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高中数学1.2.2 空间中的平面与空间向量达标测试
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这是一份高中数学1.2.2 空间中的平面与空间向量达标测试,共11页。
1.设α为空间中的一个平面,记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d(d>0)的点的个数为m,m的所有可能取值构成的集合为M,则有( )
A.4∈M,6∉MB.5∉M,6∉MC.4∉M,6∈MD.5∉M,6∈M
2.若平面α,β的法向量分别为=(﹣1,2,4),=(x,﹣1,﹣2),且α⊥β,则x的值为( )
A.10B.﹣10C.D.
3.已知=(2,﹣1,3),=(﹣1,4,﹣2),=(3,2,λ),若、、三向量共面,则实数λ等于( )
A.2B.3C.4D.5
4.“点M在直线a上,a在平面α内”可表示为( )
A.M∈a,a∈αB.M∈a,a⊂αC.M⊂a,a∈αD.M⊂a,a⊂α
5.在空间直角坐标系中,与点A(1,2,3)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A.(1,2,﹣3)B.(﹣1,﹣2,3)C.(﹣1,2,3)D.(1,﹣2,3)
6.若△ABC的边BC上存在一点M(异于B,C),将△ABC沿AM翻折后使得•=0,则必有( )
A.B<90°B.B≥90°C.C<90°D.A<90°
7.设 =(﹣2,2,5)、=(6,﹣4,4)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系是( )
A.平行B.垂直
C.相交但不垂直D.不能确定
8.设平面α的法向量为(1,2,﹣2),平面β的法向量为(﹣2,﹣4,k),若α∥β,则k=( )
A.2B.﹣4C.4D.﹣2
9.如图,三棱柱A1B1C1﹣ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.直线AC⊥平面ABB1A1
C.直线A1C1与平面AB1E不相交
D.∠B1EB是二面角B1﹣AE﹣B的平面角
10.已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,﹣1),下列四个点中在平面ABC内的点是( )
A.(2,3,1)B.(1,﹣1,2)C.(1,2,1)D.(1,0,3)
二.填空题
11.如图,长方体OABC﹣D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=5,A'C'与B'D'相交于点P,则点P的坐标为 .
12.平面α与平面β垂直,平面α与平面β的法向量分别为=(﹣1,0,5),=(t,5,1),则t的值为 .
13.已知点P(3,4,5)在平面xOy上的射影为点M,在平面yOz上的射影为点N,则线段MN的长度等于 .
14.设平面α与向量垂直,平面β与向量垂直,则平面α与β位置关系是 .
15.已知平面α的法向量与平面β的法向量垂直,则平面α与平面β的位置关系是 .
三.解答题
16.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
(1)点C与平面β: .
(2)点A与平面α: .
(3)直线AB与平面α: .
(4)直线CD与平面α: .
(5)平面α与平面β: .
17.在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(Ⅰ)求四棱锥P﹣ABCD的体积V;
(Ⅱ)若F为PC的中点,求证:平面PAC⊥平面AEF;
(Ⅲ)求二面角E﹣AC﹣D的大小.
18.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:平面MND⊥平面PCD;
(2)求点P到平面MND的距离.
人教B版(2019)数学高中选择性必修第一册
1.2.2 空间中的平面与空间向量
参考答案与试题解析
一.选择题
1.【考点】空间点、线、面的位置.
【解答】解:如图所示,由题意知,
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到平面α的距离为d(d>0),
满足条件的顶点个数为m,则m的所有可能取值为0,1,2,4,6,8.
∴5∉M,6∈M.
故选:D.
2.【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系.
【解答】解:∵α⊥β,
∴平面α,β的法向量互相垂直
∴(﹣1,2,4)•(x,﹣1,﹣2)=0即﹣1×x+(﹣1)×2+4×(﹣2)=0
解得x=﹣10
故选:B.
3.【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理.
【解答】解:∵与不共线,
∴可取作此平面的一个基向量.
∵、、三向量共面,∴存在实数λ1,λ2使得.
∴,
解得
故选:C.
4.【考点】空间点、线、面的位置.
【解答】解:∵点M在直线a上,a在平面α内,
∴M∈a,a⊂α,
故选:B.
5.【考点】空间点、线、面的位置.
【解答】解:空间直角坐标系中,
点(1,2,3)关于xOy平面对称点的坐标为(1,2,﹣3).
故选:A.
6.【考点】空间点、线、面的位置.
【解答】解:只要考虑△ABM翻折180°后,AB能否垂直于CM,
当B≥900时不存在M点,否定B;
当C<900且B≥90°时,也不存在,否定C;
A<90°,B≥90°时,就不存在点M否定D.
