2021-2022学年北京市昌平一中高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市昌平一中高二（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）2与8的等比中项是（ ）
A．4B．5C．±4D．±5
2．（5分）下列导数公式正确的是（ ）
A．B．（sinx）′＝﹣csx
C．D．
3．（5分）若数列{an}满足an+1＝2an，n∈N*，且S1＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．a1＝1B．a3＝4C．S10﹣S9＝20D．S10﹣S9＝210
4．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）一个盒子里装有大小形状完全相同的5个黑球和3个红球，现从中随机取出2个球，若已知其中一个球是黑色，则另一个球也是黑色的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）函数f（x）＝﹣x2+lnx的极值点是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝﹣C．x＝1D．x＝
7．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A．58B．88C．143D．176
8．（5分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表．经计算得到X2≈9.967，且P（X2≥6.635）＝0.01，则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
C．有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
D．有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关
9．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．[2，+∞）
10．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．440B．330C．220D．110
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）函数f（x）＝csx，则f′（）＝ ．
12．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为 ．
13．（5分）计算3+33+35+⋯+32n+7＝ ．
14．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，设X表示抽到的二等品的件数，则E（X）＝ ，D（X）＝ ．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an（n∈N*），则a4＝ ，S2022＝ ．
16．（5分）研究函数f（x）＝的性质，完成下面两个问题：
①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为 ；
②函数g（x）＝（x＞0）的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（13分）已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝16．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b4＝a3，b6＝a5，求{bn}的前n项和Sn，及Sn的最小值．
18．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[0，3]上的最值；
（Ⅱ）在所给的坐标系中画出函数f（x）在区间[0，3]上的图象；
（Ⅲ）若直线y＝6x+b是函数f（x）的一条切线，求b的值．
19．（15分）某校为举办甲乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二、为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）从该校全体男生及全体女生中各随机抽取1人，
（ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率；
（ⅱ）并依此计算这2人中恰有1人支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校上述支持方案一的样本中，按性别分层抽样选取5人，再从这5人中任取3人进行访谈，设随机变量X表示3人中男生的人数，求X的分布列；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为P0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P1，试比较P0与P1的大小．（结论不要求证明）
20．（14分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+（k≥0）．
（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
21．（14分）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1＜i2＜…＜im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列9，2，6，7，3，5，8的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）设数列{an}，an＝n，1≤n≤14．若数列{an}的长度为p的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求p的最大值；
（Ⅲ）设数列{an}为等比数列，公比为q，项数为N（N≥3）．判定数列{an}是否存在长度为3的递增子列：1，16，81？若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由．
2021-2022学年北京市昌平一中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）2与8的等比中项是（ ）
A．4B．5C．±4D．±5
【分析】由已知结合等比中项的定义可求．
【解答】解：根据等比中项的性质可知，±4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比中项的定义，属于基础题．
2．（5分）下列导数公式正确的是（ ）
A．B．（sinx）′＝﹣csx
C．D．
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：∵（）′＝﹣，∴A错误，
∵（sinx）′＝csx，∴B错误，
∵（ln2x）′＝＝，∴C错误，
∵（）′＝＝，∴D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
3．（5分）若数列{an}满足an+1＝2an，n∈N*，且S1＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．a1＝1B．a3＝4C．S10﹣S9＝20D．S10﹣S9＝210
【分析】由an+1＝2an，得{an}是以q＝2为公比的等比数列，从而对选项进行逐一判断即可．
【解答】解：由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2，故选项A错误；
