2021-2022学年北京市通州区高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市通州区高二（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了解答题共6小题，共80分等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知函数f（x）＝x5，则f'（﹣1）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
2．（4分）已知函数f（x）＝，则f'（x）＝（ ）
A．B．3x2+1
C．D．
3．（4分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，则a+b＝（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
4．（4分）已知集合A＝{﹣4，1，2，3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个B．12个C．9个D．6个
5．（4分）设f（x）＝sin2x，则f'（x）＝（ ）
A．2csxB．cs2xC．2cs2xD．﹣2cs2x
6．（4分）已知函数f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则f1′（x0），f2′（x0），f3′（x0），f4′（x0）的大小关系是（ ）
A．f1′（x0）＞f2′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）
B．f1′（x0）＞f3′（x0）＞f2′（x0）＞f4′（x0）
C．f4′（x0）＞f1′（x0）＞f3′（x0）＞f2′（x0）
D．f1′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）＞f2′（x0）
7．（4分）已知函数f（x）在定义域D内导数存在，且x0∈D，则“f'（x0）＝0”是“x0是f（x）的极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（4分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种B．36种C．24种D．20种
9．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：
①x1，x4是函数y＝f（x）的极小值点；
②x3是函数y＝f（x）的极大值点；
③y＝f（x）在x＝x2处切线的斜率大于零；
④y＝f（x）在区间（x4，x5）上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
10．（4分）设函数f（x）＝，若函数f（x）无最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）若A＝4C，则m＝ ．
12．（5分）在（x﹣）6的二项展开式中，常数项等于 .（用数字作答）
13．（5分）假设某高山滑雪运动员在一次高山滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为l（t）＝2t2+t，则该运动员在2≤t≤4这段时间的平均速度为 m/s；在t＝4s时的瞬时速度为 m/s．
14．（5分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：
则f（g（1））＝ ；函数f（g（x））在x＝1处的导数值是 ．
15．（5分）定义在区间（﹣2π，2π）上的函数f（x）＝xcsx﹣sinx，则f（x）的单调递减区间是 ．
16．（5分）函数f（x）＝ex﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数），关于函数f（x）有四个结论：
①∀a∈R，函数f（x）总存在零点；
②∀a＜0，函数f（x）在定义域内单调递增；
③∃a∈R，使函数f（x）存在2个零点；
④∃a＞0，使得直线y＝x为函数f（x）的一条切线．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（12分）高二年级某班第一小组有10名同学，现要从该小组中选出4名同学组成一队，参加高二年级辩论赛．
（Ⅰ）该小组共有多少种组队方法？
（Ⅱ）若从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，
（ⅰ）该小组有多少种选法？
（ⅱ）如果甲同学不担任第一辩手，乙同学不担任第三辩手，共有多少种选法？
18．（13分）已知（1+2x）n的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求（1+2x）n（1﹣x）2的展开式中x2的系数．
19．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，a]上的最小值．
20．（13分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
21．（14分）已知函数f（x）＝xea﹣x+ex．
（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．
22．（15分）设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）ex，其中a∈R．
（Ⅰ）当a≤0时，证明：函数f（x）没有极值点；
（Ⅱ）当a＞时，试判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．
2021-2022学年北京市通州区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知函数f（x）＝x5，则f'（﹣1）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：f′（x）＝5x4，
则f'（﹣1）＝5．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
2．（4分）已知函数f（x）＝，则f'（x）＝（ ）
A．B．3x2+1
C．D．
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：（x）＝＝，
则f′（x）＝2x﹣＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
3．（4分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，则a+b＝（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数值，结合已知切线方程列式求解a与b的值，则答案可求．
【解答】解：由y＝x2+ax+b，得y′＝2x+a，
由题意，y′|x＝0＝a＝1，且0﹣b+1＝0，即b＝1．
∴a+b＝2．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
4．（4分）已知集合A＝{﹣4，1，2，3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个B．12个C．9个D．6个
