高中人教B版 (2019)1.2.2 空间中的平面与空间向量达标测试

这是一份高中人教B版 (2019)1.2.2 空间中的平面与空间向量达标测试，共12页。试卷主要包含了【考点】平面的法向量等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设平面 α 的一个法向量为 n1=(1,2,−2) ，平面 β 的一个法向量为 n2=(−2,−4,k) ，若 α//β ，则实数 k= （ ）
A．2B．−4C．−2D．4
2．若平面α、β的法向量分别为 n1 =（2，3，5）， n2 =（﹣3，1，﹣4），则（ ）
A．α∥βB．α⊥β
C．α，β相交但不垂直D．以上均有可能
3．若平面α、β的法向量分别为n1→=（2，3，5），n2→=（﹣3，1，﹣4），则（ ）
A．α∥βB．α⊥β
C．α，β相交但不垂直D．以上均有可能
4．已知 v 为直线l的方向向量， n1 ， n2 分别为平面 α ， β 的法向量 (α,β 不重合 ) 那么下列说法中：
①n1//n2⇔α//β ； ②n1⊥n2⇔α⊥β ； ③v//n1⇔l//α ； ④v⊥n1⇔l⊥α. 正确的有 ()
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（ ）
①若m∥n,n⊂α,则m∥α
②若l⊥α,m⊥β且l⊥m则α⊥β
③若l⊥n,m⊥n,则l∥m
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α
A．1B．2C．3D．4
6．若A（0，2，198），B（1，﹣1，58），C（﹣2，1，58）是平面α内的三点，设平面α的法向量a→=（x，y，z），则x：y：z=（ ）
A．2：3：（﹣4）B．1：1：1
C．﹣12：1：1D．3：2：4
7．已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左顶点和上顶点分别为 A,B ，左、右焦点分别是 F1,F2 ，在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1⊥PF2 ，则椭圆的离心率的平方为（ ）
A．32B．3−52C．−1+52D．3−12
8．已知直线l过点P（1，0，﹣1），平行于向量a→=(2,1,1)，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（ ）
A．（1，﹣4，2）B．(14,-1,12)
C．(-14,1,-12)D．（0，﹣1，1）
9．在正四棱锥 S−ABCD 中， O 为顶点 S 在底面的射影， P 为侧棱 SD 的中点，且 SO=OD ，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是( )
A．75°B．60°C．45°D．30°
10．已知平面 α 上三点 A(3,2,1) ， B(−1,2,0) ， C(4,−2,−1) ，则平面 α 的一个法向量为（ ）
A．(4,−9,−16)B．(4,9,−16)
C．(−16,9,−4)D．(16,9,−4)
二、填空题
11．给出下列命题：
①直线l的方向向量为 a =（1，﹣1，2），直线m的方向向量 b =（2，1，﹣ 12 ），则l与m垂直；
②直线l的方向向量 a =（0，1，﹣1），平面α的法向量 n =（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为 n1 =（0，1，3）， n2 =（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 n =（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
12．已知直线l∥平面α，l的一个方向向量为（t，2，4），α的法向量为（12，1，2），则实数t的值为
13．己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是 ．
14．在长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB＝AA’＝2AD＝2，以D为原点， DA ， DC ， DD' 方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则 AC'= ，若点P为线段AB的中点，则P到平面A’BC’距离为
15．已知正四面体 ABCD 的棱长为 23 ， E 为 △BCD 的中心， O 为 AE 上一点且满足 OB 、 OC 、 OD 两两垂直.过点 O 作平面 α ，其中 B 、 C 、 D 位于平面 α 的同一侧， n0 是平面 α 的单位法向量且指向另外一侧， B 、 C 两点到平面 α 的距离分别为1和 2 .以 O 为坐标原点， OB 、 OC 、 OD 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则 n0 的坐标为 .
三、解答题
16．如图，在三角锥 P−ABC 中， AB=BC=22 , PA=PB=PC=AC=4 , O 为 AC 的中点.
（1）证明： PO⊥ 平面 ABC ;
（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M−PA−C 为 30° ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.
17．如图放置在水平面上的组合体由直三棱柱 ABC−A1B1C1 与正三棱锥 B−ACD 组成，其中， AB⊥BC ，且 AB=BC=2 ， AA1=2 . E 为 BB1 的中点.
