求证是等腰三角形
（2）求折痕的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质得到，再由矩形的性质得到，从而可推出，进而可求解；
（2）过点G作于点E，根据轴对称性质得到，由勾股定理即可求得的值．
【小问1详解】
如图，矩形纸片折叠后，设与重合，过点G作于点E，
由折叠性质得：
，，，，
四边形是矩形，
，，， ，
，
，
，
是等腰三角形．
【小问2详解】
，
，
， ，
，，
设，则，由勾股定理得：
，
解得：，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等众多知识点，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
24. 你在学习平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的过程中，一定积累了不少学习经验，请你利用自己的数学活动经验解决下面的问题：
小丽发现在四边形中还有一种特殊的四边形——“两组邻边分别相等且任意一组对边不相等的四边形”，小丽把这种四边形叫做“筝形”．

（1）请你先在图中的方格纸中画出一个这种四边形；
（2）请你用文字语言写出这种四边形四种性质：
①_____ ___； ②______ __；
③____ ____；④_____ ___.
【答案】（1）见解析 （2）①筝形两组邻边分别相等且任意一组对边不相等；②筝形只有一组对角相等；③筝形的对角线互相垂直；④筝形是轴对称图形
【解析】
【分析】（1）根据筝形的定义画图；
（2）分别从对边，对角，对称性找性质，即可求解．
【小问1详解】
如图所示：

四边形即为所求；
【小问2详解】
)①筝形的两组邻边分别相等且任意一组对边不相等；
②筝形只有一组对角相等；
③筝形的对角线互相垂直；
④筝形是轴对称图形；
故答案为：①筝形的两组邻边分别相等且任意一组对边不相等；②筝形只有一组对角相等；③筝形的对角线互相垂直；④筝形是轴对称图形；
【点睛】本题考查了筝形的性质，理解题意，类比已学四边形的性质是解题的关键．
25. 如图，在中，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）的长为______．
（2）用含t的代数式表示线段的长．
（3）连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值．
【答案】（1）5 （2）或
（3）①不存在，理由见解析；②存在，t的值为
（4）t的值为或2
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q在线段上时和当点Q在线段的延长线上时；
（3）①连接，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案；
②连接，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案；
（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线对称的点落在点A下方时和当点P关于直线对称的点落在点A上方时．
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5；
【小问2详解】
在中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当点Q在线段上时，，
当点Q在线段的延长线上时，，
综上所述，或；
【小问3详解】
①不存在，理由如下：
如图，连接，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
解得（不合题意），
∴不存在t的值，使得与互相平分；
②存在，
如图，连接，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与互相平分；
【小问4详解】
当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
幼树移植数（棵）
400
1500
3500
7000
9000
14000
幼树移植成活数（棵）
325
1336
3203
6335
8073
12628
幼树移植成活的频率
视力
频数（人）
频率