数学选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理课时训练

这是一份数学选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理课时训练，共8页。
1．在三棱锥 A−BCD 中， E 是 CD 的中点，且 BF=2FE ，则 AF= （ ）
A．12AB+12AC+12ADB．−12AB+12AC+12AD
C．13AB+13AC+13ADD．−13AB+13AC+13AD
2．已知向量 {a,b,c} 是空间的一个基底，向量 {a+b,a−b,c} 是空间的另一个基底，一向量p在基底 {a,b,c} 下的坐标为 (1,2,3) ，则向量p在基底 {a+b,a−b,c} 下的坐标为（ ）
A．(12,32,3)B．(32,−12,3)C．(3,−12,32)D．(−12,32,3)
3．已知空间四点 A(1,3,4) ， B(3,1,2) ， C(7,−5,3) ， D(−1,3,z) 共面，则 z 的值为（ ）
A．1B．3C．11D．5
4．在下列命题中：①若向量a→,b→共线，则向量a→,b→所在直线平行 ②若三个向量a→,b→,c→两两共面，则a→,b→,c→共面；③已知空间的三个向量a→,b→,c→，则对空间的任意一个向量p→总存在实数x,y,z使得p→=xa→+yb→+zc→。其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．已知点P为三棱锥O﹣ABC的底面ABC所在平面内的一点，且OP→=12OA→+KOB→-OC→，则实数k的值为（ ）
A．-12B．12C．1D．32
6．如图:在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中， M 为 A1C1,B1D1 的交点.若 AB=a ， AD=b ， AA1=c ，则向量 BM= （ ）
A．−12a+12b+cB．12a+12b+c
C．−12a−12b+cD．12a−12b+c
7．已知向量a→，b→，c→，是空间的一个单位正交基底，若向量p→在基底a→，b→，c→下的坐标为（2，1，3），那么向量p→在基底a→+b→，a→-b→，c→下的坐标为（ ）
A．−32,12,3B．−32,52,3C．(32,12,3)D．52,−12,3
8．（理）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：
①SA + SB + SC + SD = 0 ；
②SA + SB ﹣ SC ﹣ SD = 0 ；
③SA ﹣ SB + SC ﹣ SD = 0 ；
④SA • SB = SC • SD ；
⑤SA • SC =0，
其中正确结论是（ ）
A．①②③B．④⑤C．②④D．③④
9．若 {e1,e2,e3} 是空间的一个基底， a=e1+e2+e3 ， b=e1+e2−e3 ， c=e1−e2+e3 ， d=e1+2e2+3e3 ， d=xa+yb+zc ，则x，y，z的值分别为（ ）
A．52 ，-1，- 12B．52 ,1， 12
C．- 52 ，1，- 12D．52 ，1，- 12
10．在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，若AC'→=xAB→+2yBC→+3zC'C→，则x+y+z等于（ ）
A．116B．76C．56D．23
二、填空题
11．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是 .
12．已知向量 a=(1,2,−2) ，则向量 a 的单位向量 a0= ．
13．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP→=14OA→+23OB→+λOC→确定的点P与A，B，C共面，那么λ=
14．已知点M，N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点，P为线段MN的中点，若OP→=λOA→+μOB→+γOC→，则实数λ+μ+γ=
15．已知向量 a,b,c 是空间的一个单位正交基底，向量 a+b,a−b,c 是空间的另一个基底．若向量 m 在基底 a,b,c 下的坐标为（1，2，3），则 m 在基底 a+b,a−b,c 下的坐标为 ．
三、解答题
16．如图，在空间平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若以AC→，AB1→，AD1→为空间的一个基底，用这个基底表示AC1→．
17．如图，已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，化简AC'→+D'B→﹣DC→．
18．平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 60° .
（1）求 AC1 的长；
（2）求异面直线 BD1 与 AC 夹角的余弦值.
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.2 空间向量基本定理
参考答案与试题解析
选择题
1.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】 AF=AB+BF=AB+23BE=AB+13(BC+BD)=AB+13(AC+AD−2AB)=13AB+13AC+13AD
故答案为:C.
2.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】设p在基底 {a+b,a−b,c} 下的坐标为 {x,y,z} ，
则 p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a−b)+zc=(x+y)a+(x−y)b+zc ，
所以 x+y=1x−y=2z=3 解得 x=32y=−12z=3
故p在基底 {a+b,a−b,c} 下的坐标为 (32,−12,3) .
