2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知数列{an}的通项公式为an＝2n+1，则257是这个数列的（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
2．（3分）两个数4，6的等差中项是（ ）
A．±5B．±4C．5D．4
3．（3分）已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝an﹣2，则a10等于（ ）
A．﹣12B．12C．﹣16D．16
4．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．若y＝sinx，则y′＝csxB．若y＝，则y′＝
C．若y＝csx，则y′＝sinxD．若y＝e，则y′＝e
5．（3分）若1，a，b，c，4成等比数列，则abc＝（ ）
A．16B．8C．﹣8D．±8
6．（3分）若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣4]
7．（3分）直线y＝5x+b是曲线y＝x3+2x+1的一条切线，则实数b＝（ ）
A．﹣1或1B．﹣1或3C．﹣1D．3
8．（3分）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0．水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图所示的是y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列四个结论：
①f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；
②x＝﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）的零点为﹣1和4；
④x＝1是f（x）的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③④
10．（3分）一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）
A．na（1﹣b%）B．a（1﹣nb%）C．a（1﹣b%）nD．a[1﹣（b%）n]
11．（3分）数列{an}是等比数列，m，n，p∈N*，则“am•an＝ap2”是“m+n＝2p”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．（3分）设f（n）＝2+24+27+210+…+23n+13（n∈N），则f（n）等于（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
13．（5分）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如表．观察表中数据的特点．
则a＝ ，b＝ ．
14．（5分）函数f（x）＝x•ex的导函数f′（x）＝ ．
15．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣4，S5＝﹣10，则n＝ 时，Sn有最小值为 ．
16．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，＝1（n≥2，n∈N+），则a2022＝ ．
17．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过 h后池水中药品的浓度达到最大．
18．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+2n，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第n行有2n﹣1，项，每一行从左到右项数依次增大，记（m，n）为该数阵中第m行从左到右第n个数的坐标，则坐标（5，5）为对应的数为 ；a2022对应的坐标为 ．
三、解答题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，＝2，等差数列{bn}满足b1＝a3，b2＝a1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx在x＝1处有极值2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数y＝f（x）﹣k在区间[﹣2，]上有三个零点，写出k的取值范围（无需解答过程）．
一、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）.
21．（4分）函数f（x）＝x﹣lnx有（ ）
A．有极小值1，无极大值B．有极大值1，无极小值
C．有极大值1，有极小值0D．无极大值，也无极小值
22．（4分）已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差d＜0
B．在所有Sn＜0中，S13最大
C．满足Sn＞0的n的个数有11个
D．a6＞a7
23．（4分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线y＝lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）
①k的取值范围是（0，）．
②＜k＜．
③当x∈（x1，x2）时，f（x）＝kx﹣lnx先减后增且恒为负．
以上结论中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①②C．①③D．②③
24．（4分）已知数列{an}，若存在一个正整数T使得对任意n∈N*，都有an+T＝an，则称T为数列{an}的周期．若四个数列分别满足
①a1＝2，an+1＝1﹣an（n∈N*）；
②b1＝1，bn+1＝﹣）；
③c1＝1，c2＝2，cn+2＝cn+1﹣cn（n∈N*）；
④d1＝1，dn+1＝（﹣1）ndn（n∈N*）．
则上述数列中，8为其周期的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
