江苏省南京外国语学校2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京外国语学校2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题2分，共16分）
1．下列四组图形都由两个三角形组成，有一组中的两个三角形可以通过平移其中一个得到另一个，这组图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C．D．
3．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列三条线段的长度，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．5，6，12C．2，5，7D．6，7，8
5．如图，下列条件中，不能判断的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①若，则是直角三角形；
②若三条线段的长、、满足，则以、、为边一定能组成三角形；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④三角形的三条高至少有一条在三角形内部；
⑤在平移过程中，对应线段一定是平行的．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若，，，，则，，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题2分，共20分）
9．有一种球状细菌， 直径约为， 那么用科学记数法表示为
10．计算： ，
11．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：
12．命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是 ，
13．已知多项式的积中不含项，则 ．
14．若二次三项式x2+(2m-1)x+4 是一个完全平方式，则m= ．
15．如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是 ．

16．如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点，，则 °
17．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为
18．如图，在中，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：①；②平分；③④；⑤，其中正确的结论是
三、解答题（本大题共9小题，共64分）
19．计算或化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
20．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
21．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，请利用网格点和无刻度直尺画图：
(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)画出边上的中线及高；
(3)在上述平移中，边所扫过的面积为______．
22．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中．
(1)真命题的个数为______；
(2)选择一个真命题写出理由．
23．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②－①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)______；
(2)______；
(3)求的值；（请写出计算过程）
24．【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
25．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”
(1)在中，若，，则______“准直角三角形”（填写是或不是）；
(2)如果是“准直角三角形”，那么是______，（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能），请说明理由；
(3)如图，在中，，，平分交于点．
①若交于点，在①，②，③，④中“准直角三角形”是______（填写序号）；
②在直线上取一点，当是“准直角三角形”时，直接写出的度数．
26．如图1至图2，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点．

(1)如图1，延长交于点，若，．
①________；
②求证：；
(2)如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示；
(3)当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，接下来根据平移的定义，结合图形进行判断即可．
【解答】解：由平移的概念可知，D中的两个三角形可以通过平移其中一个得到另一个，
故选：D．
2．B
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项计算即可．
【解答】解：A．，故原式不正确；
B．，正确；
C．，故原式不正确；
D．，故原式不正确；
故选B．
【点拨】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则是解答本题的关键．
3．B
【分析】运用平方差公式时，关键要找两数的和与两数的差，字母可以表示数或代数式．
【解答】解：A. ，符合平方差公式，故本选项不符合题意；
B. ，不符合平方差公式，故本选项符合题意；
C. ，符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D. ，符合平方差公式，故本选项不符合题意；
故选B
【点拨】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找两数的和与两数的差，字母可以表示数或代数式．
4．D
【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”进行解答即可．
【解答】A选项：，故这不能构成三角形；
B选项：，故这不能构成三角形；
C选项：，故这不能构成三角形；
D选项：，故这能构成三角形．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了平行线的判定，结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握两直线平行的判定方法．