【分析】根据题意，分析该点横坐标和纵坐标的取法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若该点位于第四象限，需要在集合A取出正值，集合B中取出负值，
有3×2＝6种取法，
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．
5．（4分）设f（x）＝sin2x，则f'（x）＝（ ）
A．2csxB．cs2xC．2cs2xD．﹣2cs2x
【分析】根据导数的公式及复合函数的求导法则即可得到结论．
【解答】解：因为f（x）＝sin2x，
则f'（x）＝2cs2x．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
6．（4分）已知函数f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则f1′（x0），f2′（x0），f3′（x0），f4′（x0）的大小关系是（ ）
A．f1′（x0）＞f2′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）
B．f1′（x0）＞f3′（x0）＞f2′（x0）＞f4′（x0）
C．f4′（x0）＞f1′（x0）＞f3′（x0）＞f2′（x0）
D．f1′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）＞f2′（x0）
【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在x＝x0处的切线，根据切线的斜率来判断即可．
【解答】解：依次作出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）在x＝x0处的切线，如图所示：
根据图象中切线的斜率可知f1′（x0）＞f2′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题．
7．（4分）已知函数f（x）在定义域D内导数存在，且x0∈D，则“f'（x0）＝0”是“x0是f（x）的极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先验证充分性，不妨设f（x）＝x3，在x＝0处有f'（0）＝0，但f（x）为单调递增函数，x＝0不是极值点；再验证必要性，即可得结果．
【解答】解：充分性：不妨设f（x）＝x3，则f'（x）＝3x2，在x＝0处有f'（0）＝0，
但是f'（x）≥0，f（x）为单调递增函数，在x＝0处不是极值，故充分性不成立．
必要性：根据极值点的性质可知，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点，
因为函数f（x）在定义域内可导，所以不存在不可导的点，
因此导数为零的点就是极值点，故必要性成立．
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断，利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
8．（4分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种B．36种C．24种D．20种
【分析】根据题意，先将“射”和“御”看成一个整体，与“乐”、“书”全排列，再分析“礼”、“数”的排法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将“射”和“御”看成一个整体，与“乐”、“书”全排列，有＝12种排法，
②将“礼”安排在第一次，“数”不在最后，有3种排法，
则有12×3＝36种安排方法，
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．
9．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：
①x1，x4是函数y＝f（x）的极小值点；
②x3是函数y＝f（x）的极大值点；
③y＝f（x）在x＝x2处切线的斜率大于零；
④y＝f（x）在区间（x4，x5）上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【分析】根据已知图可得函数f（x）在（﹣∞，x3），（x5，+∞）上单调递增，在（x3，x5）上单调递减，然后根据各个项逐个判断即可求解．
【解答】解：由图可知当x∈（﹣∞，x3）∪（x5，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（x3，x5）时，f′（x）＜0，
则函数f（x）在（﹣∞，x3），（x5，+∞）上单调递增，在（x3，x5）上单调递减，
所以x3是函数的极大值点，故②正确，①错误，
因为x2∈（﹣∞，x3），所以③正确，
因为x4∈（x3，x5），所以函数在（x4，x5）上单调递减，
故选：C．
【点评】本题考查了命题的真假判断的应用，涉及到函数与导函数的应用，考查了学生的识图能力，属于中档题．
10．（4分）设函数f（x）＝，若函数f（x）无最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
【分析】利用导数分析函数的单调性，然后对a分类分析，可得关于a的不等式组，求解得答案．
【解答】解：f（x）＝，则f′（x）＝，
令f′（x）＝0，得x＝±1，
当a＝﹣1时，f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，可得f（x）在x＝﹣1处取得最小值﹣2，不合题意，舍去；
则，或，
解得a＜﹣1或a∈∅，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查分段函数的应用，体现了分类讨论思想，是中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）若A＝4C，则m＝ 5 ．
【分析】根据排列数以及组合数公式，进行求解即可．
【解答】解：∵A＝4C，
∴m（m﹣1）＝4×且m≥4，
∴6＝（m﹣2）（m﹣3），
解得m＝5，（0舍去）
故答案为：5．
【点评】本题考查了排列数以及组合数公式的应用问题，是基础题．
12．（5分）在（x﹣）6的二项展开式中，常数项等于 ﹣20 .（用数字作答）
【分析】利用二项式定理即可求解．
【解答】解：根据二项式定理可得展开式的常数项为C＝﹣20，
故答案为：﹣20．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
13．（5分）假设某高山滑雪运动员在一次高山滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为l（t）＝2t2+t，则该运动员在2≤t≤4这段时间的平均速度为 m/s；在t＝4s时的瞬时速度为 m/s．
【分析】对于第一空：由函数的解析式求出Δy与Δx，再计算平均速度；
对于第二空：求出l（t）的导数，再求出l′（4）的值，由导数的几何意义可得答案．
【解答】解：根据题意，对于第一空：l（t）＝2t2+t，
则l（4）＝32+6＝38，l（2）＝11，则Δy＝l（4）﹣l（2）＝27，
其平均速度为＝；
对于第二空：l′（t）＝4t+，则l′（4）＝16+＝
故在t＝4s时的瞬时速度为．
故答案为：；．