25．（4分）若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）＝xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
26．（13分）已知数列{an}满足Sn＝n﹣an（n＝1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求证：数列{an﹣1}是等比数列；
（Ⅲ）令bn＝（2﹣n）（an﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有bn+，求实数t的取值范围．
27．（14分）已知函数f（x）＝ex（x﹣1）﹣eax2，a＜0．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极小值；
（Ⅲ）求函数f（x）的零点个数．
28．（13分）给定数列a1，a2，…，an．对i＝1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n﹣i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai﹣Bi．
（Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）设a1，a2，…，an﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，dn﹣1是等比数列；
（Ⅲ）设d1，d2，…，dn﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，an﹣1是等差数列．
2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）。
1．（3分）已知数列{an}的通项公式为an＝2n+1，则257是这个数列的（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
【分析】根据通项公式令an＝257，求出n的值即可求解．
【解答】解：令a，
即2n＝256，解得n＝8，
所以257是数列的第8项，
故选：C．
【点评】本题考查了数列的通项公式的应用，考查了数列的项的问题，属于基础题．
2．（3分）两个数4，6的等差中项是（ ）
A．±5B．±4C．5D．4
【分析】利用等差中项的定义即可得出结论．
【解答】解：两个数4，6的等差中项＝＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了等差中项的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（3分）已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝an﹣2，则a10等于（ ）
A．﹣12B．12C．﹣16D．16
【分析】利用等差数列的定义、通项公式即可得出结论．
【解答】解：由an+1＝an﹣2，可得an+1﹣an＝﹣2，
则数列{an}为等差数列，公差为﹣2．
则a10＝2﹣2×9＝﹣16，
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．若y＝sinx，则y′＝csxB．若y＝，则y′＝
C．若y＝csx，则y′＝sinxD．若y＝e，则y′＝e
【分析】根据题意，依次计算选项中函数的导数，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sinx，y′＝csx，A正确；
对于B，y＝，则y′＝﹣，B错误；
对于C，y＝csx，则y′＝﹣sinx，C错误；
对于D，y＝e，则y′＝0，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
5．（3分）若1，a，b，c，4成等比数列，则abc＝（ ）
A．16B．8C．﹣8D．±8
【分析】根据等比数列的性质得到ac的乘积等于b的平方等于1×4，开方即可求出b的值，然后利用ac的积与b的值求出abc即可．
【解答】解：若1，a，b，c，4成等比数列，∴b2＝ac＝1×4，
∴b＝2，（负不合题意，奇数项符号相同），
则abc＝2×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题．
6．（3分）若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣4]
【分析】先求出函数的对称轴，结合函数的单调性得到不等式解出即可．
【解答】解：函数的对称轴是：x＝，
若f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，﹣1）上是减函数，
只需≥﹣1，即m≥﹣2即可，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，是一道基础题．
7．（3分）直线y＝5x+b是曲线y＝x3+2x+1的一条切线，则实数b＝（ ）
A．﹣1或1B．﹣1或3C．﹣1D．3
【分析】设切点M（m，n）利用导数的几何意义可求得m＝1或﹣1，继而可求得b．
【解答】解：设切点M（m，n），y′＝3x2+2，
则3m2+2＝5，解得m＝1或﹣1；
若m＝1，则n＝5+b＝13+2×1+1＝4⇒b＝﹣1；
若m＝﹣1，则n＝﹣5+b＝（﹣1）3+2×（﹣1）+1＝﹣2⇒b＝3；
综上所述，b＝﹣1或3，
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查函数与方程思想，考查数学运算能力等核心素养，属于中档题．
8．（3分）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0．水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据球的形状，结合单位时间内体积的变化情况进行判断．
【解答】解：容器是球形，两头体积小，中间体积大，
在一开始单位时间内体积的增长速度比较慢，超过球心后体积的增长率变快，
