2021-2022学年北京市昌平区新学道临川学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市昌平区新学道临川学校高二（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是（ ）
A．9B．10C．20D．25
2．（5分）在（﹣y）（x+y）6的展开式中，x3y4的系数是（ ）
A．20B．C．﹣5D．﹣
3．（5分）某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（ ）
A．36B．96C．114D．130
4．（5分）已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且P（X≥1）＝，P（X＝3）＝，若X的数学期望E（X）＝，则D（4X﹣3）＝（ ）
A．19B．16C．D．
5．（5分）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程＝0.25x+k，则下列说法不正确的是（ ）
A．k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，漏选得3分，错选得0分）
（多选）9．（5分）若C＞3C，则m的取值可能是（ ）
A．6B．7C．8D．9
（多选）10．（5分）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率为
B．
C．
D．
（多选）11．（5分）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球．设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
（多选）12．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值
C．两个相关变量的相关性越强，相关系数越接近于1
D．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是 ．
14．（5分）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有 种．（用数字作答）
15．（5分）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为 ．
16．（5分）上次月考刚好有900名学生参加考试，学生的数学成绩ξ～N（105，102），且P（95≤ξ≤105）＝0.34，则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为 ．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，18～22题每题12分）
17．（10分）已知f（x）＝（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x﹣3）n＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n．
（1）求a2的值；
（2）求a1+a2+a3+⋯+an的值；
（3）求f（20）﹣20被6整除的余数．
18．（12分）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课
（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
19．（12分）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；
（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列，并求ξ的期望．
20．（12分）某中学选取20名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩（单位：分）分成范围为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]共6组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）若将成绩大于或等于80分视为高分，求参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）若从参加竞赛的学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在范围[40，70）记0分，在范围[70，100]记1分，用X表示被抽取得2名学生的总记分，求X的分布列和数学期望．
21．（12分）某调查机构在一个小区随机采访了200位业主，统计他们的每周跑步时间，将每周跑步时间不小于160分钟的人称为“跑步爱好者”，每周跑步时间小于160分钟的人称为“非跑步爱好者”，得到2×2列联表如下所示．
（Ⅰ）能否有99%的把握认为是否为“跑步爱好者”与性别有关？
（Ⅱ）若一次跑步时间（单位：分钟）在[30，60）内积1分，在[60，120]内积2分，设甲、乙两名“跑步爱好者”的跑步时间相互独立，且甲、乙两人的一次跑步时间在[30，60）内的概率分别为，，在[60，120]内的概率分别为，，甲、乙两人一次跑步积分之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．
22．（12分）天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售．统计后得到其单价x（单位：元）与销量y（单位：副）的相关数据如表：
（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若每副该加热手套的成本为65元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数）．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．
参考数据：xiyi＝48700，xi2＝40750．
2021-2022学年北京市昌平区新学道临川学校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共60分。每道题四个选项只有一个符合题意）
1．（5分）从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是（ ）
A．9B．10C．20D．25
【分析】根据题意，分析可得从5名同学中选出2名担任正、副班长是排列问题，运用排列数公式计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，从5名同学中选出2名担任正、副班长，是排列问题，
即有A52＝5×4＝20种不同的选法；
故选：C．
【点评】本题考查排列数公式，关键要分析题意，认清是排列还是组合问题．
2．（5分）在（﹣y）（x+y）6的展开式中，x3y4的系数是（ ）
A．20B．C．﹣5D．﹣
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出展开式中，x3y4的系数．
【解答】解：在（﹣y）（x+y）6的展开式中，x3y4的系数为•﹣＝×15﹣20＝﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
3．（5分）某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（ ）
A．36B．96C．114D．130
【分析】按照其余5人是否都去A校分类计数．
【解答】解：甲去A校，再分配其他5个人，
①如果都不去A校，则分配方法有×2×2×2＝16种；
②如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有（）＝42种；
③如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有（）＝72种；
由加法原理可得不同分配方法有16+42+72＝130种．
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于中档题．
4．（5分）已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且P（X≥1）＝，P（X＝3）＝，若X的数学期望E（X）＝，则D（4X﹣3）＝（ ）
A．19B．16C．D．
【分析】利用互斥事件的概率，结合分布列的性质求出分布列，然后求解期望推出方差即可．
【解答】解：由题知，设P（X＝1）＝a，则，
因此，解得，
因此离散型随机变量X的分布列如下：
则，
因此D（4X﹣3）＝16D（X）＝19．
故选：A．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望方差的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
5．（5分）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设事件A表示“考生答对”，事件B表示“考生知道正确答案”，由全概率公式求出P（A），P（AB），再利用条件概率公式即可求出结果．
【解答】解：设事件A表示“考生答对”，事件B表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得P（A）＝＝，P（AB）＝，
