2021-2022学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（b卷）

这是一份2021-2022学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（b卷），共14页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）若三个数8，A，2成等差数列，则A＝（ ）
A．±5B．±4C．5D．4
2．（4分）下列求导运算正确的是（ ）
A．（sinx）′＝﹣csxB．
C．（3x）′＝x•3x﹣1D．
3．（4分）设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2+1，则a5＝（ ）
A．26B．19C．11D．9
4．（4分）已知函数f（x）＝（2x﹣1）2，则f'（1）＝（ ）
A．2B．4C．3D．1
5．（4分）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述正确的是（ ）
A．在（﹣∞，0）上单调递减B．在x＝0处取得最大值
C．在（4，+∞）上单调递减D．在x＝2处取得最小值
6．（4分）高二（1）班4名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、羽毛球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是（ ）
A．34B．43C．6D．24
7．（4分）函数f（x）＝x2lnx的最小值为（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
8．（4分）已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．4D．2
9．（4分）在数列{an}中，a1＝2，且，n∈N*，则a2022＝（ ）
A．2B．﹣1C．D．1
10．（4分）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完……．则该女子第11天织布（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）设某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是y（t）＝t2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于 m/s．
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝﹣1，a4＝64，则S4等于 ．
13．（5分）从2名教师和4名学生中，选出2人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的2人中恰有一名教师，则不同的选取方案的种数是 ．
14．（5分）设集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}，把集合A∪B中的元素按从小到大依次排列，构成数列{an}，则a2＝ ；数列{an}的前20项和S20＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）2ex，下列结论中正确的是 ．
①函数f（x）有零点；
②函数f（x）有极大值，也有极小值；
③函数f（x）既无最大值，也无最小值；
④函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知数列{an}满足a1＝1，，等差数列{bn}满足b1＝a3，b2＝a1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Tn．
17．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
18．（14分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）请写出数列{an}的前5项；
（Ⅱ）证明数列是等比数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式．
19．（14分）已知函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
20．（14分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4＝﹣3再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
条件①：S4＝﹣24；
条件②：a1＝2a3．
21．（15分）某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式Q＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6．该产品的成本为3元/千克．
（Ⅰ）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；
（Ⅱ）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；
（Ⅲ）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大．
2021-2022学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）若三个数8，A，2成等差数列，则A＝（ ）
A．±5B．±4C．5D．4
【分析】由题意可得2A＝8+2，从而即可求出A的值．
【解答】解：∵8，A，2成等差数列，
∴2A＝8+2＝10，
∴A＝5．
故选：C．
【点评】本题考查等等差中项，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
2．（4分）下列求导运算正确的是（ ）
A．（sinx）′＝﹣csxB．
C．（3x）′＝x•3x﹣1D．
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可．
【解答】解：，（3x）′＝3xln3，．
故选：D．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
3．（4分）设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2+1，则a5＝（ ）
A．26B．19C．11D．9
【分析】根据题意，由数列的前n项和与通项的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}中Sn＝n2+1，
则a5＝S5﹣S4＝（25+1）﹣（16+1）＝9，
故选：D．
【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的前n项和与通项的关系，属于基础题．
4．（4分）已知函数f（x）＝（2x﹣1）2，则f'（1）＝（ ）
A．2B．4C．3D．1
【分析】利用导数的运算法则即可得出．
【解答】解：因为f（x）＝（2x﹣1）2，
则f'（x）＝8x﹣4，
则f'（1）＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
5．（4分）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述正确的是（ ）
A．在（﹣∞，0）上单调递减B．在x＝0处取得最大值
C．在（4，+∞）上单调递减D．在x＝2处取得最小值
【分析】结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值．
【解答】解：当0＜x＜2或x＞4时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，2），（4，+∞）上单调递减，