由an+1＝2an，得{an}是以q＝2为公比的等比数列，
所以a3＝a1q2＝2×22＝8，选项B错误；
S10﹣S9＝a10＝a1q9＝2×29＝210，选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．
4．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的顶点和导函数的解在直线x＝﹣上，从而得到答案．
【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，
故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0的根是﹣，
二次函数的顶点和导函数的解均在直线x＝﹣上，
故对于选项B是错误的，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查数形结合思想，是一道基础题．
5．（5分）一个盒子里装有大小形状完全相同的5个黑球和3个红球，现从中随机取出2个球，若已知其中一个球是黑色，则另一个球也是黑色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据条件概率公式即可求解．
【解答】解：∵已知其中一个球是黑色即两球中至少有一个是黑球共有个不同结果，
而两球都是黑色共有＝10个不同结果，
∴在已知其中一个球是黑色，另一个球也是黑色的概率是，
故选：B．
【点评】本题考查条件概率公式，属基础题．
6．（5分）函数f（x）＝﹣x2+lnx的极值点是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝﹣C．x＝1D．x＝
【分析】求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．
【解答】解：由f（x）＝﹣x2+lnx，得f′（x）＝（x＞0），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．
∴函数f（x）＝﹣x2+lnx的极值点为x＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，关键是正确求出原函数的导函数，是基础题．
7．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A．58B．88C．143D．176
【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11＝a4+a8＝16，再由S11＝ 运算求得结果．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8＝16，
∴a1+a11＝a4+a8＝16，
∴S11＝＝88，
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
8．（5分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表．经计算得到X2≈9.967，且P（X2≥6.635）＝0.01，则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
C．有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
D．有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关
【分析】利用独立性检验中K2的统计意义判断．
【解答】解：因为9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
故选：D．
【点评】本题考查独立性检验，属于基础题．
9．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．[2，+∞）
【分析】根据题意，求出函数f（x）的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系可得f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，
若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，
则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，
则有，解可得﹣2≤k≤2，
即k的取值范围为[﹣2，2]；
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性的判定，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．
10．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．440B．330C．220D．110
【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；
方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn＝2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值；
方法三：要使＞100，有k≥14，此时k+2＜2k+1，分析可得k＝2s﹣3≥14，求出s的最小值，即可求得k，进一步求出满足条件的N的值．
【解答】解：方法一、设该数列为{an}，设bn＝+…+＝2n﹣1，（n∈N+），则＝ai，
由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，
可知当N为时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由＝435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．
B项，仿上可知＝325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知＝210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知＝105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．
故选A．
方法二：由题意可知：，，，…，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N＝1+2+3+…+n＝，
所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，
由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有+2＝3，不满足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有+3＝18，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有+4＝95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有+5＝440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选：A．
方法三、要使＞100，有k≥14，此时k+2＜2k+1，
∴k+2是之后的等比数列1，2，...，2k+1的部分和，
即k+2＝1+2+...+2s﹣1＝2s﹣1，∴k＝2s﹣3≥14，s的最小值为5，
此时k＝25﹣3＝29．