【解答】、由，根据内错角相等，两直线平行，可以判断，不符合题意；
、由，根据同位角相等，两直线平行，可以判断，不符合题意；
、由，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判断，不符合题意；
、由，不可以判断，符合题意；
故选：．
6．B
【分析】本题考查了命题的真假判断，掌握三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线性质、平移的性质等知识是解题的关键；根据相关知识对各个命题分别判断即可．
【解答】解：∵，且，
∴，即是直角三角形，
故①是真命题；
对于三条线段，满足，但由于，这三条线段不能构成三角形，即是假命题；
故②是假命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
故③是假命题；
锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形斜边上的高在三角形内部，钝角三角形钝角对边上的高在三角形内部，即三角形的三条高至少有一条在三角形内部；
故④是真命题；
在平移过程中，对应线段一定是平行或在同一直线上，故是假命题；
故⑤是假命题．
真命题有2个；
故选：B．
7．B
【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则．
根据整数指数幂的运算法则分别求出、、、，再进行比较即可求解．
【解答】，
，
，
，
，
即．
故选：．
8．C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【解答】解：①．由，则，．由，得，故符合题意．
②．由，则，．由，得，故符合题意．
③．由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．
④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合题意，
共有：①②④符合条件，
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
9．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键，
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此来解答即可．
【解答】解：
故答案为：
10．
【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式，熟悉两个公式的结构特点是解题的关键；分别利用平方差公式与完全平方公式展开即可．
【解答】解：
；
．
11．如果两个角相等，那么这两个角的补角相等
【分析】本题考查了命题的改写；根据命题的条件与结论即可改写．
【解答】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等;
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等;
12． （答案不唯一） 0（答案不唯一）
【分析】本题考查了举反例：符合命题条件，不符合命题结论的例子；根据题意，取a与b的值，满足，但不满足的反例即可．
【解答】解：取，则，但；
故答案为：．（答案不唯一）
13．
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，运用不含某一项就是该项的系数等于0是解本题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．根据多项式与多项式的乘法法则展开，再利用不含的项系数等于0列式求出m的值即可．
【解答】解：


∵不含项项，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．或
【分析】利用完全平方公式的结构特征，根据即可得到m的值．
【解答】∵x2+(2m-1)x+4是一个完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，解题时需注意配出的完全平方式为两个：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a-b）2=a2-2ab+b2．
15．
【分析】本题考查了正多边形的外角问题，三角形内角和定理；先求得正多边形的外角，进而根据三角形的内角和定理，即可求解．
【解答】解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了多边形的内角和、角平分线的定义；根据角平分线的定义及三角形内角和可求得的度数，再由四边形内角和即可求得结果．
【解答】解：∵分别是、的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴；
故答案为：．
17．##110度
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图，分别过点D、E作的平行线，
∵，，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
18．①③④⑤
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明，，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．
【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，故结论③正确；
∵，
∴，
∵分别平分、，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∵，
∴，故结论⑤正确；
根据现有条件，无法推出平分，故结论②错误．
故答案为：①③④⑤．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查了负整数指数幂及零指数幂，幂的运算，单项式除以单项式，整式的混合运算，熟练掌握相关计算法则与公式是关键．
（1）根据幂的运算法则计算即可；
（2）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的法则计算即可；
（3）分别计算积的乘方、同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
（4）按照多项式乘多项式的法则进行计算即可；
（5）连续两次利用平方差公式即可；
（6）先逆用积的乘方，再利用平方差公式，最后利用完全平方公式展开即可．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
20．(1)1
(2)
【分析】本题考查了平方差公式的应用，积的乘方的逆用；
（1）把表示为，利用平方差公式即可完成计算；