（1）求证： AC1⊥ 平面 A1EC ；
（2）求直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成角的正弦；
（3）求二面角 D−AC−E 的余弦值.
18．如图，在四棱锥 S−ABCD 中，侧棱 SA⊥ 底面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， AD ∥ BC ， AB⊥AD ，且 SA=AB=BC=2 ， AD=1 ， M 是棱 SB 的中点．
（1）求证： AM ∥平面 SCD ；
（2）求平面 SCD 与平面 SAB 所成锐二面角的余弦值；
（3）设点 N 是线段 CD 上的动点， MN 与平面 SAB 所成的角为 θ ，求 sinθ 的最大值．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.2 空间中的平面与空间向量
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】平面的法向量
【解答】∵平面 α 的一个法向量为 n1=(1,2,−2) ，平面 β 的一个法向量为 n2=(−2,−4,k) ， α//β ，∴−21=−42=k−2 ，∴k=4 ．
故答案为：D．
2.【考点】平面的法向量
【解答】解：∵平面α、β的法向量分别为 n1 =（2，3，5）， n2 =（﹣3，1，﹣4），
可得： n1⋅n2 =﹣6+3﹣20=﹣23≠0，∴n1 与 n2 不垂直，
而不存在实数λ使得： n1 =λ n2 ，∴n1 与 n2 不共线．
∴α，β相交但不垂直．
故选：C．
3.【考点】平面的法向量
【解答】∵平面α、β的法向量分别为n1→=（2，3，5），n2→=（﹣3，1，﹣4），
可得：n1→·n2→=﹣6+3﹣20=﹣23≠0，∴n1→与n2→不垂直，
而不存在实数λ使得：n1→=λn2→，∴n1→与n2→不共线．
∴α，β相交但不垂直．
故选：C．
4.【考点】平面的法向量；向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解答】∵平面 α ， β 不重合；
∴ 平面 α ， β 的法向量平行 ( 垂直 ) 等价于平面 α ， β 平行 ( 垂直 ) ；
∴①② 正确；
直线l的方向向量平行 ( 垂直 ) 于平面 α 的法向量等价于直线l垂直 ( 平行 ) 于平面 α ；
∴③④ 都错误．
故答案为：B．
5.【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；平面的法向量
【解答】若，，则，所以①错；若在同一平面内，③就正确，否则就不对；②④正确.
故选B
6.【考点】平面的法向量
【解答】
∵平面α的法向量为a→=（x，y，z），
∴，取y=3，则x=2，z=﹣4．
∴x：y：z=2：3：（﹣4）．
故选A．
7.【考点】椭圆的简单性质；用向量证明垂直
【解答】作图如下：
A(−a，0)，B(0，b)，F1(−c，0) ， F2(c，0)∴ 直线 AB 的方程为：椭圆 x2a2+y2b2=1 整理得： bx−ay+ab=0
设直线 AB 上的点 P(x，y)则 bx=ay−ab
∴x=aby−a
∵PF1⊥PF2 ， ∴→PF1⋅→PF2=(−c−x，−y)⋅(c−x，−y)=x2+y2−c2=(ab)2+y2−c2
令 f(y)=(ab)2+y2−c2则 f′(y)=2(aby−a)×ab+2y
∴ 由 f′(y)=0 得 y=a2ba2+b ,∴x=−ab2a2+b2∴→PF1=(−ab2a2+b2)2+(a2ba2+b,)2−c2=0
整理得： ab2a2+b2=c2 ，又 b2=a2−c2 ， e2=c2a2
∴e4−3e2+1=0∴e2=3±52 ，又椭圆的离心率 e∈(0，1)∴e2=3−52故椭圆的离心率的平方为 3−52 。
故答案为： B
8.【考点】平面的法向量
【解答】由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量a→=(2,1,1)，和向量PM→，
而PM→=（1，2，3）﹣（1，0，﹣1）=（0，2，4），
选项A，（2，1，1）•（1，﹣4，2）=0，（0，2，4）•（1，﹣4，2）=0满足垂直，故正确；
选项B，（2，1，1）•(14,-1,12)=0，（0，2，4）•(14,-1,12)=0满足垂直，故正确；
选项C，（2，1，1）•(-14,1,-12)=0，（0，2，4）•(-14,1,-12)=0满足垂直，故正确；
选项D，（2，1，1）•（0，﹣1，1）=0，但（0，2，4）•（0，﹣1，1）≠0，故错误．
故选D
9.【考点】平面的法向量；用空间向量求直线与平面的夹角
【解答】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0， −a2,a2)CA=(2a,0,0),PA=(−a,−a2,a2)
设平面PAC的法向量为 n=(x,y,z) 则 2ax=0−ax−a2y+a2z=0 可求得 n=(0,1,1) 则 csBC,n=12∴BC,n=60∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°．
故答案为：D
10.【考点】平面的法向量
【解答】由已知 AB=(−4,0,−1) ， AC=(1,−4,−2) ，
设平面 α 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，由 n⋅AB=0n⋅AC=0 ，可得 −4x−z=0x−4y−2z=0 ，
取 x=4 ，可得 z=−16 ， y=9 ，
所以，平面 α 的一个法向量为 n=(4,9,−16) .
