2021-2022学年北京市清华附中奥森、将台路校区高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市清华附中奥森、将台路校区高二（下）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在等差数列40，37，34，……中，第6项是（ ）
A．28B．25C．24D．22
2．（4分）已知全部是正项的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝14，则其公比q为（ ）
A．3B．﹣1C．1D．2
3．（4分）函数f（x）＝x2﹣7x从1到2的平均变化率为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣6D．6
4．（4分）函数的导数是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）已知函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极值点（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（4分）已知等比数列{an}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（4分）若函数f（x）＝kx+lnx在区间（1，6）单调递减，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．
8．（4分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，公差为d，a8+a9＞0，a9＜0，则下列结论不正确的是（ ）
A．d＜0
B．当n＝8时，Sn取得最大值
C．a4+a5+a18＜0
D．使得Sn＞0成立的最大自然数n是15
9．（4分）新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（i（t）表示自4月20日开始t（单位：天）时刻累计感染人数，i（t）的导数i'（t）表示t时刻的新增病例数），则下列命题正确的是（ ）
A．4月20号累计感染人数为2500
B．4月20号新增病例数为25
C．4月20号新增病例数为45
D．新增病例数自4月20号起逐渐减少
10．（4分）对于数列{an}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有（t为常数）成立，则称数列{an}具有性质P（t）．数列{an}的通项公式为，且具有性质P（5），则实数a的取值范围是（ ）
A．[5，+∞）B．[4，+∞）C．（﹣∞，4]D．（﹣∞，5]
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11．（5分）已知{an}为等差数列，a3+a8＝25，a6＝11，则a5＝ ．
12．（5分）已知某物体运动的位移s关于时间t的函数为s＝（t﹣1）3+t，则当t＝3时的瞬时速度是 ；t＝ 时，瞬时速度达到最小．
13．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y＝﹣2x+9，
则f（4）＝ ，f′（4）＝ ．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+ax+1有极值点，则a的取值范围是 ．
15．（5分）函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2），有恒成立，则称f（x）为“恒均变函数”．给出下列函数：
①f（x）＝2x+3；
②f（x）＝x2﹣2x+3；
③f（x）＝ex；
④f（x）＝csx．
其中为“恒均变函数”的序号是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
16．（16分）已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝7．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b2＝a2，b3＝a5，求{bn}的通项公式．
17．（16分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
18．（14分）已知函数f（x）＝x2+alnx．
（Ⅰ）x＝1是y＝f（x）的极值点，求a的取值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
19．（14分）已知数列{an}满足a1＝2，前n项和Sn＝2n2+pn，n∈N+．
（Ⅰ）求实数p的值及数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）在等比数列{bn}中，b1＝1，a3是b3，b5的等差中项，求{b2n﹣1}的前n项和为Tn．
20．（13分）已知函数f（x）＝﹣1，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1时，求证：f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若y＝f（x）的图像与x轴没有交点，求a的取值范围．
21．（12分）对于数列{an}，若满足（n∈N*，p是与n无关的常数），则称数列{an}是“比等差数列”，常数p称为此数列的“比差”．
（Ⅰ）已知数列an＝2n+1，bn＝2n，判断数列{an}，{bn}是否为“比等差数列”；
（Ⅱ）证明“比差”为零的“比等差数列”一定是等比数列；
（Ⅲ）“比差”为正的“比等差数列”是否一定是递增数列？如果是，给出证明；如果不是，请举出反例．
2021-2022学年北京市清华附中奥森、将台路校区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）.
