2020-2021学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在复平面内，复数z＝i（i+2）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（ ）
A．B．13C．D．19
3．（4分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．（4分）四边形ABCD满足，，则该四边形的形状是（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
5．（4分）已知向量，其中m∈R，则“m＝1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（4分）某数学兴趣小组在数学实践活动中，欲测量本校校园国旗旗杆的高度，该小组在操场的A点处测得旗杆顶端的仰角为30°，从A点向旗杆底部端点的方向前进了30m后到达B点，此时测得旗杆顶点的仰角为45°，则该小组所测旗杆的高度为（ ）（所测旗杆台阶高度及测量设备高度等忽略不计）
A．B．C．D．
7．（4分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A．﹣4B．C．4D．
8．（4分）平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，点E满足，若，λ，μ∈R，则λ+μ＝（ ）
A．0B．C．D．
9．（4分）关于函数f（x）＝1+csx，的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当t＜0或t≥2，有0个交点
B．当t＝0或时，有1个交点
C．当，有2个交点
D．当0＜t＜2时，有2个交点
10．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a﹣b＝﹣，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
二、填空题（每题5分）
11．（5分）sin的值为 ．
12．（5分）复数z满足|z|＝5，则符合条件的一个复数为 ．
13．（5分）在△ABC中，AC＝1，BC＝3，A+B＝60°，则AB＝ ．
14．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝ ．
15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠C＝2∠A，a+c＝5，，则csA＝ ，a＝ ．
三、解答题
16．（14分）已知复数z1＝x﹣1+yi，z2＝1+（4﹣y）i，x、y∈R．
（1）若z1＝z2，求|z1+1|；
（2）若x＝y＝3，计算．
17．（14分）已知，．
（1）当x为何值时，；
（2）当x＝3时，求与的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时的坐标．
18．（14分）在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）c的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：ab＝2；
条件②：asinB＝6．
19．（15分）已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值及相应的x值．
20．（14分）已知函数．
（1）求的值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象与函数y＝cs2x的图象重合，求实数m的最小值；
（3）若时，f（x）的最小值为﹣1，求θ的最大值．
21．（14分）对于集合A，定义函数fA（x）＝
对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}．
（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出fA（1）与fB（1）的值，并求出A*B；
（2）证明：fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；
（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．
2020-2021学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分）
1．（4分）在复平面内，复数z＝i（i+2）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的对应的点的坐标得答案．
【解答】解：由z＝i（i+2）＝﹣i2+2i＝﹣1+2i，
可得复数z＝i（i+2）对应的点的坐标为（﹣1，2），位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（ ）
A．B．13C．D．19
【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用|+|2＝||2+||2+2，即可求出答案．
【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，
∴＝||•||cs60°＝2×3×＝3，
∴|+|2＝||2+||2+2＝4+9+2×3＝19，
∴|+|＝，
故选：C．
【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．
3．（4分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【分析】由题意利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．（4分）四边形ABCD满足，，则该四边形的形状是（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
【分析】根据向量相等得到四边形是平行四边形，利用数量积等于0，得对角线互相垂直即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴||＝||，且∥，即四边形ABCD是平行四边形，
∵＝0，
∴⊥，即AC⊥BD，
即平行四边形的对角线互相垂直，
则四边形ABCD为菱形，
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量的应用，根据向量相等以及向量数量积的性质是解决本题的关键．
5．（4分）已知向量，其中m∈R，则“m＝1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】“m＝1”⇒“”；“”⇒“m＝1或m＝﹣3”．
【解答】解：∵向量，其中m∈R，
∴m＝1时，＝（1，1），＝（﹣3，3），
＝﹣3+3＝0，
∴“m＝1”⇒“”；
∵向量，其中m∈R，
∴＝（﹣3，m+2），
∵，∴•（）＝﹣3+m2+2m＝0，
解得m＝﹣3或m＝1，
∴“”⇒“m＝1或m＝﹣3”．