【点评】本题考查变化率的计算和导数的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题．
14．（5分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：
则f（g（1））＝ 4 ；函数f（g（x））在x＝1处的导数值是 2 ．
【分析】结合已知对应关系可求g（1）＝3，进而可求f（g（1）），结合复合函数的求导法则先对函数求导，然后把x＝1代入可求．
【解答】解：由表格中数据可知g（1）＝3，
所以f（g（1））＝f（3）＝4，
函数[f（g（x）]′＝f′[g（x）]•g′（x），
故f（g（x））在x＝1处的导数值f′[g（1）]•g′（1）＝f′（3）•g′（1）＝1×2＝2．
故答案为：4；2．
【点评】本题主要考查了复合函数的求导法则的应用，属于基础题．
15．（5分）定义在区间（﹣2π，2π）上的函数f（x）＝xcsx﹣sinx，则f（x）的单调递减区间是 （﹣π，π） ．
【分析】根据f（x）求出f′（x），令f′（x）＜0，解不等式即可．
【解答】解：由题意f′（x）＝csx+x（﹣sinx）﹣csx＝﹣xsinx．
令f′（x）＜0，即﹣xsinx＜0，得xsinx＞0，
因为x∈（﹣2π，2π），所以当x＞0时，由sinx＞0，可得x∈（0，π）；
当x＜0时，由sinx＜0，可得x∈（﹣π，0），又f（x）为奇函数，
故f（x）的单调递减区间是（﹣π，π）．
故答案为：（﹣π，π）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）函数f（x）＝ex﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数），关于函数f（x）有四个结论：
①∀a∈R，函数f（x）总存在零点；
②∀a＜0，函数f（x）在定义域内单调递增；
③∃a∈R，使函数f（x）存在2个零点；
④∃a＞0，使得直线y＝x为函数f（x）的一条切线．
其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【分析】对①，举出反例判断即可；
对②，求导分析单调性即可；
对③，令f（x）＝0，参变分离得到，再根据函数的图象数形结合分析即可；
对④，设切点，再根据切点在函数、切线上，结合导数的几何意义分析即可．
【解答】解：对①，当a＝0时，f（x）＝ex＞0，不存在零点，故①错误；
对②，当a＜0时，在定义域（0，+∞）上恒成立，
故函数f（x）在定义域内单调递增，故②正确；
对③，显然x＝1不为零点，令f（x）＝0，即，
设函数，则，
令g′（x）＝0可得，易得为增函数，且，
故存在x0∈（1，2）使得成立，
又当x∈（0，1）时g（x）＜0，当x∈（1，+∞）时g（x）＞0，
故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故当x＝x0时g（x）有极小值，故当时，有两个零点，
故③正确；
对④，若a＞0，使得直线y＝x为函数f（x）的一条切线，则设切点为（t，t），
因为，故，即，
故et﹣t（el﹣1）lnt﹣t＝0，
当t＝1时，el﹣1（el﹣1）lnl﹣1＝e﹣1＞0，
当t＝e时，ee﹣e（ee﹣1）lne﹣e＝ee﹣ee+1＜0，
故存在t∈（1，e）使得et﹣t（et﹣1）lnt﹣t＝0成立，
故，有解，a＝t（et﹣1）＞0满足条件，故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考査了利用导数分析函数的零点、单调性问题，同时也考査了根据导数的几何意义分析切线的问题，属于难题．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（12分）高二年级某班第一小组有10名同学，现要从该小组中选出4名同学组成一队，参加高二年级辩论赛．
（Ⅰ）该小组共有多少种组队方法？
（Ⅱ）若从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，
（ⅰ）该小组有多少种选法？
（ⅱ）如果甲同学不担任第一辩手，乙同学不担任第三辩手，共有多少种选法？
【分析】（Ⅰ）根据题意，由组合数公式计算可得答案；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，由排列数公式计算可得答案；
（ⅱ）根据题意，用排除法分析：计算“甲担任第一辩手”、“乙担任第三辩手”和“甲担任第一辩手同时乙担任第三辩手”的选法，由此分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，从10人中选出4名同学组成一队，是组合问题，
有＝210种选法；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，从10人中选出4名同学分别担任第一、二、三、四辩手，是排列问题，
有A＝5040种选法；
（ⅱ）根据题意，若甲担任第一辩手，有A＝504种选法，
若乙担任第三辩手，有A＝504种选法，
若甲担任第一辩手同时乙担任第三辩手，有A＝56种选法，
则有5040﹣504﹣504+56＝4088种选法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
18．（13分）已知（1+2x）n的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求（1+2x）n（1﹣x）2的展开式中x2的系数．
【分析】（Ⅰ）求出展开式的第2，项，第3项，第4项的二项式系数，然后根据已知建立方程即可求解；（Ⅱ）根据二项式定理求出含x2的项，由此即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）展开式的第2项，第3项，第4项的二项式系数分别为：C，
所以2C，解得n＝7，
所以n的值为7；
（Ⅱ）（1+2x）7（1﹣x）2的展开式中含x2的项为C+C+C＝57x2，
所以x2的系数为57．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，a]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）求导后，令f′（x）＝0，得x＝﹣1或x＝3，再列表，由表格可得结果；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，再分0＜a≤3和a＞3两种情况求出a的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3），
令f′（x）＝0，得x＝﹣1或x＝3，
当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：
所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
所以当0＜a≤3时，f（x）在[0，a]上单调递减，所以f（x）min＝f（a）＝a3﹣3a2﹣9a+2；
当a＞3时，f（x）在[0，3]上单调递减，在（3，a]上单调递增，所以f（x）min＝f（3）＝﹣25．
综上，当0＜a≤3时，f（x）min＝a3﹣3a2﹣9a+2；当a＞3时，f（x）min＝﹣25．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了分类讨论思想，属中低档题．