故对应的图象是C，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象的增长速度是解决本题的关键．
9．（3分）如图所示的是y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列四个结论：
①f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；
②x＝﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）的零点为﹣1和4；
④x＝1是f（x）的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③④
【分析】利用导函数y＝f'（x）的图象，对①②③④四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：由导函数y＝f'（x）的图象可知，
当x∈（﹣3，﹣1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣1，2）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间（﹣3，﹣1）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，故①正确，②正确；
又﹣1和4是f′（x）＝0的零点（是极值点），不是f（x）的零点，且x＝1不是f（x）的极大值点，故③④均错误；
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了数形结合思想的应用，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
10．（3分）一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）
A．na（1﹣b%）B．a（1﹣nb%）C．a（1﹣b%）nD．a[1﹣（b%）n]
【分析】根据题意可知第一年后，第二年后以及以后的每年的价值成等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得答案．
【解答】解：依题意可知第一年后的价值为a（1﹣b%），第二年价值为a（1﹣b%）2，
依此类推可知每年的价值成等比数列，其首项a（1﹣b%）公比为1﹣b%，
进而可知n年后这批设备的价值为a（1﹣b%）n
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列的应用，解题的关键是利用已知条件求得数列的通项公式，属基础题．
11．（3分）数列{an}是等比数列，m，n，p∈N*，则“am•an＝ap2”是“m+n＝2p”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由已知等比数列的通项公式分别检验充分性及必要性即可判断．
【解答】解：因为数列{an}是等比数列，m，n，p∈N*，
若an＝1，则am•an＝ap2一定成立，此时m，n，p可以是任意正整数，即m+n＝2p不一定成立，
当m+n＝2p，am•an＝•qm+n﹣2＝＝（）2＝，
则“am•an＝ap2”是“m+n＝2p”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，充分必要条件的判断，属于基础题．
12．（3分）设f（n）＝2+24+27+210+…+23n+13（n∈N），则f（n）等于（ ）
A．B．
C．D．
【分析】判断数列是等比数列，然后求解数列的和即可．
【解答】解：因为数列2，24，27，•••，23n+13是一个以2为首项，以23为公比的等比数列，
所以f（n）＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列求和公式的应用，是中档题．
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
13．（5分）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如表．观察表中数据的特点．
则a＝ 140 ，b＝ 85 ．
【分析】由题意知，表格中的收缩压形成一个等差数列，舒张压形成一个有两个等差数列交叉组成的数列，从而求解．
【解答】解：由题意知，
表格中的收缩压形成一个等差数列，公差为5，
故a＝135+5＝140；
表格中的舒张压形成一个有两个等差数列交叉组成的数列，
故b＝83+2＝85；
故答案为：140，85．
【点评】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）＝x•ex的导函数f′（x）＝ （1+x）ex ．
【分析】根据函数的导数运算公式即可得到结论．
【解答】解：函数的导数f′（x）＝ex+xex＝（1+x）ex，
故答案为：（1+x）ex
【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．
15．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣4，S5＝﹣10，则n＝ 4或5 时，Sn有最小值为 ﹣10 ．
【分析】由已知结合等差数列的求和公式先求出Sn，然后结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：因为等差数列{an}中，a1＝﹣4，S5＝5×（﹣4）+10d＝﹣10，
则d＝1，
所以Sn＝﹣4n+＝，
根据二次函数的性质可知，当n＝4或5时，和有最小值﹣10．
故答案为：4或5，﹣10．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
16．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，＝1（n≥2，n∈N+），则a2022＝ ．
【分析】求出数列的通项公式，然后求解即可．
【解答】解：数列{an}满足a1＝1，＝1（n≥2，n∈N+），
所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以＝n，所以an＝，