∴“m＝1”是“”的充分而不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（4分）某数学兴趣小组在数学实践活动中，欲测量本校校园国旗旗杆的高度，该小组在操场的A点处测得旗杆顶端的仰角为30°，从A点向旗杆底部端点的方向前进了30m后到达B点，此时测得旗杆顶点的仰角为45°，则该小组所测旗杆的高度为（ ）（所测旗杆台阶高度及测量设备高度等忽略不计）
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用正弦定理求出AD，再根据直角三角形的边角关系求出旗杆的高度CD．
【解答】解：如图所示，
△ABD中，∠A＝30°，∠ABD＝180°﹣45°＝135°，AB＝30m，
所以∠ADB＝180°﹣30°﹣135°＝15°，
由正弦定理得，＝，
AD＝＝＝，
Rt△ACD中，∠A＝30°，所以CD＝AD＝＝15（+1）＝15+15，
即测得旗杆的高度为（15+15）m．
故选：A．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
7．（4分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A．﹣4B．C．4D．
【分析】由题意可得 z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得z的虚部．
【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，
故z的虚部等于，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
8．（4分）平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，点E满足，若，λ，μ∈R，则λ+μ＝（ ）
A．0B．C．D．
【分析】根据图形，利用平面向量基本定理求解．
【解答】解：如图所示，
由图可知＝+＝+＝+（）＝+（）＝+，
∴，μ＝，
∴λ+μ＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面向量基本定理，考查了向量的基本运算，是基础题．
9．（4分）关于函数f（x）＝1+csx，的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当t＜0或t≥2，有0个交点
B．当t＝0或时，有1个交点
C．当，有2个交点
D．当0＜t＜2时，有2个交点
【分析】首先利用函数的关系式在坐标系内画出函数的图象，进一步利用函数y＝t中t的取值确定A、B、C、D的结论．
【解答】解：函数f（x）＝1+csx，的图象．
如图所示：
根据函数的图象：对于A，当t＝2时，有1个交点，故A错误；
对于B：当t＝0或时，有1个交点，故B正确；
对于C：当，有2个交点，故C错误；
对于D：当0＜t＜时，有2个交点，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a﹣b＝﹣，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【分析】由正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式化简已知等式可得sin2A＝sin2B，进而可求A＝B或A+B＝，即可得解三角形的形状．
【解答】解：因为a﹣b＝﹣，可得a﹣b＝﹣，
所以由正弦定理可得sinA﹣sinB＝﹣＝csB﹣csA，
所以sinA+csA＝sinB+csB，两边平方，得1+2sinAcsA＝1+2sinBcsB，即sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，
所以△ABC的形状为等腰或直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
二、填空题（每题5分）
11．（5分）sin的值为 ﹣．
【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
12．（5分）复数z满足|z|＝5，则符合条件的一个复数为 3+4i（答案不唯一） ．
【分析】根据模的计算公式即可得出．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），
复数z满足|z|＝5＝，
则符合条件的一个复数＝3+4i，
故答案为：3+4i（答案不唯一）．
【点评】本题考查了模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．（5分）在△ABC中，AC＝1，BC＝3，A+B＝60°，则AB＝．
【分析】由已知利用三角形内角和定理可求C，根据余弦定理即可得解AB的值．
【解答】解：∵AC＝1，BC＝3，A+B＝60°，
∴C＝120°，
∴由余弦定理可得：AB2＝32+12﹣2×1×3×cs120°＝13，
∴解得：AB＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
14．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝ 2 ．
【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 ＝0，
故 ＝（ ）•（）＝（）•（）＝﹣+﹣＝4+0﹣0﹣＝2，
故答案为 2．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．
15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠C＝2∠A，a+c＝5，，则csA＝，a＝ 2 ．
【分析】由已知结合二倍角公式可求csA，然后结合已知及正弦定理可求a．
【解答】解：由题意得cs2A＝csC＝，
所以2cs2A﹣1＝，
由C＝2A得A为锐角，
所以csA＝，
＝＝＝，
因为a+c＝5，
所以a＝2，c＝3，
故答案为：，2．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及正弦定理的应用，属于基础题．
三、解答题
16．（14分）已知复数z1＝x﹣1+yi，z2＝1+（4﹣y）i，x、y∈R．
（1）若z1＝z2，求|z1+1|；
（2）若x＝y＝3，计算．
【分析】（1）利用复数相等的条件列式求得x，y值，得到z1，再由复数模的计算公式求|z1+1|；
（2）由已知x，y的值可得z1、z2，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1）∵z1＝x﹣1+yi，z2＝1+（4﹣y）i，
由z1＝z2，得，解得，
∴；
（2）若x＝y＝3，则z1＝2+3i，z2＝1+i，
∴，z1+z2＝2+3i+1+i＝3+4i，
∴＝＝．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数相等的条件，复数模的求法，是基础题．
17．（14分）已知，．
（1）当x为何值时，；
（2）当x＝3时，求与的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时的坐标．
【分析】（1）若，则可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值；
（2）x＝3时，，然后即可根据向量夹角的余弦公式求出，然后即可得出与的夹角；
（3）可得出，然后可得出，从而可求出的最小值以及此时的坐标．