1．（4分）在等差数列40，37，34，……中，第6项是（ ）
A．28B．25C．24D．22
【分析】先求出等差数列40，37，34，……的首项和公差，从而求出an＝﹣3n+43，由此能求出这个等差数列的第6项．
【解答】解：在等差数列40，37，34，……中，
a1＝40，d＝37﹣40＝﹣3，
∴an＝40+（n﹣1）×（﹣3）＝﹣3n+43，
∴第6项为a6＝﹣3×6+43＝25．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的第6项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心能力，是基础题．
2．（4分）已知全部是正项的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝14，则其公比q为（ ）
A．3B．﹣1C．1D．2
【分析】设公比为q，根据条件列出方程求解即可．
【解答】解：设公比为q，
因为a1＝2，S3＝14，
所以，解得，q＝2或q＝﹣3，
因为an＞0，a1＝2，
所以q＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
3．（4分）函数f（x）＝x2﹣7x从1到2的平均变化率为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣6D．6
【分析】由已知结合函数平均变化率的定义即可直接求解．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣7x从1到2的平均变化率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数平均变化率定义的应用，属于基础题．
4．（4分）函数的导数是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式函数和正弦函数导数公式，以及导数的运算法则可得答案．
【解答】解：∵∴y'＝＝
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的运算法则．属基础题，求导公式一定要熟练掌握．
5．（4分）已知函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极值点（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据题意，设导函数的零点分别为x1，x2，x3，x4，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，结合极值的定义分析可得答案．
【解答】解：如图，不妨设导函数的零点分别为x1，x2，x3，x4．
由导函数的图象可知：
当x∈（a，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（x2，x3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（x4，b）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值，一个极小值；
故选：B．
【点评】本题考查利用导数分析函数的极值，关键是掌握函数的导数与函数极值的关系．
6．（4分）已知等比数列{an}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】可举﹣1，，…，说明不充分；举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…说明不必要，进而可得答案．
【解答】解：可举a1＝﹣1，q＝，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列，
故由“0＜q＜1”不能推出“{an}为递减数列”；
可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q＝2，不满足0＜q＜1，
故由“{an}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”．
故“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题．
7．（4分）若函数f（x）＝kx+lnx在区间（1，6）单调递减，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．
【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求．
【解答】解：≤0在（1，6）恒成立，
故k在（1，6）上恒成立，
故k≤﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
8．（4分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，公差为d，a8+a9＞0，a9＜0，则下列结论不正确的是（ ）
A．d＜0
B．当n＝8时，Sn取得最大值
C．a4+a5+a18＜0
D．使得Sn＞0成立的最大自然数n是15
【分析】由已知结合等差数列的通项公式，性质及求和公式分析各选项即可判断．
【解答】解：因为等差数列{an}中，a8+a9＞0，a9＜0，
所以a8＞0，a9＜0，d＝a9﹣a8＜0，A正确；
当n＝8时，Sn取得最大值，B正确；
a4+a5+a18＝3a1+24d＝3（a1+8d）＝3a9＜0，C正确；
S16＝8（a1+a16）＝8（a8+a9）＞0，S17＝＝17a9＜0，
故Sn＞0成立的最大自然数n＝16，D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，考查了分析问题的能力，属于中档题．
9．（4分）新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（i（t）表示自4月20日开始t（单位：天）时刻累计感染人数，i（t）的导数i'（t）表示t时刻的新增病例数），则下列命题正确的是（ ）
A．4月20号累计感染人数为2500
B．4月20号新增病例数为25
C．4月20号新增病例数为45
D．新增病例数自4月20号起逐渐减少
【分析】由题对求导得：i'（t）＝，再对照选项判断即可得出答案．
【解答】解：对求导得：i'（t）＝＝，