故选B
3.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】由于 A(1,3,4) ， B(3,1,2) ， C(7,−5,3) ， D(−1,3,z) ，
所以 AB=(2,−2,−2) , BC=(−4,−6,1) , CD=(−8,8,z−3) ，
而空间四点 A(1,3,4) ， B(3,1,2) ， C(7,−5,3) ， D(−1,3,z) 共面，
所以结合空间向量基本定理可知 AB=mBC+nCD(m,n∈R) ，
故 (2,−2,−2)=m(−4,−6,1)+n(−8,8,z−3) ，故 2=−4m−8n−2=−6m+8n−2=m+n(z−3) ，解得 m=0n=−14z=11 。
故答案为：C
4.【考点】空间向量的基本定理及其意义；共线向量与共面向量
【解答】对于命题①若向量共线，则向量所在直线平行或重合，不正确；对于命题②举反例：当向量所在直线为棱锥顶点引出的三条棱，则不共面，不正确；对于命题③当空间向量共面时，就满足不了题目中的结论，不正确。故正确的命题个数为0个，
故选A
5.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】∵点P为三棱锥O﹣ABC的底面ABC所在平面内的一点，且OP→=12OA→+KOB→-OC→，
∴12K-1=1，解得k=32．
故选：D．
6.【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法
【解答】由题意可得：
BM=BB1+B1M=BB1+12B1D1=BB1+12(A1D1−A1B1)=c+12(b−a)=−12a+12b+c ，
故答案为：A.
7.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】由题意向量p→=2a→+b→+3c→，设向量p→在基底a→+b→，a→-b→，c→下的坐标为（x，y，z），
∴
所以可得：．
向量p→在基底a→+b→，a→-b→，c→下的坐标为(32,12,3)．
故选C．
8.【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的数量积运算
【解答】解：∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．
∴SA ﹣ SB + SC ﹣ SD = SA+SB+SC+DS = 0 ，故③正确，排除选项B，C；
∵SA • SB =2×2×cs∠ASB， SC • SD =2×2×cs∠CSD，
又∠ASB=∠CSD，
∴SA • SB = SC • SD ，故④正确，排除选项A．
故选：D．
9.【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法
【解答】 d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2−e3)+z(e1−e2+e3)=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3 ，
由空间向量基本定理，得 x+y+z=1x+y−z=2x−y+z=3∴x= 52 ，y=-1，z=- 12 .
10.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】由题意，
∵AC'→=xAB→+2yBC→+3zC'C→
∴x=1，y=12，z=﹣13，
∴x+y+z=1+12﹣13=76．
故选：B．
二．填空题
11.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】∵a−b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b
答案：a⊥b
12.【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量运算的坐标表示
【解答】 ∵a=(1,2,−2) ， ∴|a|=12+22+(−2)2=3 ，
因此，向量 a 的单位向量 a0=a|a|=13a=(13,23,−23) .
故答案为： (13,23,−23) .
13.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】因为A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP→=14OA→+23OB→+λOC→确定的点P与A，B，C，共面，
所以14+23+λ=1，解得λ=112；
故答案为：112．
14.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】如图，连接ON，在△OMN中，点P是MN中点，
则由平行四边形法则得
=
=
∴λ+μ+γ=34，
故答案为：34．
15.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】解：设 π =x（ a + b ）+y（ a ﹣ b ）+z c =（x+y） a +（x﹣y） b +z c = a +2 b +3 c ，
∴x+y=1x−y=2z=3 ，解得x= 32 ，y=﹣ 12 ，z=3，
∴m 在基底 a+b,a−b,c 下的坐标为（ 32 ，﹣v，3）
故答案为： (32,−12,3)
三．解答题
16.【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】解：∵AC→=AB→+AD→，AB1→=AA1→+AB→，AD1→=AD→+AA1→，
∴AC1→=AB→+AD→+AA1→=12(AC→+AB1→+AD1→)
17．【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，延长AB至AE，使得AB=BE，AB→=DC→，D'B→=C'E→，
∴AC'→+D'B→﹣DC→=2AB→﹣DC→=AB→．
故答案为：AB→．
18.【考点】异面直线及其所成的角；空间向量的基本定理及其意义
【解答】（1）解：记 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝ 12 ．
| AC1 |2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2× (12+12+12) ＝6，
∴| AC1 |＝ 6 ，即AC1的长为 6 ．
（2）解： BD1 ＝b＋c－a， AC ＝a＋b，∴| BD1 |＝ 2 ，| AC |＝ 3 ，
BD1 · AC ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cs〈 BD1 ， AC1 〉＝ BD1⋅AC|BD1|⋅|AC| ＝ 66 ．
∴AC与BD1夹角的余弦值为 66 ．