人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系练习

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系练习，共7页。试卷主要包含了【考点】空间向量运算的坐标表示等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB→=（2，﹣1，﹣4），AD→=（4，2，0），AP→=（﹣1，2，﹣1）．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP→是平面ABCD的法向量；④AP→∥BD→．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知点A在基底{a→，b→，c→}下的坐标为（8，6，4），其中a→=i→+j→，b→=j→+k→，c→=k→+i→，则点A在基底{i→，j→，k→}下的坐标为（ ）
A．（12，14，10）B．（10，12，14）
C．（14，10，12）D．（4，2，3）
3．已知向量a→=（x，2，4），b→=（3，y，12），且a→∥b→，则x+y的值为（ ）
A．1B．6C．7D．15
4．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⋅AC≠0 ；
②∠BAC=60°；
③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
5．平面α的法向量为 a ＝(1,2，－2)，平面β的法向量 b ＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为( )
A．－2B．－8C．0D．－6
6．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1B．15C．35D．75
7．若 a =（2，﹣3，1）， b =（2，0，3）， c =（0，2，2），则 a •（ b + c ）=（ ）
A．4B．15C．7D．3
8．已知向量 a=(2, 3, 1) ， b=(1, 2, 0) ，则 |a−b| 等于（ ）
A．1B．3C．3D．9
9．如图，已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为4， P 是 AA1 的中点，点 M 在侧面 AA1B1B 内，若 D1M⊥CP ，则 ΔBCM 面积的最小值为（ ）
A．8B．4C．82D．855
10．若向量a→=（﹣1，0，1），向量b→=（2，0，k），且满足向量a→∥b→，则k等于（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
二、填空题
11．已知 a=(2,1,3) ， b=(−4,2,x) ，且 a⊥b ，则 |a−b|= .
12．已知点A（4，1，3），B（6，3，2），且 AC=3AB ，则点C的坐标为 ．
13．在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AA1=2AB ，点 P 是线段 AC1 上一点，记 λ=APAC1 ，当 ∠BPD 为钝角时，实数 λ 的取值范围是 .
14．若l的方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为（1， 12 ，2），且l⊥α，则m= ．
15．已知向量a→=（1，2，3），b→=（﹣1，12，m），且a→⊥b→，则m= ．
三、解答题
16．已知平行四边形 ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ， ∠DAB=60∘ ，点E是线段 BC 的中点.
（1）求 AC⋅AE 的值；
（2）若 AF=AE+λAD ，且 BD⊥AF ，求 λ 的值.
17．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1，求 MN 、 DC 的坐标．
18．已知向量 a=(1,−1) ，向量 b 为单位向量，向量 a 与 b 的夹角为 θ .
（1）若向量 a 与向量 b 共线，求 a·b ；
（2）若 a−3b 与 a 垂直，求 cs2θ .
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解 : ∵AB→=（2，﹣1，﹣4），AD→=（4，2，0），AP→=（﹣1，2，﹣1）．
，∴①正确；
，∴②正确；
③由②可知：AP→是平面ABCD的法向量，因此正确；
④，无解，
∴AP→∥BD→不正确；
综上可得：①②③正确．
故选：C．
2.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】∵8a→+6b→+4c→=8（i→+j→）+6（j→+k→）+4（k→+i→）
=12i→+14j→+10k→，
∴点A在{{i→，j→，k→}下的坐标为（12，14，10）．
故选A．
3.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵a→∥b→，
∴存在实数λ使得．a→=λb→，
∴3=xλy=2λ12=4λ，解得x=1，y=6．
∴x+y=7．
故选：C．
4.【考点】棱锥的结构特征；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：BD⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；
AB=AC=BC，②对；
DA=DB=DC，结合②，③对④错．
故选B．
5.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】因为 α,β 共线，故存在实数 λ 使得 β=λα ，故 λ=−2 ，所以 ℎ=−4,k=4 ， ℎ+k=0 ，
故答案为：C．
6.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】由 a,b 的坐标可得 ka+b=(k−1,k,2) ， 2a+b=(3,2,−2) ，两向量互相垂直则 a·b=0 ，即 3×(k−1)+2×k−2×2=0 ，解得 k=75 ．
故答案为：D
7.【考点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解答】解：∵b =（2，0，3）， c =（0，2，2），
∴b + c =（2，2，5），
∴a •（ b + c ）=2×2+（﹣3）×2+1×5=3，
故选D．
8.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】由题 a−b=(1,1,1) ,故 |a−b|=12+12+12=3 .
故答案为：B
9.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】解：以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则P（0，0，2），C（4，4，0），D1（0，4，4），
设M（a，0，b），则 D1M= （a，﹣4，b﹣4）， CP= （﹣4，﹣4，2），
∵D1M⊥CP，∴D1M⋅CP=− 4a+16+2b﹣8＝0，即b＝2a﹣4．
取AB的中点N，连结B1N，则M点轨迹为线段B1N，
过B作BQ⊥B1N，则BQ =4×225=455 ．
又BC⊥平面ABB1A1，BC⊥BQ，
∴S△PBC的最小值为S△QBC=12×4×455=855 ．
故答案为： D ．
10.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵向量a→=（﹣1，0，1），向量b→=（2，0，k），
且满足向量a→∥b→，
∴，解得k=﹣2．
故选：D．
二．填空题
11.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】由题,因为 a⊥b ,所以 a⋅b=−8+2+3x=0 ,即 x=2 ,
所以 b=(−4,2,2) ,则 a−b=(6,−1,1) ,
所以 |a−b|=62+(−1)2+1=38 ,
故答案为： 38
12.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】解：设C（a，b，c），则 AC =（a﹣4，b﹣1，c﹣3）， AB =（2，2，﹣1）．
∵AC=3AB ，∴a−4=6b−1=6c−3=−3 ，解得 a=10b=7c=0 ．
故答案为（10，7，0）．
13.【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解答】以 D 为坐标原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 AB=1 ，则 D(0,0,0) ， A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， C1(0,1,2) ，
由 AP=λAC1 得点： P(1−λ,λ,2λ) ， ∴PD=(λ−1,−λ,−2λ) ， PB=(λ,1−λ,−2λ) ， ∵∠BPD 为钝角且 PD 和 PB 不共线， ∴PD⋅PB=6λ2−2λ