故答案为：B.
二．填空题
11.【考点】平面的法向量
【解答】解：对于①，∵a =（1，﹣1，2）， b =（2，1，﹣ 12 ），
∴a • b =1×2﹣1×1+2×（﹣ 12 ）=0，
∴a ⊥ b ，
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②， a =（0，1，﹣1）， n =（1，﹣1，﹣1），
∴a • n =0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，
∴a ⊥ n ，∴l∥α或l⊂α，②错误；
对于③，∵n1 =（0，1，3）， n2 =（1，0，2），
∴n1 与 n2 不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴AB =（﹣1，1，1）， BC =（﹣1，1，0），
向量 n =（1，u，t）是平面α的法向量，
∴ ，
即 ；
则u+t=1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．
故答案为：①④．
12.【考点】平面的法向量
【解答】∵直线l∥平面α，l的一个方向向量为u→=（t，2，4），α的法向量为v→=（12，1，2），
∴，
解得t=﹣20．
故答案为：﹣20．
13.【考点】平面的法向量
【解答】解： AB =（﹣1，1，0）， AC =（﹣1，0，1），
设平面ABC的一个法向量为 n =（x，y，z），
则 n⋅AB=0n⋅AC=0 ，即 −x+y=0−x+z=0 ，取 n =（1，1，1）．
则平面ABC的一个单位法向量= n|n| = (33,33,33) ．
故答案为： (33,33,33) ．
14.【考点】平面向量的坐标运算；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解答】如图，建立空间直角坐标系，因为 AB=AA′=2AD=2 ，
则 A(1,0,0) ， C′(0,2,2) ， A′(1,0,2) ， B(1,2,0) ， P(1,1,0) ，
所以 AC′=(−1,2,2) ，A′C′=(−1,2,0) ， A′B=(0,2,−2) ， PB=(0,1,0) ，
设平面 A′BC′ 的法向量为 n=(x,y,z) ，
∴A′B⊥nA′C′⊥n ，得 A′B⋅n=0A′C′⋅n=0 即 −x+2y=02y−2z=0 ，
令 y=1 ，则 x=2,z=1 ， n=(2,1,1) ，
则P到平面 A′BC′ 距离为 d=|n⋅PB||n|=14+1+1=66 ，
故答案为：①AC′=(−1,2,2) ；②66 .
