四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期第一次教学质量监测(期中)数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1. 某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A 24种B. 4种C. 种D. 种
2. 已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. 有2个极值点B. 为函数的极大值
C. 有1个极小值D. 为的极小值
4. 已知函数，则（ ）
A. 在上是增函数B. 在上是增函数
C. 当时，有最小值D. 在定义域内无极值
5. 已知，且．若在处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D. 0
6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选或不选得0分）
9. 下列表述中正确的是（ ）
A. 若不存在，则曲线在点处没有切线
B.
C. 已知函数，则
D. 若，则
10. 已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，，则下列说法正确是（ ）
A. 当时，在定义域上恒成立
B. 若经过原点的直线与函数的图像相切于点，则
C. 若函数在区间单调递减时，则的取值范围为
D. 若函数有两个极值点为，则的取值范围为
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数在区间上的最大值是__________.
13 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答）
14. 已知函数，，若直线是曲线的切线，则______；若直线与曲线交于，两点，且，则的取值范围是______.
四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）求的单调区间和极值.
16. 已知函数.
（1）求在上的最大值；
（2）若函数恰有1个零点，求的取值范围.
17. 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
（3）可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？
（4）可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）探究：是否存在实数，使得函数在上最小值为2；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数，e为自然对数的底数．
（1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
（2）判断不等式的整数解的个数；
（3）当时，，求实数a的取值范围．