高中数学1.2.2 空间中的平面与空间向量达标测试

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1．设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（ ）
A．4∈M，6∉MB．5∉M，6∉MC．4∉M，6∈MD．5∉M，6∈M
2．若平面α，β的法向量分别为＝（﹣1，2，4），＝（x，﹣1，﹣2），且α⊥β，则x的值为（ ）
A．10B．﹣10C．D．
3．已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（3，2，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．“点M在直线a上，a在平面α内”可表示为（ ）
A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a∈αD．M⊂a，a⊂α
5．在空间直角坐标系中，与点A（1，2，3）关于平面xOy对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2，﹣3）B．（﹣1，﹣2，3）C．（﹣1，2，3）D．（1，﹣2，3）
6．若△ABC的边BC上存在一点M（异于B，C），将△ABC沿AM翻折后使得•＝0，则必有（ ）
A．B＜90°B．B≥90°C．C＜90°D．A＜90°
7．设 ＝（﹣2，2，5）、＝（6，﹣4，4）分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．不能确定
8．设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝（ ）
A．2B．﹣4C．4D．﹣2
9．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．CC1与B1E是异面直线
B．直线AC⊥平面ABB1A1
C．直线A1C1与平面AB1E不相交
D．∠B1EB是二面角B1﹣AE﹣B的平面角
10．已知A（0，0，0），B（1，1，1），C（1，2，﹣1），下列四个点中在平面ABC内的点是（ ）
A．（2，3，1）B．（1，﹣1，2）C．（1，2，1）D．（1，0，3）
二．填空题
11．如图，长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD'|＝5，A'C'与B'D'相交于点P，则点P的坐标为 ．
12．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为＝（﹣1，0，5），＝（t，5，1），则t的值为 ．
13．已知点P（3，4，5）在平面xOy上的射影为点M，在平面yOz上的射影为点N，则线段MN的长度等于 ．
14．设平面α与向量垂直，平面β与向量垂直，则平面α与β位置关系是 ．
15．已知平面α的法向量与平面β的法向量垂直，则平面α与平面β的位置关系是 ．
三．解答题
16．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：
（1）点C与平面β： ．
（2）点A与平面α： ．
（3）直线AB与平面α： ．
（4）直线CD与平面α： ．
（5）平面α与平面β： ．
17．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣D的大小．
18．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：平面MND⊥平面PCD；
（2）求点P到平面MND的距离．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.2 空间中的平面与空间向量
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：如图所示，由题意知，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到平面α的距离为d（d＞0），
满足条件的顶点个数为m，则m的所有可能取值为0，1，2，4，6，8．
∴5∉M，6∈M．
故选：D．
2．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【解答】解：∵α⊥β，
∴平面α，β的法向量互相垂直
∴（﹣1，2，4）•（x，﹣1，﹣2）＝0即﹣1×x+（﹣1）×2+4×（﹣2）＝0
解得x＝﹣10
故选：B．
3．【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理．
【解答】解：∵与不共线，
∴可取作此平面的一个基向量．
∵、、三向量共面，∴存在实数λ1，λ2使得．
∴，
解得
故选：C．
4．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：∵点M在直线a上，a在平面α内，
∴M∈a，a⊂α，
故选：B．
5．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：空间直角坐标系中，
点（1，2，3）关于xOy平面对称点的坐标为（1，2，﹣3）．
故选：A．
6．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：只要考虑△ABM翻折180°后，AB能否垂直于CM，
当B≥900时不存在M点，否定B；
当C＜900且B≥90°时，也不存在，否定C；
A＜90°，B≥90°时，就不存在点M否定D．
故选：A．
7．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面的法向量．
【解答】解：＝﹣2×6+2×（﹣4）+5×4＝0
∴⊥
∵＝（﹣2，2，5）、＝（6，﹣4，4）分别是平面α，β的法向量
∴平面α与平面β垂直
故选：B．
8．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面的法向量．
【解答】解：∵α∥β，