所以P（B|A）＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
6．（5分）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设该射手每次射击的命中率为p,由在两次射击中至多命中一次的概率是，得到1﹣p2＝,由此能求出该射手每次射击的命中率．
【解答】解：假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．
设该射手每次射击的命中率为p,
∵在两次射击中至多命中一次的概率是，
∴1﹣p2＝,解得p＝．
∴该射手每次射击的命中率为．
故选：C．
【点评】本题考查概率的运算，涉及到对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
7．（5分）一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用古典概型、排列组合公式直接求解．
【解答】解：一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，
基本事件总数n＝，
恰有1件不合格品包含的基本事件个数m＝，
∴恰有1件不合格品的概率P＝．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程＝0.25x+k，则下列说法不正确的是（ ）
A．k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，得到k，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由题意，得＝＝40，，
则k＝＝30﹣0.25×40＝20，故A正确；
由线性回归方程可知，＞0，变量x，y呈正相关关系，故B正确；
若x的值增加1，则y的值约增加0.25，故C正确；
当x＝52时，＝0.25×52+20＝33，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查回归直线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，漏选得3分，错选得0分）
（多选）9．（5分）若C＞3C，则m的取值可能是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据题意，由组合数的定义可得0≤m﹣1≤8且0≤m≤8以及＞3×，变形解可得m的取值范围，结合m为正整数即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于C和3C，有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8，则有1≤m≤8，
若C＞3C，则有＞3×，
变形可得：m＞27﹣3m，
解可得：m＞，
综合可得：＜m≤8，则m＝7或8；
故选：BC．
【点评】本题考查组合数公式的计算，关键是掌握组合数公式的形式，属于基础题．
（多选）10．（5分）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率为
B．
C．
D．
【分析】利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A；由题意得随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望，来判断BCD．
【解答】解：记该游客游览i个景点为事件Ai，i＝0，1，2，3，4，
则，
，
所以游客至多游览一个景点的概率为，故A错误；
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．
，
＝，故B正确；
，
，故C错误；
数学期望为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了互斥事件的概率乘法以及离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
（多选）11．（5分）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球．设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
【分析】由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【解答】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；
X的取值分别为0，1，2，3，4，则
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
∴E（X）＝＝，
故A，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，超几何分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）12．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值
C．两个相关变量的相关性越强，相关系数越接近于1
D．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
【分析】结合离散型随机变量，频率分布直方图计算的样本数字特征，相关系数，残差的定义，即可依次求解．
【解答】解：对于A，离散型随机变量的各个可能值表示的事件彼此互斥不会同时发生，故A正确，
对于B，利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值，故B正确，
对于C，两个相关变量的相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误，
对于D，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查离散型随机变量，频率分布直方图计算的样本数字特征，相关系数，残差的定义，属于基础题．
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是 1215 ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：∵二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为2n＝64，∴n＝6．
∴它的通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r•36﹣r•，
令3﹣＝0，可得r＝2，
故二项式（3﹣）n的展开式的常数项为 •34＝1215，
故答案为：1215．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
14．（5分）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有 1560 种．（用数字作答）
【分析】先把6本不同的书分成4组，每组至少一本，分类求得共有65种方法；再把这4组书分给4个人，不同的方法有65 种，运算求得结果．
【解答】解：先把6本不同的书分成4组，每组至少一本．
若4个组的书的数量按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有＝20种不同的方法．
若4个组的书的数量分别为2、2、1、1，则不同的分配方案有 •＝45种不同的方法．
故所有的分组方法共有20+45＝65种．
再把这4组书分给4个人，不同的方法有65＝1560种，
故答案为：1560．
【点评】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
15．（5分）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为 0.4825 ．
【分析】根据相互独立事件概率公式即可得结果．
【解答】解：由题意得，一等小麦种子占95.5%，
这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为0.955×0.5+0.02×0.15+0.015×0.1+0.01×0.05＝0.4825．
故答案为：0.4825．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
16．（5分）上次月考刚好有900名学生参加考试，学生的数学成绩ξ～N（105，102），且P（95≤ξ≤105）＝0.34，则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为 160 ．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：∵学生的数学成绩ξ～N（105，102），且P（95≤ξ≤105）＝0.34，
∴P（105≤ξ≤115）＝0.34，
∴P（ξ＞115）＝0.5﹣0.34＝0.16，
则该上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为1000×0.16＝160人．
故答案为：160．
【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，18～22题每题12分）