a2022＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是基础题．
17．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过 2 h后池水中药品的浓度达到最大．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：C＝＝＝5，当且仅当t＝，t＝2时取等号．
因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．
故答案为：2．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
18．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+2n，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第n行有2n﹣1，项，每一行从左到右项数依次增大，记（m，n）为该数阵中第m行从左到右第n个数的坐标，则坐标（5，5）为对应的数为 41 ；a2022对应的坐标为 （11，999） ．
【分析】利用an＝，求出an＝2n+1，将该数列按第n行有2n﹣1个数排成一个数阵，可求（5，5）对应的数，进而可求a2022对应的坐标．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn＝n2+2n，
∴a1＝S1＝1+2×1＝3，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]＝2n+1，
n＝1时，上式成立，
∴an＝2n+1．
将该数列按第n行有2n﹣1个数排成一个数阵，如图，
由该数阵前7行有：20+2+22+…+2n﹣1＝＝2n﹣1项，
前四行共有15项，∴该数阵第5行从左向右第5个数字为a20＝2×20+1＝41．
又∵210﹣1＝1023，211﹣1＝2047项，
故a2022应排第11行第999个位置，故a2022对应的坐标为（11，999）．
故答案为：41；（11，999）．
【点评】本题考查数阵第8行从左向右第8个数字的求法，考查等差数列和等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，＝2，等差数列{bn}满足b1＝a3，b2＝a1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．
【分析】（Ⅰ）由等比数列的通项公式，可得an；由等差数列的通项公式，求得公差，进而得到bn；
（Ⅱ）求得an+bn＝2n﹣1+7﹣3n，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，＝2，
可得an＝2n﹣1；
设等差数列{bn}的公差为d，
由b1＝a3＝4，b2＝a1＝1，
可得d＝b2﹣b1＝﹣3，
则bn＝4﹣3（n﹣1）＝7﹣3n；
（Ⅱ）an+bn＝2n﹣1+7﹣3n，
可得数列{an+bn}的前n项和为（1+2+4+...+2n﹣1）+（4+1+...+7﹣3n）
＝+n（4+7﹣3n）＝2n﹣1+．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx在x＝1处有极值2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数y＝f（x）﹣k在区间[﹣2，]上有三个零点，写出k的取值范围（无需解答过程）．
【分析】（Ⅰ）由f（x）＝ax3+bx在x＝1处取得极值2，得，即可得出答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝﹣x3+3x，求导分析f′（x）的正负，进而可得f（x）的单调性．
（Ⅲ）问题可转化为f（x）＝k在区间[﹣2，]上有三个根，只需y＝f（x）与y＝k在区间[﹣2，]上有三个交点，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝ax3+bx在x＝1处取得极值2，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝﹣x3+3x，
f′（x）＝﹣3x2+3，
所以在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（﹣1，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递增区间为（﹣1，1）．
（Ⅲ）因为函数y＝f（x）﹣k在区间[﹣2，]上有三个零点，
所以f（x）＝k在区间[﹣2，]上有三个根，
即y＝f（x）与y＝k在区间[﹣2，]上有三个交点，
由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣2，﹣1），（1，）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，
f（﹣2）＝2，f（﹣1）＝﹣2，f（1）＝2，f（）＝0，
所以0＜k＜2，
所以k的取值范围为（0，2）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
一、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）.
21．（4分）函数f（x）＝x﹣lnx有（ ）
A．有极小值1，无极大值B．有极大值1，无极小值
C．有极大值1，有极小值0D．无极大值，也无极小值
【分析】对函数求导，找出增减区间，然后判断函数的极值即可．
【解答】解：f′（x）＝1−，令f′（x）＞0，解得x＞1，
故函数f（x）在（0，1）递减，（1，+∞）单调递增，
因为f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）单调递减，
故函数f（x）在x＝1取极小值f（1）＝1，没有极大值．
故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查导函数单调性的求解及极值相关计算，属于基础题．
22．（4分）已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差d＜0
