高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 第1章 1.1.1 空间向量及其运算 同步练习 (2) (3)

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人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其运算一、单选题1．已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=3 ， AA1=1 ，则直线 A1C 和 BC1 所成的角的余弦值为（　　） A．77 B．277 C．427 D．672．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则D1B→=（　　）A．a→+b→-c→ B．a→+b→+c→C．a→-b→-c→ D．-a→+b→+c→3．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若AF→=AD→+xAB→+yAA'→，则x﹣y等于（　　）A．0 B．1 C．12 D．-124．直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， △ABC 为等边三角形， AA1=AB ，则 A1C 与 BC1 所成角的余弦值为（　　） A．−14 B．14 C．−36 D．365．已知空间向量a→=（1，n，2），b→=（﹣2，1，2），若2a→﹣b→与b→垂直，则|a→|等于（　　）A．532 B．212 C．372 D．3526．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是(　　)A．105 B．1010 C．13 D．2237．如图， AB 为圆锥底面直径，点 C 是底面圆 O 上异于 A,B 的动点，已知 OA=3 ，圆锥侧面展开图是圆心角为 3π 的扇形，当 PB 与 BC 所成角为 π3 时， PB 与 AC 所成角为（　　） A．π3 B．π6 C．π4 D．5π68．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为（　　）A．13 B．23 C．33 D．239．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（　　） A．64 B．63 C．26 D．3610．已知正方形 ABCD 的中心为 O ，且边长为1，则 (OC−OB)⋅(AB+AD)= （　　） A．-1 B．−2 C．1 D．2二、填空题11．如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，用 AC ， AB1 ， AD1 作为基向量，则 AC1 =　 　.12．若 A(−1,2,3),B(2,−4,1),C(x，−1，−3) 是 BC 为斜边的直角三角形的三个顶点,则 x=　 　.13．已知 a=(5,3,1) ， b=(−2,t,−25) .若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围是　 　. 14．在正四面体O－ABC中， OA=a,OB=b,OC=c ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 OE ＝　 　(用 a,b,c 表示)． 15．已知向量 a=(2,−1,3) ， b=(−4,y,2) ，且 a⊥(a+b) ，则 y 的值为　 　．三、解答题16．如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， BE⊥EC1 ． （1）证明： BE⊥ 平面 EB1C1 ； （2）若 AE=A1E ， AD=1 ，求二面角 B−EC−C1 的余弦值． 17．如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，以 A1D1DA 为轴截面有一半圆柱 OO1 ，点 E 为圆弧 AD 的中点. （1）证明：平面 A1ED// 平面 AB1C . （2）求二面角 E−AD1−C 的正弦值. 18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，E是棱DD1的中点 （1）求三棱锥E﹣A1B1B的体积； （2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其运算参考答案与试题解析一．选择题1.【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离【解答】如图，以 D 点为原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，因为正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=3 ， AA1=1 ，所以 A1(3,0,1),C(0,3,0),B(3,3,0),C1(0,3,1)所以 A1C=(−3,3,−1),BC1=(−3,0,1)所以 cos〈A1C,BC1〉=3−17⋅2=77 ，所以直线 A1C 和 BC1 所成的角的余弦值为 77故答案为：A2.【考点】空间向量的加减法【解答】故选C．3.【考点】空间向量的基本定理及其意义【解答】由向量的运算法则可得==又故x=12，y=12，所以x﹣y=0故选A.4.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解答】取 BC 的中点O，以 OB 为x轴， OA 为y轴，过O作与 AA1 平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，不妨设 AB=2 ，则 A1(0,3,2),C(−1,0,0),B(1,0,0),C1(−1,0,2) ，所以 A1C=(−1,−3,−2),BC1=(−2,0,2) ，设 A1C 与 BC1 所成角的 θ ，则 cosθ=|A1C⋅BC1||A1C|⋅|BC1|=222×22=14 .故答案为：B5.【考点】空间向量的数量积运算【解答】解：∵a→=（1，n，2），b→=（﹣2，1，2），∴2a→﹣b→=（4，2n﹣1，2），∵2a→﹣b→与b→垂直，∴（2a→﹣b→）•b→=0，∴﹣8+2n﹣1+4=0，解得，n=52，∴∴．故选D．6.【考点】异面直线及其所成的角【解答】在正方体中，设边长为，那么.又因为，那么异面直线与所成的角的余弦值为.故选C.7.【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；异面直线及其所成的角【解答】设圆锥母线长为 l ，则 l⋅3π=23π ，解得 l=2 ， ∵PB=PC ， ∴PB 与 BC 所成角 ∠PBC=π3 ，∴BC=2 ， ∴RtΔABC 中 AC=22 ，作 BD∥AC 与圆 O 交于点 D ，连接 AD ，四边形 ABCD 为平行四边形， BD=AC=22 ，连接 PD ，则 ∠PBD 为 PB 与 AC 所成角，ΔPBD 中 PD=PB=2 ，可得 PD⊥PB ，∴∠PBD=π4 。故答案为：C.8.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解答】令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1，0)，D(－1，－1, 0)，S(0, 0，)，E，，∴cos＜＞＝，∴AE、SD所成的角的余弦值为。故选C。9.【考点】异面直线及其所成的角【解答】解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC ∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45°∴C1D= 2 ，B1C= 233 ，BC= 33 ，CD=1则AC= 233∵C1D∥B1A∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角由余弦定理可得cos∠AB1C= 64故选A10.【考点】向量的三角形法则；平面向量数量积的运算【解答】在正方形 ABCD ,有 AC=2 , ∴(OC−OB)⋅(AB+AD)=BC⋅AC=AD⋅AC=|AD|⋅|AC|⋅cosπ4=1 ,故答案为：C.二．填空题11.【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法【解答】 2AC1=2AA1+2AD+2AB=(AA1+AD)+(AA1+AB)+(AD+AB)=AD1+AB1+AC ，所以 AC1=12(AD1+AB1+AC) .故答案为12(AC1+AB1+AC)12.【考点】空间向量的概念；空间向量的加减法【解答】由题意可得 AB=(3,−6,−2) ，即 |AB|=9+36+4=7 ，AC=(x+1,−3,−6) ，即 |AC|=(x+1)2+45 ，BC=(x−2,3,−4) ，即 |BC|=(x−2)2+25 ，由勾股定理可得： |AB|2+|AC|2=|BC|2 ，即 49+(x+1)2+45=(x−2)2+25 ，求解关于实数 x 的方程可得： x=−11 .13.【考点】空间向量的数量积运算【解答】因为 a=(5,3,1) ， b=(−2,t,−25) ， 所以 a⋅b=5×(−2)+3t+1×(−25)=3t−525 ，因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 a⋅b