故选:A.
7.【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系;平面的法向量.
【解答】解:=﹣2×6+2×(﹣4)+5×4=0
∴⊥
∵=(﹣2,2,5)、=(6,﹣4,4)分别是平面α,β的法向量
∴平面α与平面β垂直
故选:B.
8.【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系;平面的法向量.
【解答】解:∵α∥β,
∴两平面的法向量平行则(﹣2,﹣4,k)=λ(1,2,﹣2),
∴﹣2=λ,k=﹣2λ,∴k=4.故选C
9.【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理;空间中直线与平面之间的位置关系.
【解答】解:A不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;
B不正确,由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故不可能存在AC⊥平面ABB1A1;
C不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故不正确;
D正确,因为AE⊥侧面B1C1CB,故∠B1EB是二面角B1﹣AE﹣B的平面角正确.
故选:D.
10.【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理;空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.
【解答】解:=(1,1,1),=(1,2,﹣1).
设平面ABC的法向量为=(x,y,z),
∴,即:,
不妨令x=3,则y=﹣2,z=﹣1,
∴=(3,﹣2,﹣1).
∵(3,﹣2,﹣1)•(1,0,3)=0,
∴在平面ABC内的点是(1,0,3).
故选:D.
二.填空题
11.【考点】空间点、线、面的位置.
【解答】解:可知A'(3,0,5),C'(0,4,5),由中点坐标
公式得P的坐标公式,即P.
故答案为:.
12.【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系.
【解答】解:∵平面α与平面β垂直,
∴平面α的法向量与平面β的法向量垂直
∴•=0即﹣1×t+0×5+5×1=0
解得t=5
故答案为:5
13.【考点】空间点、线、面的位置.
【解答】解:∵点P(3,4,5)在平面xOy上的射影为点M,在平面yOz上的射影为点N,
∴M(3,4,0),N(0,4,5),
∴线段MN的长度|MN|==.
故答案为:.
14.【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系.
【解答】解:由题意可知为平面α的一个法向量,为平面β的一个法向量,
∵,,∴=2,
∴,∴α与β平行或重合,
故答案为:平行或重合.
15.【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理.
【解答】解:两个平面所成的角,等于它们的法向量所成角,或等于它们的法向量所成角的补角.
∵平面α的法向量与平面β的法向量垂直,
∴平面α的法向量与平面β的法向量所成角为直角,
由此可得平面α与平面β的所成角为直角,所以平面α⊥平面β.
故答案为:垂直
三.解答题
16.【考点】空间点、线、面的位置.
【解答】解:(1)点C不在平面β内:记为C∉β.
(2)点A不在平面α内:记为A∉α.
(3)直线AB不在平面α内:记为AB⊄α.
(4)直线CD在平面α内:记为CD⊂α.
(5)平面α与平面β相交于BD:记为α∩β=BD.
故答案为:(1)C∉β.(2)A∉α.(3)AB⊄α.(4)CD⊂α.(5)α∩β=BD.
17.【考点】空间点、线、面的位置;二面角的平面角及求法.
【解答】解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,
∴,AC=2(1分)
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,
∴,AD=4(2分)
∴(4分)
则(5分)
(Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD(6分)
又AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC(7分)
∵E、F分别为PD、PC中点,
∴EF∥CD(8分)
∴EF⊥平面PAC(9分)
∵EF⊂平面AEF,
∴平面PAC⊥平面AEF(10分)
(Ⅲ)取AD的中点M,连接EM,则EM∥PA,
∴EM⊥平面ACD,过M作MQ⊥AC于Q,
连接EQ,则∠EQM为二面角E﹣AC﹣D的平面角.(12分)
∵M为AD的中点,MQ⊥AC,CD⊥AC,
∴,又,
∴,故∠EQM=30°
即三面角E﹣AC﹣D的大小为30°(14分)
18.【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系;平面与平面垂直;点、线、面间的距离计算.
【解答】(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB、AD、AP两两互相垂直,
如图所示,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
M(1,0,0),N(1,1,1),
∴=(0,1,1),=(﹣1,1,﹣1),=(0,2,﹣2)
设=(x,y,z)是平面MND的一个法向量,
可得,取y=﹣1,得x=﹣2,z=1,
∴=(﹣2,﹣1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量,
∵•=﹣2×0+(﹣1)×1+1×1=0,∴,
即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD;
(2)解:由(1)得=(﹣2,﹣1,1)是平面MND的一个法向量,
∵=(0,2,﹣2),得•=0×(﹣2)+2×(﹣1)+(﹣2)×1=﹣4,
∴点P到平面MND的距离d===.
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