对应最小的满足条件的N＝．
故选：A．
【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）函数f（x）＝csx，则f′（）＝ ﹣ ．
【分析】求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进行计算即可．
【解答】解：∵f（x）＝csx，
∴f′（x）＝﹣sinx，f′（）＝﹣sin ＝﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．
12．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为 y＝﹣3x ．
【分析】对f（x）＝x3﹣3x求导，得y′＝3x2﹣3，根据二次函数求出当x＝0时其最小值为﹣3，据此求出切点坐标，进而写出斜率最小时的切线方程．
【解答】解：由f（x）＝x3﹣3x，得f′（x）＝3x2﹣3≥﹣3，
∴当x＝0时，切线的斜率有最小值为﹣3，
当x＝0时，f（0）＝0，∴切点为（0，0），
∴切线的方程为y﹣0＝﹣3（x﹣0），即y＝﹣3x．
故答案为：y＝﹣3x．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，熟练求导及根据二次函数求最值是解决问题的关键，是基础题．
13．（5分）计算3+33+35+⋯+32n+7＝ ．
【分析】直接利用等比数列的求和公式求出数列的和．
【解答】解：3+33+35+⋯+32n+7相当于等比数列的前n+4项的和；
故＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
14．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，设X表示抽到的二等品的件数，则E（X）＝ 2 ，D（X）＝ 1.96 ．
【分析】由X～B（100，0.02），利用二项分布期望和方差公式直接求解即可．
【解答】解：由题意知：X～B（100，0.02），
∴E（X）＝100×0.02＝2，
D（X）＝100×0.02×（1﹣0.02）＝1.96．
故答案为：2；1.96．
【点评】本题主要考查二项分布的方差，二项分布的均值等知识，属于基础题．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an（n∈N*），则a4＝ ﹣1 ，S2022＝ 0 ．
【分析】根据递推关系式求出数列的周期，进而求解结论．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an（n∈N*），
∴a3＝a2﹣a1＝1，
a4＝a3﹣a2＝﹣1，
a5＝a4﹣a3＝﹣2，
a6＝a5﹣a4＝﹣1，
a7＝a6﹣a5＝1，
a8＝a7﹣a6＝2，
．
∴数列{an}是周期为6的数列，
∵2022＝6×667，
∴S2022＝667×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）＝0，
故答案为：﹣1，0．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，属于基础题．
16．（5分）研究函数f（x）＝的性质，完成下面两个问题：
①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为 f（5）＜f（2）＜f（3） ；
②函数g（x）＝（x＞0）的最大值为 ．
【分析】①利用导数判断在（0，e）递增，（e，+∞）递减得出f（3）＞f（5），运用作差判断f（2）﹣f（5），f（2）﹣f（3）即可得出大小．
②构造函数ln（g（x））＝lnx（x＞0），令h（x）＝lnx（x＞0），运用导数求解极大值，得出h（x）的极大值为h（e）＝lne＝，结合对数求解即可．
【解答】解：①∵函数f（x）＝，
∴f′（x）＝，
f′（x）＝＝0，x＝e，
f′（x）＝，＞0，x∈（0，e）
f′（x）＝＜0，x∈（e，+∞）
∴在（0，e）递增，（e，+∞）递减
∴f（3）＞f（5），
∵f（2）﹣f（5）＝＝＝＞0
∴f（2）＞f（5）
∵f（2）﹣f（3）＝＝＜0
∴f（3）＞f（2）
故答案为：f（5）＜f（2）＜f（3）；
②∵函数g（x）＝（x＞0），
∴ln（g（x））＝lnx（x＞0）
令h（x）＝lnx（x＞0），
h′（x）＝（1﹣lnx）＝0，x＝e
h′（x）＝（1﹣lnx）＜0，x＞e
h′（x）＝（1﹣lnx）＞0，0＜x＜e
∴h（x）＝lnx（x＞0），
在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
h（x）的极大值为h（e）＝lne＝，
∴函数g（x）＝（x＞0）的最大值为，
故答案为：
【点评】本题综合考查了学生运用导数解决问题的能力，构造思想，不等式的运用，对数的运用，属于比较新颖的题目．
三、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（13分）已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝16．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b4＝a3，b6＝a5，求{bn}的前n项和Sn，及Sn的最小值．
【分析】（Ⅰ）由等比数列通项公式可求得公比q，由此可得an；
（Ⅱ）根据等差数列通项公式可求得公差d和b1，由等差数列求和公式可得Sn；利用Sn的二次函数性可得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
则，解得：q＝2，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：b4＝a3＝4，b6＝a5＝16，
设等差数列{bn}的公差为d，
则2d＝b6﹣b4＝12，解得：d＝6，
∴b1＝b4﹣3d＝4﹣18＝﹣14，
∴，
又n∈N*，
∴当n＝3时，Sn取得最小值，最小值S3＝﹣24．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合，属于基础题．
18．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[0，3]上的最值；
（Ⅱ）在所给的坐标系中画出函数f（x）在区间[0，3]上的图象；
（Ⅲ）若直线y＝6x+b是函数f（x）的一条切线，求b的值．
【分析】（I）利用导数可求得f（x）单调性，求得极值和区间端点值后可得最值；
（II）由单调性和最值可得函数图象；
（III）根据切线斜率，由导数几何意义可构造方程求得切点坐标，由此可得切线方程，进而得到b的值．
【解答】解：（I）∵f′（x）＝3x2﹣9x+6＝3（x﹣1）（x﹣2），
∴当x∈[0，1）∪（2，3]时，f′（x）＞0；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[0，1），（2，3]上单调递增，在（1，2）上单调递减，
又，
∴．
（II）由（I）可得f（x）在区间[0，3]上的图象如下图所示，
（III）
由（1）知：f′（x）＝3（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＝6，解得：x＝0或3；
当x＝0时，切点为（0，﹣3），则切线方程为：y＝6x﹣3，∴b＝﹣3；
当x＝3时，切点为，则切线方程为：，即，∴；
综上所述：b＝﹣3或．
【点评】本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（15分）某校为举办甲乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二、为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）从该校全体男生及全体女生中各随机抽取1人，
（ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率；
（ⅱ）并依此计算这2人中恰有1人支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校上述支持方案一的样本中，按性别分层抽样选取5人，再从这5人中任取3人进行访谈，设随机变量X表示3人中男生的人数，求X的分布列；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为P0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P1，试比较P0与P1的大小．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）（i）由频率估计概率即可得到结果；（ii）由独立事件概率乘法公式计算可得结果；
（Ⅱ）按照分层抽样原则可得5人中的男女生人数，由此可得X所有可能的取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；
（Ⅲ）由表格数据计算可得，并计算出男生和女生支持方案二的概率，由概率计算可得一年级中支持方案二的人数，由此计算可得p1＜p0．
【解答】解：（Ⅰ）（i）由表格数据可得：该校男生支持方案一的概率为；该校女生支持方案一的概率为；
（ii）2人中恰有1人支持方案一的概率为．
（Ⅱ）∵支持方案一的男女生比例为2：3，∴抽取的5人中，有男生2人，女生3人，
则X所有可能的取值为0，1，2，
∴，，，
∴X的分布列为：
（Ⅲ）由表格数据知：该校学生支持方案二的概率估计值；
其中男生支持方案二的概率估计值为，女生支持方案二的概率估计值为；
∴一年级学生支持方案二的人数为人，
设该校共有学生n人，则，∴p1＜p0．
【点评】本题主要考查离散型随机变量及其分布列的计算，随机变量的实际应用等知识，属于中等题．
20．（14分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+（k≥0）．
（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x＝1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数f'（x），讨论k＝0，0＜k＜1，k＝1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
【解答】解：（I）当K＝2时，f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2，f′（x）＝﹣1+2x，
由于f（1）＝ln（2），f′（1）＝，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y﹣ln2＝（x﹣1）．即3x﹣2y+2ln2﹣3＝0；
（II）f'（x）＝﹣1+kx（x＞﹣1）
当k＝0时，f′（x）＝﹣，
因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
当0＜k＜1时，f′（x）＝＝0，得x1＝0，x2＝＞0；
因此，在区间（﹣1，0）和（，+∞）上，f'（x）＞0；在区间（0，）上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和（，+∞），单调递减区间为（0，）；
当k＝1时，f′（x）＝，f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）
当k＞1时，由f′（x）＝＝0，得x1＝0，x2＝∈（﹣1，0）；
因此，在区间（﹣1， ）和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间（，0）上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，）和（0，+∞），单调递减区间为（，0）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想．
21．（14分）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1＜i2＜…＜im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列9，2，6，7，3，5，8的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）设数列{an}，an＝n，1≤n≤14．若数列{an}的长度为p的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求p的最大值；
（Ⅲ）设数列{an}为等比数列，公比为q，项数为N（N≥3）．判定数列{an}是否存在长度为3的递增子列：1，16，81？若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据定义直接写出符合条件的长度为4的一个递增子列；
（Ⅱ）列出数列{an}的项，根据题意可得，分析可得矛盾，即可求出p的最大值；
（Ⅱ）反证法假设此递增子列存在，代入等比数列的通项公式进行化简变形，通过证明得出矛盾，从而可以证明．
【解答】解：（Ⅰ）长度为4的一个递增子列为：2，6，7，8（或2，3，5，8）；
（Ⅱ）设数列{an}的长度为P的递增子列为：，i1＜i2＜…＜ip，
因为数列{an}：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，各项均为正整数，
所以，（若，则成等差数列），
同理，且，
所以，
同理，
又因为，
所以与已知条件矛盾，
所以ip≤8，
构造数列{an}的递增子列：1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列，所以p的最大值为8．
（Ⅲ）不存在．理由如下：
由题意，假设数列{an}存在长度为3的递增子列：1，16，81，
则存在1≤i1＜i2＜i3≤N，使，
所以，得，
同理，得，
所以，
下面证明lg23为无理数：
假设为有理数，且k，m互质，
所以2k＝3m，
因为2k是偶数，3m是奇数，
所以2k≠3m，与事实矛盾，故假设不成立，所以lg23为无理数，
又因为N为有理数，所以（*）式不成立，
所以数列{an}不存在长度为3的递增子列：1，16，81．
【点评】本题考查的是数列的新定义问题，试题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解数列知识的基础上，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意．
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女
需要志愿者
40
30
不需要志愿者
160
270
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支持
不支持
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方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
男
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方案二
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X
0
1
2
P
．