【解答】解：（1）若，则，解得x＝﹣2，
∴x＝﹣2时，；
（2）x＝3时，，且，
∴＝，且，
∴与的夹角为；
（3），
∴，
∴x＝2时，取最小值3，此时．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘向量和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
18．（14分）在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）c的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：ab＝2；
条件②：asinB＝6．
【分析】结合正弦定理和sinB＝sinC，知b＝c，
选择条件①：（Ⅰ）用c表示a，再由余弦定理，可得关于c的方程，解之即可；
（Ⅱ）由S＝bc•sinA，得解．
选择条件②：（Ⅰ）由正弦定理知，bsinA＝asinB＝6，再由b＝c，得解；
（Ⅱ）由S＝bc•sinA，得解．
【解答】解：由正弦定理知，＝，
∵sinB＝sinC，∴b＝c，
选择条件①：
（Ⅰ）∵ab＝2，∴a＝＝＝，
由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•csA，
∴（）2＝（c）2+c2﹣2•c•c•cs30°，
化简得，c4＝4，
∵c＞0，∴c＝．
（Ⅱ）b＝c＝，
∴△ABC的面积S＝bc•sinA＝××sin30°＝．
选择条件②：
（Ⅰ）由正弦定理知，＝＝，
∴bsinA＝asinB＝6，
∴b＝＝12，
∵b＝c，∴c＝＝4．
（Ⅱ）△ABC的面积S＝bc•sinA＝×12×4sin30°＝12．
【点评】本题考查解三角形，涉及角化边的思想，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19．（15分）已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值及相应的x值．
【分析】（1）利用“五点法”列表，然后作出一个周期的图象即可；
（2）利用整体代换以及正弦函数的单调递增区间进行求解即可；
（3）由x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求解最值即可．
【解答】解：（1）分别令，可得
画出函数f（x）在一个周期上的图象如图所示：
（2）令，
解得，
所以函数f（x）的单调递增区间为；
（3）因为，所以，
所以当＝0，即时，f（x）取最小值0，
当＝，即时，f（x）取最大值1．
【点评】本题考查了三角函数图象和性质的运用，主要考查了“五点法”作图的应用，三角函数单调性的应用以及三角函数最值的求解，考查了逻辑推理能力与化简能力，属于基础题．
20．（14分）已知函数．
（1）求的值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象与函数y＝cs2x的图象重合，求实数m的最小值；
（3）若时，f（x）的最小值为﹣1，求θ的最大值．
【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得f（）的值．
（2）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得m的最小值．
（3）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得θ的最大值．
【解答】解：（1）函数
＝﹣cs2x+cs2xcs+sin2xsin
＝sin2x﹣cs2x＝sin（2x﹣），
＝sin＝．
（2）将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，
所得函数图象y＝sin（2x+2m﹣）与函数y＝cs2x的图象重合，
∴2m﹣＝kπ+，k∈Z，求实数m的最小值为．
（3）x∈[θ，]时，2x﹣∈[2θ﹣，]，由于 f（x）的最小值为﹣1，
故2θ﹣ 能取到﹣，即2θ﹣≤﹣，∴θ≤﹣，故θ的最大值为﹣．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
21．（14分）对于集合A，定义函数fA（x）＝
对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}．
（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出fA（1）与fB（1）的值，并求出A*B；
（2）证明：fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；
（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．
【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA（1）与fB（1）的值，再分情况求出A*B；
（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；
（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．
【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，
∴fA（1）＝﹣1，fB（1）＝1，
∴A*B＝{1，4，5}；
（2）①当x∈A且x∈B时，fA（x）＝fB（x）＝﹣1，
所以x∉A*B．所以fA*B（x）＝1，
所以fA*B（x）＝fA（x）•fB（x），
②当x∈A且x∉B时，fA（x）＝﹣1，fB（x）＝1，
所以x∈A*B．所以fA*B（x）＝﹣1，
所以fA*B（x）＝fA（x）•fB（x），
③当x∉A且x∈B时，fA（x）＝1，fB（x）＝﹣1．
所以x∈A*B．所以fA*B（x）＝﹣1．
所以fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）．
④当x∉A且x∉B时，fA（x）＝fB（x）＝1．
所以x∉A*B．所以fA*B（x）＝1．
所以fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）．
综上，fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；
（3）因为A*B＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}，B*A＝{x|fB（x）•fA（x）＝﹣1}＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}，
所以A*B＝B*A．
因为（A*B）*C＝{x|fA*B（x）•fC（x）＝﹣1}＝{x|fA（x）•fB（x）•fC（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|fA（x）•fB*C（x）＝﹣1}＝{x|fA（x）•fB（x）•fC（x）＝﹣1}，
所以（A*B）*C＝A*（B*C）．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．
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