B．在所有Sn＜0中，S13最大
C．满足Sn＞0的n的个数有11个
D．a6＞a7
【分析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A是否正确；
根据S6最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D的正确性：
利用等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，可判断S12、S13的符号，这样就可判断B、C是否正确．
【解答】解：∵等差数列{an}中，S6最大，且S6＞S7＞S5∴a1＞0，d＜0，A正确；
∵S6＞a7，∴a6＞0，a7＜0，∴D正确；
∵S13＝×13＝×13＜0
∵a6+a7＞0，a6＞﹣a7，s12＝×12＝×12＞0；
∴Sn的值当n≤6递增，当n≥7递减，前12项和为正，当n＝13时为负．
故B正确；满足sn＞0的n的个数有12个，故C错误；
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值．在等差数列中Sn存在最大值的条件是：a1＞0，d＜0．
一般两种解决问题的思路：项分析法与和分析法．
23．（4分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线y＝lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）
①k的取值范围是（0，）．
②＜k＜．
③当x∈（x1，x2）时，f（x）＝kx﹣lnx先减后增且恒为负．
以上结论中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①②C．①③D．②③
【分析】构造函数f（x）＝kx﹣lnx，求导可得f′（x）＝k﹣，由已知f（x）有两个不同的零点，得k＞0，进一步可得f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，画图可得f（）＝1﹣＜0，则0，故①正确；由，得，故②错误；由图可知，当x∈（x1，x2）时，f（x）＝kx﹣lnx先减后增且恒为负，故③正确．
【解答】解：令f（x）＝kx﹣lnx，则f′（x）＝k﹣，
由已知f（x）有两个不同的零点，则k＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，
∴f（）＝1﹣＜0，则0，故①正确；
且有，∴，故②错误；
当x∈（x1，x2）时，f（x）＝kx﹣lnx先减后增且恒为负，故③正确．
∴所有正确结论的序号是①③．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
24．（4分）已知数列{an}，若存在一个正整数T使得对任意n∈N*，都有an+T＝an，则称T为数列{an}的周期．若四个数列分别满足
①a1＝2，an+1＝1﹣an（n∈N*）；
②b1＝1，bn+1＝﹣）；
③c1＝1，c2＝2，cn+2＝cn+1﹣cn（n∈N*）；
④d1＝1，dn+1＝（﹣1）ndn（n∈N*）．
则上述数列中，8为其周期的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用数列的周期性的定义逐项分析即可得出所求的答案．
【解答】解：①因为an+1＝1﹣an（n∈N*），所以an+2＝1﹣an+1＝1﹣（1﹣an）＝an，
所以数列{an}的周期为T＝2，故8是数列{an}的周期；
②由b1＝1，bn+1＝﹣）可得：
b2＝﹣，b3＝﹣＝﹣2，b4＝﹣＝1，b5＝﹣，…，
故数列{an}的周期为T＝3；
③由c1＝1，c2＝2，cn+2＝cn+1﹣cn（n∈N*）可得：
c3＝c2﹣c1＝1，c4＝c3﹣c2＝﹣1，c5＝c4﹣c3＝﹣2，c6＝c5﹣c4＝﹣1，c7＝c6﹣c5＝1，c8＝c7﹣c6＝2，…，
故数列{an}的周期为T＝6；
④由d1＝1，dn+1＝（﹣1）ndn（n∈N*）可得：
dn+4＝（﹣1）n+3dn+3＝（﹣1）n+3（﹣1）n+2dn+2＝﹣dn+2＝﹣（﹣1）n+1dn+1＝﹣（﹣1）n+1（﹣1）ndn＝dn，
故数列{an}的周期为T＝4，所以8是数列{an}的周期；
故8是其周期的数列的个数为2，
故选：B．
【点评】本题考查数列的周期性，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
25．（4分）若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）＝xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】若f（x）为“三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，利用导数法求出函数的最值，可得实数m的取值范围．
【解答】解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．
则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，
∵函数f（x）＝xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，
f′（x）＝lnx+1，
当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；
当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；
故当x＝时，函数f（x）取最小值﹣+m，
又由f（e）＝e+m，f（）＝﹣+m，
故当x＝e时，函数f（x）取最大值e+m，
∴0＜e+m＜2（﹣+m），
解得：m∈，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的最值，能正确理解f（x）为“三角形函数”的概念，是解答的关键．
二、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