A．当t＝0时，i（t）＝1250，故错误；
当t＝0时，i'（0）＝＝45，所以B错，C正确；
因为 i'（t）＝≥＝＝125，当81e﹣0.2t＝时，“＝”成立，
即在4月20日后有一段时间新增病例数还会上增，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了导数的计算，理解题意是解答本题的关键，属于中档题．
10．（4分）对于数列{an}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有（t为常数）成立，则称数列{an}具有性质P（t）．数列{an}的通项公式为，且具有性质P（5），则实数a的取值范围是（ ）
A．[5，+∞）B．[4，+∞）C．（﹣∞，4]D．（﹣∞，5]
【分析】通过整理得到数列{an﹣5n}是递增数列，即an+1﹣5（n+1）﹣（an﹣5n）≥0，化简为﹣a≤2n（n+1）（n﹣2），求出后面函数的最小值即可求解．
【解答】解：由已知条件得，所以数列{an﹣5n}是递增数列，
即an+1﹣5（n+1）﹣（an﹣5n）≥0，
因为，所以上式化简为﹣a≤2n（n+1）（n﹣2），
令f（n）＝2n（n+1）（n﹣2），
由三次函数的图像性质可知f（n）最小值为f（1），
而f（1）＝﹣4，
所以f（n）min＝﹣4，
所以﹣a≤﹣4⇒a≥4，
故a的取值范围为[4，+∞），
故选：B．
【点评】本题考查了数列的应用，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11．（5分）已知{an}为等差数列，a3+a8＝25，a6＝11，则a5＝ 14 ．
【分析】根据等差数列的性质即可求出．
【解答】解：{an}为等差数列，a3+a8＝25，a6＝11，
∵a5+a6＝a3+a8，
∴a5＝25﹣11＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了运算求解能力，属于基础题．
12．（5分）已知某物体运动的位移s关于时间t的函数为s＝（t﹣1）3+t，则当t＝3时的瞬时速度是 13 ；t＝ 1 时，瞬时速度达到最小．
【分析】先对函数求导，然后结合导数的实际意义求解．
【解答】解：s′＝3（t﹣1）2+1，
当t＝3时的瞬时速度为13，
根据二次函数性质可知，当t＝1时，瞬时速度取得最小值．
故答案为：13；1．
【点评】本题主要考查了变化的快慢与变化率，属于基础题．
13．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y＝﹣2x+9，
则f（4）＝ 1 ，f′（4）＝ ﹣2 ．
【分析】利用导数的几何意义求出 f′（4），再利用切点在切线上求出 f（4）．
【解答】解：根据导数的几何意义可知f′（4）＝﹣2，
由切点（4，f（4））在切线上，
所以f（4）＝﹣2×4+9＝1，
故答案为：1；﹣2．
【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+ax+1有极值点，则a的取值范围是 {a|a＞4或a＜0} ．
【分析】由题意得f′（x）＝x2+ax+a＝0有变号零点，然后结合二次函数性质可求．
【解答】解：由题意得f′（x）＝x2+ax+a＝0有变号零点，
故Δ＝a2﹣4a＞0，
解得a＞4或a＜0．
故答案为：{a|a＞4或a＜0}．
【点评】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于基础题．
15．（5分）函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2），有恒成立，则称f（x）为“恒均变函数”．给出下列函数：
①f（x）＝2x+3；
②f（x）＝x2﹣2x+3；
③f（x）＝ex；
④f（x）＝csx．
其中为“恒均变函数”的序号是 ①② ．
【分析】针对每一个函数，分别计算出与，检验两者是否恒相等，即可得解．
【解答】解：对于①，，满足，故①为恒均变函数；
对于②，
＝，
满足，故②为恒均变函数；
，故③不为恒均变函数；
对于④，当时，，
，
即此时，故④不为恒均变函数．
故答案为：①②．
【点评】本题考査了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题．
三、解答题：（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
16．（16分）已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝7．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b2＝a2，b3＝a5，求{bn}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，可得所求；
（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q，由等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，可得所求．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，a1＝1，a4＝7，
可得d＝＝＝2，
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
Sn＝n（1+2n﹣1）＝n2；
（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q，由b2＝a2＝3，
b3＝a5＝9，可得q＝＝3，b1＝1，
则{bn}的通项公式为bn＝3n﹣1，n∈N*．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
17．（16分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣3x+1，所以f（0）＝1，
又f'（x）＝3x2﹣3，
所以k＝f'（0）＝﹣3，
故切线方程为：3x+y﹣1＝0．
（2）f'（x）＝3x2﹣3＞0，则x＞1或x＜﹣1；
f'（x）＝3x2﹣3＜0，则﹣1＜x＜1．
故函数的递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），递减区间是（﹣1，1）．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道常规题．