20．（13分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）＝8，得k＝40，进而得到．建造费用为C1（x）＝6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（II）方法一：由（I）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
方法二：根据f（x）＝＝，直接利用基本不等式求出f（x）的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．
再由C（0）＝8，得k＝40，因此．
而建造费用为C1（x）＝6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ）方法一：，令f'（x）＝0，即．
解得x＝5，（舍去）．
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，
故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
方法二：由（Ⅰ）知，f（x）＝，
所以f（x）＝＝﹣10＝70，
当且仅当，即x＝5时取等号，
所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
21．（14分）已知函数f（x）＝xea﹣x+ex．
（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．
【分析】（I）求出f′（2），f（2），再利用直线的点斜式方程求出切线方程；
（II）求出f′（x），转化为f′（x）≥0在R上恒成立，构造函数g（x）＝1﹣x+ex﹣a+1（x∈R），求出g（x）在x＝a﹣1取得最小值，要使f′（x）≥0，则g（x）≥0在R上恒成立，令3﹣a≥0可得答案．
【解答】解：（I）∵a＝2，∴f（x）＝xe2﹣x+ex，∴f′（x）＝e2﹣x（1﹣x）+e，
∴k＝f′（2）＝1﹣2+e＝e﹣1，
f（2）＝2e2﹣2+2e＝2+2e，
∴y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣2﹣2e＝（e﹣1）（x﹣2），
即（e﹣1）x+4﹣y＝0．
（II）由题意f′（x）＝ea﹣x﹣xea﹣x+e＝（1﹣x+ex﹣a+1）ea﹣x，
若函数y＝f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0，
因为ea﹣x＞0，即1﹣x+ex﹣a+1≥0在R上恒成立，
令g（x）＝1﹣x+ex﹣a+1（x∈R），g′（x）＝﹣1+ex﹣a+1，
令g′（x）＝0，得x＝a﹣1，
故当x∈（a﹣1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（﹣∞，a﹣1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
故g（x）在x＝a﹣1取得最小值，且g（a﹣1）＝1﹣a+1+e0＝3﹣a，
要使f′（x）≥0，则g（x）≥0在R上恒成立，
所以3﹣a≥0，即a≤3，
故实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
【点评】本题考査了导数的几何意义和有单调性求参数范围的问题，解题的关键点是转化为导函数恒大于等于零，再构造函数求最值的问题，考查了学生发现问题、解决问题的能力，属于难题．
22．（15分）设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）ex，其中a∈R．
（Ⅰ）当a≤0时，证明：函数f（x）没有极值点；
（Ⅱ）当a＞时，试判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）求出导函数f′（x），根据a≤0及x＞0可得f′（x）＞0，从而判断单调性即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令h（x）＝1﹣ax2ex（x＞0），则h'（x）＝﹣axex（x+2）（x＞0），由，可得h'（x）＜0，进而有h（x）在（0，+∞）上单调递减，根据函数零点存在定理可得∃x0∈（0，1），使h（x0）＝0，从而有f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，再利用函数零点存在定理即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为，
所以当a⩽0时，1﹣ax2ex＞0，从而f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）没有极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令h（x）＝1﹣ax2ex（x＞0），则h'（x）＝﹣axex（x+2）（x＞0），
因为，所以h'（x）＜0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（1）＝1﹣ae＜0，当x→0+时，h（x）→1，
所以∃x0∈（0，1），使h（x0）＝0，
所以当x∈（0，x0）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）在（x0，+∞）上单调递减，
所以f（x0）为函数f（x）的极大值，
又f（x0）＞f（1）＝0，当x→0+时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，
所以∃x1∈（0，x0），使f（x1）＝0；∃x2∈（x0，+∞），使f（x2）＝0．
所以当时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
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f（x）
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f′（x）
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g（x）
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4
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g′（x）
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x
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2
3
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f（x）
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f′（x）
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g（x）
3
1
4
2
g′（x）
2
4
1
3
x
（﹣∞，﹣1）
﹣1
（﹣1，3）
3
（3，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
极大
↘
极小
↗