26．（13分）已知数列{an}满足Sn＝n﹣an（n＝1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求证：数列{an﹣1}是等比数列；
（Ⅲ）令bn＝（2﹣n）（an﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有bn+，求实数t的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由已知Sn＝n﹣an，将n＝1，2，3代入，可求得a1，a2，a3的值．
（Ⅱ）由Sn＝n﹣an，有Sn+1＝n+1﹣an+1可得2an+1＝1+an，即，进而利用等比数列定义可证结论．
（Ⅲ）由（Ⅱ），得，得出数列{bn}的单调性，得到，根据条件即得到即，可求出参数t的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由Sn＝n﹣an，可得S1＝1﹣a1，即a1＝1﹣a1，所以，
S2＝2﹣a2，即a1+a2＝2﹣a2，所以，
S3＝3﹣a3即a1+a2+a3＝3﹣a3，所以．
证明：（Ⅱ）由Sn＝n﹣an，（1）
有Sn+1＝n+1﹣an+1，（2）
由（2）﹣（1）得an+1＝1+an﹣an+1，即2an+1＝1+an，
所以，又，
故，
所以数列{an﹣1}是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，即．
（Ⅲ）由（Ⅱ），得，
则，
则当n＜3时，bn+1﹣bn＜0，
当n＞3时，bn+1﹣bn＞0，
所以b1＜b2＜b3＝b4＞b5＞⋯＞bn＞⋯，
所以数列{bn}有最大值，即，
对任意n∈N*，都有，即，解得或．
所以实数t的取值范围或．
【点评】本题考查了利用数列的递推关系求值以及数列与不等式的综合，属于中档题．
27．（14分）已知函数f（x）＝ex（x﹣1）﹣eax2，a＜0．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极小值；
（Ⅲ）求函数f（x）的零点个数．
【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（II）结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的极小值；
（III）结合单调性的讨论及函数的零点判定定理可求．
【解答】解：（I）f′（x）＝xex﹣xea，
所以f（0）＝﹣1，f′（0）＝0，
所以曲线在（0，f（0））处的切线方程y＝﹣1；
（II）因为f′（x）＝xex﹣xea＝x（ex﹣ea），
令f′（x）＝xex﹣xea＝x（ex﹣ea）＝0可得x＝0或x＝a，（a＜0），
当x＜a时，f′（x）＞0，函数单调递增，当a＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，
故当x＝0时，函数取得极小值f（0）＝﹣1；
（III）当x≤1时，f（x）＜0且f（2）＝e2﹣2ea＞e2﹣2＞0，
由（II）可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（a）＝＝﹣（a2﹣2a+2）＝﹣[1+（a﹣1）2]＜0，
故函数的零点个数为1
【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，极值及求解函数零点问题，属于中档试题．
28．（13分）给定数列a1，a2，…，an．对i＝1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n﹣i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai﹣Bi．
（Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）设a1，a2，…，an﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，dn﹣1是等比数列；
（Ⅲ）设d1，d2，…，dn﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，an﹣1是等差数列．
【分析】（Ⅰ）当i＝1时，A1＝3，B1＝1，从而可求得d1，同理可求得d2，d3的值；
（Ⅱ）依题意，可知an＝a1qn﹣1（a1＞0，q＞1），由dk＝ak﹣ak+1⇒dk﹣1＝ak﹣1﹣ak（k≥2），从而可证（k≥2）为定值．
（Ⅲ）依题意，0＜d1＜d2＜…＜dn﹣1，可用反证法证明a1，a2，…，an﹣1是单调递增数列；再证明am为数列{an}中的最小项，从而可求得是ak＝dk+am，问题得证．
【解答】解：（Ⅰ）当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1﹣B1＝2，同理可求d2＝3，d3＝6；
（Ⅱ）由a1，a2，…，an﹣1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{an}的通项为：an＝a1qn﹣1，且为单调递增的数列．
于是当k＝1，2，…n﹣1时，dk＝Ak﹣Bk＝ak﹣ak+1，
进而当k＝2，3，…n﹣1时，＝＝＝q为定值．
∴d1，d2，…，dn﹣1是等比数列；
（Ⅲ）设d为d1，d2，…，dn﹣1的公差，
对1≤i≤n﹣2，因为Bi≤Bi+1，d＞0，
所以Ai+1＝Bi+1+di+1≥Bi+di+d＞Bi+di＝Ai，
又因为Ai+1＝max{Ai，ai+1}，所以ai+1＝Ai+1＞Ai≥ai．
从而a1，a2，…，an﹣1为递增数列．
因为Ai＝ai（i＝1，2，…n﹣1），
又因为B1＝A1﹣d1＝a1﹣d1＜a1，
所以B1＜a1＜a2＜…＜an﹣1，
因此an＝B1．
所以B1＝B2＝…＝Bn﹣1＝an．
所以ai＝Ai＝Bi+di＝an+di，
因此对i＝1，2，…，n﹣2都有ai+1﹣ai＝di+1﹣di＝d，
即a1，a2，…，an﹣1是等差数列．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．
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