（2）把不同指数且相乘的两个幂的化为指数相同的幂，逆用积的乘方即可完成求解．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)31
【分析】本题考查了图形的平移、无刻度直尺作图、割补法求图形面积．
（1）根据B与可确定平移的规律：向下平移1个单位长度，再向左平移6个单位长度，按照此平移规律确定出点A、C的对应点，并依次连接即可；
（2）取上的格点D，连接，则是边上的中线；取格点F，连接，交于点E，则满足条件；
（3）利用割补法即可求解；
【解答】（1）解：平移后的图形如下：
（2）解：取上的格点D，连接，则是边上的中线；取格点F，连接，交于点E，则；
（3）解：扫过的面积为：；
故答案为：31．
22．(1)3
(2)证明见解析（答案不唯一）
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质分别判断得出命题的正确性；
（2）由∠1=∠2可得∠D=∠4，再由∠C＝∠D得到∠4=∠C，即可证明∠A＝∠F．
【解答】（1）解：条件：①②，结论：③，为真命题；
条件：①③，结论：②，为真命题；
条件：②③，结论：①，为真命题，
所以，真命题的个数为3．
故答案为：3．
（2）解： 命题一：条件：①②，结论：③
证明：如图所示：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DBEC，
则∠D=∠4，
当②∠C=∠D，
故∠4=∠C，
则DFAC，
可得：∠A=∠F，
即．
命题二：条件：①③，结论：②，
证明：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DBEC，
则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，
故DFAC，
则∠4=∠C，
故可得：∠C=∠D，
即．
命题三：条件：②③，结论：①，
证明：当③∠A=∠F，
故DFAC，
则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，
则∠4=∠D，
故DBEC，
则∠2=∠3，
可得：∠1=∠2，
即．
【点拨】本题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字的变化规律，灵活运用题中给出的方法求和，并正确计算是解题的关键．
（1）仿照题干材料中的方法计算即可；
（2）仿照题干材料中的方法计算即可；
（3）仿照题干材料中的方法计算即可；
【解答】（1）解：设
则
，得：
∴
故答案为：．
（2）解：设
则
，得：
∴
故答案为：．
（3）解：设
则
，得：
∴．
24．(1)
(2)155
(3)①见解析；②9
(4)
【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）①根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，画图即可；②根据①可知的值，代入求解即可；
（4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求解即可．
【解答】（1）解：由图2知，∵大长方形的面积，
大长方形的面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积，
∴；
由图3知，∵大正方形的面积，
大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积，
∴；
故答案为：，．
（2）∵由（1）知：，
∴，
，
把代入，
．
故答案为：155．
（3）①∵，
可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
如图：

②由①知：，
∴．
故答案为：9．
（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
∴拼成的正方形的边长最长为．
故答案为：．
【点拨】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键．
25．(1)是
(2)③
(3)①：④；②：或或或
【分析】本题考查了三角形内角和，新定义，对新定义的理解是本题的关键．
（1）由三角形内角和求得，验证得，即可作出判断；
（2）由题意不妨设中，由三角形内角和可得，此时为钝角三角形，其它三角形不符合题意；
（3）①根据“准直角三角形”的定义判断，将其它角表示出来即可；
②由（2）得“准直角三角形”是钝角三角形，以钝角为依据进行分类讨论，同时注意是哪个角是哪个角的两倍，再进行讨论．
【解答】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴是“准直角三角形”；
故答案为：是；
（2）解：∵是“准直角三角形”，
∴不妨设中，即，
∵，
∴，
∴为钝角三角形，
∴当三角形是“准直角三角形”时，它必是钝角三角形，其它三角形不会是“准直角三角形”；
故答案为：③；
（3）解：①∵，，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
即是“准直角三角形”；
∵，
∴，，
即是锐角三角形，由（2）知它不是“准直角三角形”；
∵，
∴，
而，
但，
即不是“准直角三角形”；
∵，
∴是锐角三角形，
由（2）知，它不是“准直角三角形”；
综上，只有是“准直角三角形”；
故答案为：④；
②由（2）知，是钝角三角形，
当是钝角时，
若，则；
若，则；
当是钝角时，此时点F在线段上，
若，则，
∴；
若，则，
∴；
若为钝角，则点在线段延长线上，且，
∴，
若，则，
∴，不合题意；
若，则；
∴，不合题意；
故此种情况不存在；
综上，的度数为或或或．
26．(1)①；②见解析
(2)
(3)＝或
【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；
②根据平行线的性质得＝＝，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；
（2）由八字模型可得，和中，，再利用四边形内角和整理可得答案；
（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可．
【解答】（1）解：①∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
故答案为：；
②证明：由①得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由八字模型可得，和中，
，
．
故答案为：．
（3）解：①如图，当点在延长线上时，
由八字模型可得，和中，
，
；
②如图，当点在线段上时，
由四边形的内角和得，
；
③如图，当点在延长线上时，
由八字模型可得，，
∴
；
综上分析可知，＝或．
【点拨】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键．