当2＜x＜4或x＜0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（2，4）（﹣∞，0）上单调递增，
∴当x＝0或x＝4时函数取得极大值，
∴函数f（x）最大值为，max{f（0），f（4）}，
无最小值，
故选：C．
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题．
6．（4分）高二（1）班4名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、羽毛球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是（ ）
A．34B．43C．6D．24
【分析】根据分步计数原理进行计算即可．
【解答】解：每个同学可以有3个选择，则共有3×3×3×3＝34，
故选：A．
【点评】本题主要考查简单的计数原理，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
7．（4分）函数f（x）＝x2lnx的最小值为（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【分析】求出函数f（x）的导数，再求出函数f（x）的单调区间，从而得出函数f（x）的最小值．
【解答】解：f′（x）＝2xlnx+x＝x（2lnx+1）（x＞0），
令f′（x）＞0，得 ； f′（x）＜0，得 ；
所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增；
所以当时，f（x）有最小值：，
故选：C．
【点评】本题考查函数的最值问题，利用导数分析函数的最值，属于基础题．
8．（4分）已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．4D．2
【分析】可求导数得到f′（x）＝3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣12；
∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；
∴x＝2是f（x）的极小值点；
又a为f（x）的极小值点；
∴a＝2．
故选：D．
【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
9．（4分）在数列{an}中，a1＝2，且，n∈N*，则a2022＝（ ）
A．2B．﹣1C．D．1
【分析】利用数列递推关系可得其周期性，即可得出结论．
【解答】解：∵a1＝2，且，n∈N*，
∴a2＝﹣1，a3＝，a4＝2，…，
∴an+3＝an，
则a2022＝a672×3+3＝a3＝，
故选：C．
【点评】本题考查了数列递推关系、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（4分）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完……．则该女子第11天织布（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【分析】设该女子第n天织布an尺，则{an}是首项为5的等差数列，且a30＝1，利用等差数列通项公式求出公差d，再求出该女子第11天织布的数量．
【解答】解：设该女子第n天织布an尺，则{an}是首项为5的等差数列，且a30＝1，
设数列{an}的公差为d，则a30＝5+29d＝1，解得d＝﹣，
∴该女子第11天织布＝（尺）．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，数列中的数学文化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）设某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是y（t）＝t2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于 10 m/s．
【分析】根据位移的瞬时变化率为瞬时速度求解．
【解答】解：∵y（t）＝t2+4t，∴y'（t）＝2t+4，
∴当t＝3时，y'＝10，即质点在第3s时的瞬时速度等于10m/s，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了瞬时变化率的实际意义，属于基础题．
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝﹣1，a4＝64，则S4等于 51 ．
【分析】由等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝﹣1，a4＝64，利用等比数列通项公式求出q＝﹣4，由此能求出S4．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝﹣1，a4＝64，
∴﹣1×q3＝64，解得q＝﹣4，
∴S4＝＝51．
故答案为：51．
【点评】本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）从2名教师和4名学生中，选出2人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的2人中恰有一名教师，则不同的选取方案的种数是 8 ．
【分析】利用分步计数原理进行求解即可．
【解答】解：2人中选一个老师一个学生即可，
则有2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
14．（5分）设集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}，把集合A∪B中的元素按从小到大依次排列，构成数列{an}，则a2＝ 3 ；数列{an}的前20项和S20＝ 660 ．
【分析】写出集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}的前18项从小到大排列为：1，5，9，…，69，…，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}的前5项从小到大排列为：1，3，9，27，81，…，即可得出结论．
【解答】解：集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}的前18项从小到大排列为：1，5，9，…，69，…，
B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}的前5项从小到大排列为：1，3，9，27，81，…，
可得a2＝3，
数列{an}的前20项和S20＝+（3+27）＝660．
故答案分别为：3；660．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）2ex，下列结论中正确的是 ①②④ ．
①函数f（x）有零点；
②函数f（x）有极大值，也有极小值；
③函数f（x）既无最大值，也无最小值；
④函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点．
【分析】由f（1）＝0可知①正确，求导得到函数f（x）的单调性，进而得到函数的极大值点和极小值点，可知②正确，③错误，利用数形结合法可知④正确．
【解答】解：对于①：∵f（1）＝0，∴函数f（x）有零点，故①正确，
对于②，③：f'（x）＝（x+1）（x﹣1）ex，令f'（x）＝0得x＝﹣1或1，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x＝﹣1是函数f（x）的极大值点，x＝1是函数f（x）的极小值点，
∴函数f（x）有极大值，也有极小值，故②正确，③错误，
对于④：由上面可知，x＝﹣1是函数f（x）的极大值点，x＝1是函数f（x）的极小值点，
∴极大值f（﹣1）＝＞1，极小值f（1）＝0，
又∵x→﹣∞时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→+∞，