17．（10分）已知f（x）＝（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x﹣3）n＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n．
（1）求a2的值；
（2）求a1+a2+a3+⋯+an的值；
（3）求f（20）﹣20被6整除的余数．
【分析】（1）利用二项式系数和求出n的值，然后求出（x﹣1）2的系数即可求解；（2）分别令x＝2，x＝1，建立方程即可求解；（3）化简）f（20）﹣20＝（2×20﹣3）9﹣20＝（36+1）9﹣20，再根据二项式定理展开，进而可以求解．
【解答】解：（1）由题意可得2n＝512，则n＝9，
所以二项式（2x﹣3）9＝[﹣1+2（x﹣1）]9，
所以a2＝C＝﹣144；
（2）令x＝2，则a0+a1+...+a9＝（2×2﹣3）9＝1，
令x＝1，则a0＝（2﹣3）9＝﹣1，所以a1+a2+...+a9＝1﹣（﹣1）＝2；
（3）因为f（20）﹣20＝（2×20﹣3）9﹣20＝（36+1）9﹣20＝C+...+C﹣19，
因为C都可以被36整除，
而﹣19＝﹣24+5，所以f（20）﹣20整除6的余数为5．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到整除的性质，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
18．（12分）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课
（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
【分析】（1）根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法，即可求解．
（2）f分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和，即可求解．
（3）根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法，即可求解．
【解答】解：（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有＝种．
（2）如果体育排在最后一节，有种，
体育不排在最后一节有种，
所以共有120+384＝504种．
（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，
则有种．
【点评】本题主要考查排列数的求解，掌握除法即倍缩法是解本题的关键，属于中档题．
19．（12分）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；
（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列，并求ξ的期望．
【分析】（1）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有种，所选3人中恰有一名男生，有种，故可求所选3人中恰有一名男生的概率；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【解答】解：（1）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有种，所选3人中恰有一名男生，有种，故所选3人中恰有一名男生的概率为P＝；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝
∴ξ的分布列为
期望Eξ＝0×+1×+2×+3×＝
【点评】本题考查古典概型的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值与含义是关键．
20．（12分）某中学选取20名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩（单位：分）分成范围为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]共6组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）若将成绩大于或等于80分视为高分，求参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）若从参加竞赛的学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在范围[40，70）记0分，在范围[70，100]记1分，用X表示被抽取得2名学生的总记分，求X的分布列和数学期望．
【分析】（1）根据频率分布直方图，可得参加竞赛学生成绩的高分率．
（2）参加竞赛的学生成绩在[40，70）的有20×[（0.01+0.015）×10]＝8（人），在范围[70，100]的有12人，故随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，所求参加竞赛学生成绩的高分率p＝（0.025+0.005）×10＝0.3．
（2）参加竞赛的学生成绩在[40，70）的有20×[（0.01+0.015）×10]＝8（人），在范围[70，100]的有12人，
故随机变量X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，，
故随机变量X的分布列为：
故E（X）＝．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
21．（12分）某调查机构在一个小区随机采访了200位业主，统计他们的每周跑步时间，将每周跑步时间不小于160分钟的人称为“跑步爱好者”，每周跑步时间小于160分钟的人称为“非跑步爱好者”，得到2×2列联表如下所示．
（Ⅰ）能否有99%的把握认为是否为“跑步爱好者”与性别有关？
（Ⅱ）若一次跑步时间（单位：分钟）在[30，60）内积1分，在[60，120]内积2分，设甲、乙两名“跑步爱好者”的跑步时间相互独立，且甲、乙两人的一次跑步时间在[30，60）内的概率分别为，，在[60，120]内的概率分别为，，甲、乙两人一次跑步积分之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．
【分析】（Ⅰ）由列联表中的数据，计算K2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；
（Ⅱ）先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题可得，K2的观测值，
所以有99%的把握认为是否为“跑步爱好者”与性别有关．
（Ⅱ）由题可得，随机变量X的所有可能取值为2，3，4，
且，
，
，
所以X的分布列为：
所以．
【点评】本题考查了独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22．（12分）天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售．统计后得到其单价x（单位：元）与销量y（单位：副）的相关数据如表：
（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若每副该加热手套的成本为65元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数）．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．
参考数据：xiyi＝48700，xi2＝40750．
【分析】（1）求解样本中心坐标，股份直线方程的系数，然后求解y关于x的线性回归方程．
（2）设定价为x元，利润为f（x），得到函数的解析式，利用二次函数的性质求解最值即可．
【解答】解：（1）由表中数据，计算得，
，
则，
，
所以y关于x的线性回归方程为．
（2）设定价为x元，利润为f（x），
则f（x）＝（﹣3.2x+398）（x﹣65）＝﹣3.2x2+606x﹣25870，
∵x≥65，∴（元）时，f（x）最大，
所以为使得销售的利润最大，单价应该定为95元．
【点评】本题考查股份直线方程的求法，二次函数的性质的应用，是中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/16 13:33:59；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111x（次数/分钟）
20
30
40
50
60
y（℃）
25
27.5
29
32.5
36
跑步爱好者
非跑步爱好者
合计
男性
38
62
100
女性
13
87
100
合计
51
149
200
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
单价x（元）
80
85
90
95
100
销量y（副）
140
130
110
90
80
X
0
1
2
3
P
x（次数/分钟）
20
30
40
50
60
y（℃）
25
27.5
29
32.5
36
ξ
0
1
2
3
P




X
0
1
2
P


跑步爱好者
非跑步爱好者
合计
男性
38
62
100
女性
13
87
100
合计
51
149
200
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
X
2
3
4
P
单价x（元）
80
85
90
95
100
销量y（副）
140
130
110
90
80