2020-2021学年北京市海淀区育英学校七年级（下）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2020-2021学年北京市海淀区育英学校七年级（下）期中数学试卷（五四学制），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（ ）
A．北汽新能源B．长城新能源
C．东风新能源D．江淮新能源
2．（3分）计算（﹣）3的结果是（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2•x2＝x3C．x9÷x3＝x3D．（x3）2＝x6
4．（3分）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠BDC＝∠CEBD．BE＝CD
5．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C．m（a+b）＝ma+mbD．（a+2）2＝a2+4a+4
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
10．（3分）已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN＝QM，则满足条件的点N的个数为（ ）
A．1个B．2个C．1或2个D．无数个
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：a3﹣9a＝ ．
12．（3分）计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝ ．
13．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 ．
14．（3分）若等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角的度数为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，则BC＝ ．
16．（3分）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 ．
18．（3分）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．
杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．
（1）当n＝4时，（a+b）4的展开式中第3项的系数是 ；
（2）人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么（a+b）7的展开式中各项的系数的和为 ．
三、解答题（本大题共46分，第19题8分，每个小题各4分，20～22题每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题6分）
19．（8分）（1）计算：（3﹣π）0﹣38÷36+（）﹣1；
（2）因式分解：3x2﹣12y2．
20．（5分）如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．
21．（5分）已知2a2+3a﹣4＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
22．（5分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标．
23．（6分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．
24．（5分）阅读图中的材料：
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
25．（6分）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）在α（0°＜α＜60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
26．（6分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
2020-2021学年北京市海淀区育英学校七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（ ）
A．北汽新能源B．长城新能源
C．东风新能源D．江淮新能源
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（3分）计算（﹣）3的结果是（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．
【分析】原式分子分母分别乘方即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣，
故选：A．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2•x2＝x3C．x9÷x3＝x3D．（x3）2＝x6
【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方以及整式的加减的计算方法逐项进行判断即可．
【解答】解：由于x与x2不是同类项，因此x+x2不能合并，所以选项A不符合题意；
x2•x2＝x2+2＝x4，因此选项B不符合题意；
x9÷x3＝x9﹣3＝x6，因此选项C不符合题意；
（x3）2＝x3×2＝x6，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方以及合并同类项法则，应用运算性质和计算法则逐项计算是正确判断的前提．
4．（3分）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠BDC＝∠CEBD．BE＝CD
【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
B、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
D、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C．m（a+b）＝ma+mbD．（a+2）2＝a2+4a+4
【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【解答】解：A、x2+3x+2＝（x+1）（x+2），符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
C、m（a+b）＝ma+mb，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
D、（a+2）2＝a2+4a+4，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A＝40°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，
此时点P与点E重合．
所以PA+PB的最小值即为AC的长，为4．
所以PA+PB的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
8．（3分）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
9．（3分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
【分析】由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，△ABC是等边三角形，△OAC是等腰三角形，即可判断选项．
【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠MON＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝30°+60°＝90°．
∴S△AOC＝S△ABC，
∴A，B，C，正确．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
10．（3分）已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN＝QM，则满足条件的点N的个数为（ ）
A．1个B．2个C．1或2个D．无数个
【分析】如图，过点Q作EQ⊥OA于点E，作QF⊥OB于F，由“AAS”可证△OEQ≌△OFQ，可得EQ＝QF，再分类讨论可求解．
【解答】解：如图，过点Q作EQ⊥OA于点E，作QF⊥OB于F，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，且OQ＝QO，∠OEQ＝∠OFQ＝90°，
∴△OEQ≌△OFQ（AAS）
∴EQ＝QF，
若点M与点E重合，则点N与点F重合，此时满足条件的点N的个数为1个，
若点M与点E不重合，则以Q为圆心，MQ为半径作圆，与OB有两个交点N，N'，此时满足条件的点N的个数为2个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝ 8a5 ．
【分析】原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝8a3•a4÷a2＝8a5，
故答案为：8a5
【点评】此题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 （3，4） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．（3分）若等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角的度数为 65°或50° ．
【分析】由等腰三角形的一个内角为50°，可分别从50°的角为底角与50°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为50°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣50°）÷2＝65°，
若这个角为底角，则另一个底角也为50°，
∴其一个底角的度数是65°或50°．
故答案为：65°或50°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，比较简单，注意等边对等角的性质和分类讨论思想的应用．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，则BC＝ 9 ．
【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质求出CD，根据等腰三角形的性质求出BD，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，又∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝6，
∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴BD＝AD＝3，
∴BC＝BD+CD＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16．（3分）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 8a+16 ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：拼成的长方形的面积为（a+4）2﹣a2＝8a+16，
故答案为：8a+16．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 2 ．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝1，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由尺规作图可知，AD为∠CAB的平分线，又∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×4×1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．（3分）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．
杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．
（1）当n＝4时，（a+b）4的展开式中第3项的系数是 6 ；
（2）人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么（a+b）7的展开式中各项的系数的和为 128 ．
【分析】（1）根据“杨辉三角”确定出所求即可；
（2）根据“杨辉三角”推出所求即可．
【解答】解：（1）当n＝4时，（a+b）4的展开式中第3项的系数是6；
（2）人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，当n＝7时，各项系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，
那么（a+b）7的展开式中各项的系数的和为128，
故答案为：（1）6；（2）128
【点评】此题考查了完全平方公式，数学常识，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中的数字规律是解本题的关键．
三、解答题（本大题共46分，第19题8分，每个小题各4分，20～22题每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题6分）
19．（8分）（1）计算：（3﹣π）0﹣38÷36+（）﹣1；
（2）因式分解：3x2﹣12y2．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及同底数幂的除法法则计算即可求出值；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣32+3＝1﹣9+3＝﹣5；
（2）原式＝3（x2﹣4y2）＝3（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（5分）如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠DAC，由“SAS”可证△ADB≌△ADC，可得BD＝CD．
【解答】证明：∵ED∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵ED＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAD＝∠DAC，
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明△ADB≌△ADC是本题的关键．
21．（5分）已知2a2+3a﹣4＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据2a2+3a﹣4＝0，即可得到化简后式子的值．
【解答】解：3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）
＝6a2+3a﹣4a2+1
＝2a2+3a+1，
∵2a2+3a﹣4＝0，
∴2a2+3a＝4，
∴原式＝4+1＝5．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
22．（5分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标．
【分析】（1）依据点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2），即可得到坐标轴的位置；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）依据关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到点A关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系xOy．
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）点A（﹣4，4）关于x轴的对称点的坐标（﹣4，﹣4）．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
23．（6分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．
【分析】（1）根据尺规作图过点C作AB的垂线交AB于点O即可；
（2）根据作图过程即可写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，即可求△ACD的面积．
【解答】解：（1）如图所示：即为所求作的图形；
（2）∵CO是BD的垂直平分线，
∴OD＝OB，
∵∠A＝45°，
∴∠ACO＝45°，
∴OA＝OC＝4.5，
∴OB＝OD＝7.5﹣4.5＝3，
∴D（﹣3，0）；
（3）S△ACD＝×AD•CO＝×＝．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据题意准确画出图形．
24．（5分）阅读图中的材料：
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）先分组，再用公式分解．
（2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣4
＝（x﹣y）2﹣4．
＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
∴x2﹣2xy+y2﹣4＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0．
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．
∴a＝b或a＝c．
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
25．（6分）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）在α（0°＜α＜60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，证△CBF≌△CAE，再证△CFE是等边三角形，可推出∠CEF＝60°，进一步得出∴∠HED＝∠HEA＝∠CEF＝60°，由外角的性质可求出∠DBC的度数；
（2）由（1）知，∠CEF＝60°，则∠HED＝∠HEA＝∠CEF＝60°，再由平角的定义即可求出∠AEB的大小不发生变化，始终为60°；
（3）证明∴BF＝AE＝ED，由（1）知，△CFE是等边三角形，所以CE＝EF，即可推出结论2AE+CE＝BD．
【解答】解：（1）如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB﹣∠ACF＝∠FCE﹣∠ACF，
即∠BCF＝∠ACE，
∵点A与点D关于PC对称，
∴PC垂直平分AD，
则EA＝ED，CA＝CD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD﹣∠EAD＝∠CDA﹣∠EDA，
即∠CAE＝∠CDE，
∵BC＝AC＝CD，
∴∠CBF＝∠CDE，
∴∠CBF＝∠CAE，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF＝CE，
又∵∠FCE＝60°，
∴△CFE是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，
∴∠HED＝∠HEA＝∠CEF＝60°，
∵∠CAE+∠ECA＝∠HEA，
∴∠CAE＝60°﹣∠ECA＝60°﹣α，
即∠DBC＝60°﹣α；
（2）在α（0°＜α＜60°）的变化过程中，∠AEB的大小不发生变化，∠AEB＝60°，理由如下：
由（1）知，∠CEF＝60°，
∴∠HED＝∠HEA＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠HEA﹣∠HED＝60°，
∴∠AEB的大小不发生变化，∠AEB＝60°；
（3）2AE+CE＝BD，理由如下：
由（1）知，△CBF≌△CAE，
∴BF＝AE，
又由（1）知，AE＝ED，
∴BF＝AE＝ED，
由（1）知，△CFE是等边三角形，
∴CE＝EF，
∵BF+EF+ED＝BD，
∴2AE+CE＝BD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称变换，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是能够结合图形的变换作出合适的辅助线，构造全等三角形等．
26．（6分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C 是 △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB 不是 △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
【分析】（1）①由新定义“△ABC关于点P的等距线段”即可得出答案；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，由垂线段最短即可得出答案：
（2）以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，则PD'＝PC＝PD＝1，得出CD'＝PC+PD'＝2；证出△PCD是等边三角形，得出CD＝PC＝1即可；
（3）分别求出当PC＝BC＝a时、当PC＝BC＝a时，△ABC关于点P的等距点，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵点P是BC的中点，
∴PB＝PC，
∴点B，C是△ABC关于点P的等距点；
∵AB＝AC，
∴PA⊥BC，PA≠PB，
∴线段PA，PB不是△ABC关于点P的等距线段；
故答案为：是，不是；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，连接PA，如图1﹣1所示：
∵AB＝AC，点P是BC的中点，
∴PA平分∠BAC，
∴PM1＝PM2；
由垂线段最短可知：PM1，PM2是△ABC关于点P等距线段最短的线段；
（2）如图1﹣2，以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，
则PD'＝PC＝PD＝1，
∴CD'＝PC+PD'＝2；
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，
∴△PCD是等边三角形，
∴CD＝PC＝1；
即线段DC的长为2或1；
（3）当PC＝BC＝a时，
当P为BC的中点，则PB＝PC，
∴B、C是，△ABC关于点P的等距点，
作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，连接PF，如图2所示：
则PF＝PB＝a，
∵∠B＝30°，
∴PE＝BP＝a，
∴AB边上存在2个△ABC关于点P的等距点，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＜BC，即PC＜；
当PC＝BC＝a时，PB＝a，PE＝BP＝a，
则△ABC关于点P的等距点有2个在BC上，有1个在AB上，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＞BC，
∴PC长的取值范围是＜PC＜．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“△ABC关于点P的等距线段”，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、圆的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和直角三角形的性质，理解新定义“△ABC关于点P的等距线段”是解题的关键．
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