∴函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点，故④正确，
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知数列{an}满足a1＝1，，等差数列{bn}满足b1＝a3，b2＝a1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Tn．
【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用求和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，，可得；
设等差数列{bn}的公差为d，
由b1＝a3＝4，b2＝a1＝1，可得d＝b2﹣b1＝﹣3，
则bn＝4﹣3（n﹣1）＝7﹣3n；
（Ⅱ），
可得数列{an+bn}的前n项和为（1+2+4+⋅⋅⋅+2n﹣1）+（4+1+⋅⋅⋅+7﹣3n）
＝．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的极值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1，定义域是R，
∴f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，
令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，+∞）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，+∞）递增，
则f（x）极大值＝f（﹣1）＝，f（x）极小值＝f（3）＝﹣8．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．
18．（14分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）请写出数列{an}的前5项；
（Ⅱ）证明数列是等比数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）利用数列的递推关系式，逐步求解数列{an}的前5项；
（Ⅱ）推出．即可得到结果．
（Ⅲ）利用是等比数列，公比为3．然后求解通项公式即可．
【解答】解：（Ⅰ）数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1（n∈N*）．a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，a5＝121．
（Ⅱ）证明：因为数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1
所以．
∴是为首项，3为公比的等比数列．
（Ⅲ）a1＝1，，由（1）可知是等比数列，公比为3．
所以，∴，所以，{an}的通项公式为．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的定义，通项公式的求法，是中档题．
19．（14分）已知函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝lnx+x，
则，f（1）＝1，f'（1）＝2，
故切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．
（Ⅱ）函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）的定义域为（0，+∞），，
①当a≥0时，，
则函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＜0时，时，f'（x）＞0，
则函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）在上单调递增，
时，f'（x）＜0，
则函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）在上单调递减，
综上所述，
当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
【点评】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查分类讨论思想，是中档题．
20．（14分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4＝﹣3再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
条件①：S4＝﹣24；
条件②：a1＝2a3．
【分析】若选择条件①：根据a4＝﹣3；S4＝﹣24组成方程组可解出首项a1和d，从而可得an与Sn，再根据二次函数的性质可求出Sn的最小值以及取得最小值时n的值．
若选择条件②：a4＝﹣3；a1＝2a3组成方程组可解出首项a1和d，从而可得an与Sn，再根据二次函数的性质可求出Sn的最小值以及取得最小值时n的值．
【解答】解：若选择条件①：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a4＝﹣3，得a1+3d＝﹣3①；又S4＝﹣24，得4a1+＝﹣24，即2a1+3d＝﹣12②．
联立①②，解得a1＝﹣9、d＝2，所以an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：Sn＝﹣9n+×2＝n2﹣10n，所以S5＝52﹣10×5＝﹣25，根据二次函数的性质可得当n＝5时Sn有最小值且最小值为S5＝﹣25．
若选择条件②：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a4＝﹣3，得a1+3d＝﹣3①；又a1＝2a3，得a1＝2（a1+2d）即a1+4d＝0②．
联立①②，解得a1＝﹣12、d＝3，所以an＝﹣12+3（n﹣1）＝3n﹣15．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：Sn＝﹣12n+×3＝n2﹣n，由于n∈N+，所以当n＝4或n＝5时Sn有最小值且最小值为S4＝S5＝﹣30．
【点评】本题主要考查等差数列的通项、前n项和以及数列与函数的综合问题，考查推理与运输求解能力，属于基础题．
21．（15分）某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式Q＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6．该产品的成本为3元/千克．
（Ⅰ）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；
（Ⅱ）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；
（Ⅲ）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大．
【分析】（Ⅰ）根据利润等于每千克的售价减去每千克的成本，即可解出；
（Ⅱ）利润等于销售价格乘以销售量，即可得出函数关系；
（Ⅲ）利用（2）求出函数的最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知每千克的利润为x﹣3；
（Ⅱ）由题意可知y＝＝10（x﹣3）3﹣60（x﹣3）2+90（x﹣3）+2，（3＜x＜6），
（Ⅲ）由（2）知y′＝30（x﹣4）（x﹣6），
令y′＝0，解得x＝4，或x＝6；
∴函数在（3，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减，
∴x＝4时，函数取得最大值为42，
即售价为4元时日利润最大为42元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
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