18．（14分）已知函数f（x）＝x2+alnx．
（Ⅰ）x＝1是y＝f（x）的极值点，求a的取值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（I）利用导数为0可求a的值，再检验即可；
（II）对a分类讨论可得﹣+aln≥0，求解即可．
【解答】解：（I）由f（x）＝x2+alnx．得f′（x）＝2x+a•＝．
∵x＝1是y＝f（x）的极值点，∴f′（1）＝0，即2+a＝0，所以a＝﹣2，
经检验a＝﹣2是函数的极值点，故a＝﹣2；
（II）由（I）知f′（x）＝．（x＞0），
当a≥0时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，又x→0，f（x）→﹣∞，
故f（x）≥0不恒成立，
当a＜0时，由f′（x）＝0，得x＝，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数在（0，）上为减函数，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数在（，+∞）上为增函数，
∴f（x）min＝f（）＝﹣+aln，
由f（x）≥0恒成立，可得﹣+aln≥0，
解得a≥﹣2e，∴﹣2e≤a＜0，
所以a的取值范围[﹣2e，0）．
【点评】本题考查函数的极值与恒成立问题，属中档题．
19．（14分）已知数列{an}满足a1＝2，前n项和Sn＝2n2+pn，n∈N+．
（Ⅰ）求实数p的值及数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）在等比数列{bn}中，b1＝1，a3是b3，b5的等差中项，求{b2n﹣1}的前n项和为Tn．
【分析】（Ⅰ）由数列的通项与前n项和的关系，计算可得所求；
（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（Ⅰ）由Sn＝2n2+pn，n∈N+，
可得a1＝S1＝2+p＝2，解得p＝0，
即Sn＝2n2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2﹣2（n﹣1）2＝2（2n﹣1），
上式对n＝1也成立，
所以an＝4n﹣2，n∈N+；
（Ⅱ）在等比数列{bn}中，b1＝1，设公比为q，
a3是b3，b5的等差中项，可得2a3＝b3+b5，即q2+q4＝20，
解得q2＝4，即q＝±2，
b2n﹣1＝b1q2n﹣2＝4n﹣1，
所以{b2n﹣1}的前n项和为Tn＝＝（4n﹣1）．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
20．（13分）已知函数f（x）＝﹣1，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1时，求证：f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若y＝f（x）的图像与x轴没有交点，求a的取值范围．
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求极值；
（2）利用导数求参数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：当a＝1时，则f（x）＝﹣1，∴f′（x）＝，
令g（x）＝ex+1﹣xex，g′（x）＝﹣xex，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
又g（1）＝1＞0，g（2）＝﹣e2+1＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，
当x∈（0，x0），f′（x）＞0，所以f（x）在∈（0，x0）单调递增，
当x∈（x0，+∞），f′（x）＜0，所以f（x）在∈（x0，+∞）单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点x0；
（2）f（x）＝﹣1，a≠0．
令h（x）＝ex+a﹣ax，则h′（x）＝ex+a，
①若a＜0，则h′（x）＞0，h（x）在R上单调递增，
因为h（）＝（e﹣1）+a＜0，h（1）＝e＞0，
所以h（x）恰有一个零点x0，令e+a＝0，得x0＝ln（﹣a），
代入h（x0）＝0，得﹣a+a﹣aln（﹣a）＝0，解得a＝﹣1，
所以当a＝﹣1时，h（x）的唯一零点为0，此时f（x）无零点，符合题意，
②若a＞0，此进f（x）的定义域为R，
当x＜lna时，f′（x）＜0，所以f（x）在∈（（﹣∞，lna）上单调递减，
当x＞lna时，f′（x）＞0，所以f（x）在∈（（lna，+∞）上单调递增，
所以h（x）min＝h（lna）＝2a﹣alna，
又h（0）＝1+a＞0，
由题意，当2a﹣alna＞0，即0＜a＜e时，f（x）无零点，符合题意，
综上，a的取值范围为{﹣1}∪（0，e2）．
【点评】本题考查函数的导数的综合运用，属难题．
21．（12分）对于数列{an}，若满足（n∈N*，p是与n无关的常数），则称数列{an}是“比等差数列”，常数p称为此数列的“比差”．
（Ⅰ）已知数列an＝2n+1，bn＝2n，判断数列{an}，{bn}是否为“比等差数列”；
（Ⅱ）证明“比差”为零的“比等差数列”一定是等比数列；
（Ⅲ）“比差”为正的“比等差数列”是否一定是递增数列？如果是，给出证明；如果不是，请举出反例．
【分析】（I）：根据﹣＝﹣≠常数，可判断数列{an}不是“比等差数列”；﹣＝0，可判断数列{bn}是“比等差数列”；
（II）：由已知可得＝＝q（常数）（n∈N*），可得结论，
（III）利用8，2，1，，，，⋯⋯可得结论．
【解答】解：（I）∵an＝2n+1，∴﹣＝﹣＝﹣≠常数，故数列{an}不是“比等差数列”；
由bn＝2n，﹣＝﹣＝2﹣2＝0（常数），故数列{bn}是“比等差数列”；
（II）﹣＝0，∴＝＝q（常数）（n∈N*），故数列{an}是以q为公比的等比数列；
（II）比差”为正的“比等差数列”不一定是递增数列，如8，2，1，，，，⋯⋯．
【点评】本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，属于难题．
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