∴两平面的法向量平行则（﹣2，﹣4，k）＝λ（1，2，﹣2），
∴﹣2＝λ，k＝﹣2λ，∴k＝4．故选C
9．【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理；空间中直线与平面之间的位置关系．
【解答】解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；
B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；
C不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故不正确；
D正确，因为AE⊥侧面B1C1CB，故∠B1EB是二面角B1﹣AE﹣B的平面角正确．
故选：D．
10．【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理；空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：＝（1，1，1），＝（1，2，﹣1）．
设平面ABC的法向量为＝（x，y，z），
∴，即：，
不妨令x＝3，则y＝﹣2，z＝﹣1，
∴＝（3，﹣2，﹣1）．
∵（3，﹣2，﹣1）•（1，0，3）＝0，
∴在平面ABC内的点是（1，0，3）．
故选：D．
二．填空题
11．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：可知A'（3，0，5），C'（0，4，5），由中点坐标
公式得P的坐标公式，即P．
故答案为：．
12．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【解答】解：∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量与平面β的法向量垂直
∴•＝0即﹣1×t+0×5+5×1＝0
解得t＝5
故答案为：5
13．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：∵点P（3，4，5）在平面xOy上的射影为点M，在平面yOz上的射影为点N，
∴M（3，4，0），N（0，4，5），
∴线段MN的长度|MN|＝＝．
故答案为：．
14．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【解答】解：由题意可知为平面α的一个法向量，为平面β的一个法向量，
∵，，∴＝2，
∴，∴α与β平行或重合，
故答案为：平行或重合．
15．【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理．
【解答】解：两个平面所成的角，等于它们的法向量所成角，或等于它们的法向量所成角的补角．
∵平面α的法向量与平面β的法向量垂直，
∴平面α的法向量与平面β的法向量所成角为直角，
由此可得平面α与平面β的所成角为直角，所以平面α⊥平面β．
故答案为：垂直
三．解答题
16．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：（1）点C不在平面β内：记为C∉β．
（2）点A不在平面α内：记为A∉α．
（3）直线AB不在平面α内：记为AB⊄α．
（4）直线CD在平面α内：记为CD⊂α．
（5）平面α与平面β相交于BD：记为α∩β＝BD．
故答案为：（1）C∉β．（2）A∉α．（3）AB⊄α．（4）CD⊂α．（5）α∩β＝BD．
17．【考点】空间点、线、面的位置；二面角的平面角及求法．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，
∴，AC＝2（1分）
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴，AD＝4（2分）
∴（4分）
则（5分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD（6分）
又AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC（7分）
∵E、F分别为PD、PC中点，
∴EF∥CD（8分）
∴EF⊥平面PAC（9分）
∵EF⊂平面AEF，
∴平面PAC⊥平面AEF（10分）
（Ⅲ）取AD的中点M，连接EM，则EM∥PA，
∴EM⊥平面ACD，过M作MQ⊥AC于Q，
连接EQ，则∠EQM为二面角E﹣AC﹣D的平面角．（12分）
∵M为AD的中点，MQ⊥AC，CD⊥AC，
∴，又，
∴，故∠EQM＝30°
即三面角E﹣AC﹣D的大小为30°（14分）
18．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面与平面垂直；点、线、面间的距离计算．
【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，
如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
M（1，0，0），N（1，1，1），
∴＝（0，1，1），＝（﹣1，1，﹣1），＝（0，2，﹣2）
设＝（x，y，z）是平面MND的一个法向量，
可得，取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1，
∴＝（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一个法向量，同理可得＝（0，1，1）是平面PCD的一个法向量，
∵•＝﹣2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴，
即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD；
（2）解：由（1）得＝（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一个法向量，
∵＝（0，2，﹣2），得•＝0×（﹣2）+2×（﹣1）+（﹣2）×1＝﹣4，
∴点P到平面MND的距离d＝＝＝．