15.【考点】空间向量的数量积运算；平面的法向量
【解答】 ∵ OB 、 OC 、 OD 两两垂直，棱长为 23 ，
∴ |OB|=|OC|=|OD|=6 ,
而 B 、 C 两点到平面 α 的距离分别为1和 2 ，
所以点 M(6,0,1),N(0,6,2) 在平面 α 上，
设 n0→=(x0,y0,z0) ，
则 n0⋅OM=0n0⋅ON=0|n0|=1 ，即 6x0+z0=06y0+2z0=0x02+y02+z02=1 ，
解得 x0=13y0=23z0=−63 或 x0=−13y0=−23z0=63 ，
由题意知 n0 指向z轴负方向，
则 n0=(13,23,−63)
故答案为： (13,23,−63)
三.解答题
16．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解答】（1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点
PO⊥AC
∵AB=BC=2 2 ，AC=4,
∴AB2+BC2=AC2
∴∠ABC=90° 连接BO
则OB=OC
∴PO2+BO2=PB2
PO⊥OB，PO⊥OC
OB∩OC=O
∴PO⊥平面ABC
（2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB
∴AB=BC=2 2 O是AC的中点
∴OB⊥AC OB⊥平面PAC
如图所示以O为坐标原点， OB 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz
则P（0,0， 23 ） A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0）
平面PAC法向量为 m =（1,0,0）设M（x，2-x，0）
平面PAC法向量为 n =（1，λ，μ），
AP =（0，2， 23 ）, AM = （x，4-x，0）
则 n2·PA=0n2·AM=0 即 −2λ−23μ=0x+λ(4−x)=0
即 λ=−3μx+λ(4−x)=0
cs〈m·n〉=32=11+λ2+μ2
得到 λ=12 ，∴x=-4（舍）
λ=−12 ，x= 43
即M (43,23,0)
∴PAM的法向量 n=(1,−12,123)
PC=(0,2,−23)
记PC与平面PAM所成的角为θ
∴sinα=|cs〈PC,n〉|=24·23=34
即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 34 .
17.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法；余弦定理
【解答】（1）证明：如图连接 BC1 ，
∵AB⊥BC ， AB⊥BB1 ， BC∩BB1=B ，
∴AB⊥ 面 BC1 ，∴AB⊥CE ，
∵tan∠BCE=BEBC=22=tan∠BC1C ，
∴∠BCE=∠BC1C ，又 ∠BC1C+∠CBC1=90° ，∴CE⊥BC1 ，
又∵AB∩BC1=B ，∴CE⊥ 面 ABC1 ，∴AC1⊥CE ，
又 ACC1A1 为正方形，∴AC1⊥A1C ，
又 A1C∩CE=E ，∴AC1⊥ 平面 A1EC .
（2）解：取 A1C1 中点 O ，连接 AO ， B1O ， AB1 ，
∵B1A1=B1C1 ，∴B1O⊥A1C1
由直三棱柱的性质可得面 ACC1A1⊥ 面 A1B1C1 ，面 ACC1A1∩ 面 A1B1C1=A1C1 ,
∴B1O⊥ 面 ACC1A1 ，故 ∠B1AO 即为所求，
其中 AB1=6 ， B1O=1 ，
所以 sin∠B1AO=B1OB1A=66
即直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成角的正弦为 66 .
（3）解：取 AC 中点 F ，连接 DF ， EF ，
由已知 △ADC 为正三角形， △EAC 为等腰三角形，
∴DF⊥AC ， EF⊥AC ，则 ∠DFE 为所求．
∵AE=3 ， CE=AE=3 ， AC=22 ，
∴EF=1 ，又 DF=32×AC=6,DE=2+1 ，
在 △DFE 中由余弦定理得 cs∠DFE=6+1−(2+1)22×1×6=2−26=6−33 ，
即二面角 D−AC−E 的余弦值为 6−33
18.【考点】平面的法向量；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求平面间的夹角
【解答】（1）证明：以点 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1)
∴AM=(0,1,1),SD=(1,0,−2),CD=(−1,−2,0) ，
设平面 SCD 的一个法向量为 n=(x,y,z)
则 SD⋅CD⋅n=0n=0
∴x−2z=0−x−2y=0 ，令 z=1 ，得 n=(2,−1,1) ，
∴AM⋅n=0 ，即 AM⊥n
∵AM⊄ 平面 SCD
∴AM ∥平面 SCD
（2）解：取平面SAB的一个法向量 m=(1,0,0) ，则 cs〈n,m〉=n⋅m|n|⋅|m|=21×6=63
∴平面 SCD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值为 63 ．
（3）解：设 N(x,2x−2),(1≤x≤2) ，则 MN=(x,2x−3,−1) ，平面 SAB 的一个法向量为 m=(1,0,0)
∴sinθ=|cs=|x5x2−12x+10|=110×(1x)2−12×1x+5=110×(1x−35)2+75
当 1x=35 ，即 x=53 时， sinθ 取得最大值，且 (sinθ)max=357