高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角复习练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角复习练习题，共18页。
1．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0），且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面a的方程为，经过点（0，0，0）的直线l的方程为，则直线l与平面a所成角为（ ）
A．60°B．120°C．30°D．45°
2．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，则AC1与面BCC1B1成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面△PBC和底面△ABC均为等边三角形，点P在底面ABC的投影为△ABC的中心O，则直线AP与底面ABC所成的角的正切值为（ ）
A．B．C．2D．
5．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABD沿BD折起，使A到达A'的位置，且二面角A′﹣BD﹣C为60°，则A′D与平面BCD所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段A1D上一点，当AP+PB取得最小值时，直线BP与平面ADD1A1所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
7．直线AB与平面α交于点B，若直线AB与平面α内过点B的三条直线BC，BD，BE所成的角相等，则直线AB与平面α所成的角为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．90°
8．点P为边长为1的正四面体ABCD底面BCD内一点，且直线AP与底面BCD所成角的正切值为，则动点P所在曲线长度为（ ）
A．B．C．D．
9．已知直线的倾斜角为α，在长方ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与平面BCC1B1所成的角为β，若α＝β，则该长方体的体积为（ ）
A．B．2C．D．
10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题
11．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为 ．
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角相等，则平面α截正方体所得的截面面积的最大值为 ．
13．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1．一平面截该长方体，所得截面为OPQRST其中O，P分别为AD，CD的中点，，则直线TR平面A1B1C1D1所成角的正切值为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝3，过AC的中点M的动直线l与线段AB交于点N，将△AMN沿直线l向上翻折至△A1MN，使得点A1在面BCMN上的射影H落在线段BC上，则直线A1M与面BCMN所成角的正弦值的取值范围为 ．
15．如图，E，F，G，H分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在边的中点，则BD与平面EFGH所成角的正切值为 ．
三．解答题
16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD和CDEF均为直角梯形，AB∥CD，CF∥DE，且，CD＝AD＝2AB＝4，．
（1）求证：BF∥平面ACE，
（2）求直线AC与平面BEF所成角的正弦值．
17．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC为等边三角形，CD⊥平面ABC，BE∥CD且AC＝CD＝2BE＝2，F为AD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BC与平面AED所成角的正弦值．
18．如图，三棱锥E﹣BCD中，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面BCD，BC＝DC＝BD＝2，M，N分别是线段ED和BD的中点．
（Ⅰ）求点C到平面BDE的距离；
（Ⅱ）求直线EN与平面MCB所成角的正弦值．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.3 直线与平面的夹角
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：因为平面α的方程为，故其法向量为，
因为直线l的方程为，其方向向量为，
故直线l与平面a所成角的正弦值为，
故选：C．
2．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：取AC的中点E，连接BE，C1E，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴BE⊥面ACC1A1，
∴∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，
BC1＝，BE＝，
∴sin∠BC1E＝＝，∴∠BC1E＝30°．
∴BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为30°．
故选：A．
3．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC；
∴BB1⊥AD，又∵AB＝AC，D是BC的中点；
∴AD⊥BC，BC∩BB1＝B；
∴AD⊥平面BCC1B1；连接C1D，由（1）AD⊥平面BCC1B1；
则∠AC1D即为直线AC1与面BCC1B1所成角；设AB＝AC＝AA1＝1，
在直角△AC1D中，AD＝，AC1＝，sin∠AC1D＝＝；
即直线AC1与面BCB1C1所成角的正弦值为．
故选：A．
4．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：如图：
设BC＝2，
由题意知三角形PBC是等边三角形，设D为BC的中点，
在直角三角形PDB中，
PD＝PBsin∠PBD＝2sin 60°＝，
同理AD＝，
由三角形重心的性质得OD＝．AO＝，
由题意知O是点P在平面ABC内的投影，
所以，PO⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，O在AD上，
所以PO⊥AD，
在直角三角形POD中，
PO＝＝＝，
由题意知∠PAO为直线PA与底面ABC所成的角，
在直角三角形PAO中，tan∠PAO＝＝，
故选：B．
5．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：设AC于BD交于点O，设菱形的边长为2，
在△ABD中，因为∠A＝60°，AB＝2，所以，
过点A'作A'E⊥平面BCD，垂足为E，连结EO，
因为O为BD的中点，且A'D＝A'B，所以A'O⊥BD，故EO⊥BD，
所以∠A'OE即为二面角A′﹣BD﹣C的平面角，
故∠A'OE＝60°，
连结ED，则∠A'DE即为A′D与平面BCD所成的角，
在Rt△A'OE中，，
在Rt△A'ED中，A'D＝2，，所以，
故．
故选：C．
6．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：将正方体中的正△A1BD沿A1D翻折至与点A共面，如图所示，
因为AA1＝AD，所以当P为线段A1D的中点时，AP+PB最小值．
连接AP，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AP，
所以直线BP与平面ADD1A1所成角为∠APB．
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则，
又点P为A1D的中点，所以，．
故选：C．
7．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：∵直线AB与α 内直线BC，BD所成角相等，
∴AB在平面α内的投影为BC和BD夹角的角平分线，
同理AB在平面α内的投影为BC和BE夹角的角平分线，AB在平面α内的投影为BD和BE夹角的角平分线，
三条角平分线的公共部分即为AB在平面α内的投影，
而公共部分为一点，即直线AB在平面α内的投影为一点，
∴AB⊥α，
∵CD⊂α，
∴AB⊥CD，
∴直线AB与CD所成的角为90°，
故选：D．
8．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：由题意如图，AO是正四面体的高，
O是底面的中心，正四面体的边长为1，
所以BE＝，BO＝，AO＝＝，
OE＝，直线AP与底面BCD所成角的正切值为，
所以＝，OF＝，所以cs∠FOE＝＝＝，
所以∠FOE＝，
所以动点P所在曲线长度为半径为的圆周长的一半．
故选：C．
9．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【解答】解：∵直线的倾斜角为α，
∴tanα＝，∴α＝30°，
在长方ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，
AC1与平面BCC1B1所成的角为β，α＝β，
∴AC1与平面BCC1B1所成的角为30°，
∵AB⊥平面BCC1B1，∴∠AC1B是AC1与平面BCC1B1所成的角，
∴∠AC1B＝30°，
∵AB⊥BC1，∴AC1＝2AB＝2，∴BC1＝＝，
∴CC1＝＝，
∴该长方体的体积为V＝＝．
故选：A．
10．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：因为M是A1C1的中点，△A1B1C1为等边三角形，可得B1M⊥A1C1，
又AA1⊥平面A1B1C1，B1M⊂平面A1B1C1，
所以AA1⊥B1M，而AA1∩A1C1＝A1，
所以B1M⊥平面AA1C1C，
以M为坐标原点，MB1，MC1分别为x，y轴，过M平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，
设AA1＝AB＝2，则M（0，0，0），A（0，﹣1，2），＝（0，﹣1，2），
又B1M＝AB＝，所以B（，0，2），C（0，1，2），B1（，0，0），
则＝（0，0，2），＝（﹣，1，2），
设平面BB1C1C的法向量为＝（a，b，c），
则，取a＝，则b＝3，c＝0，所以＝（，3，0），
所以AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为|cs＜，＞|＝||＝＝．
故选：C．
二．填空题
11．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：取AC的中点E，连接BE，C1E，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴BE⊥面ACC1A1，
∴∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，
BC1＝，BE＝＝，
∴sin∠BC1E＝＝＝，
∴∠BC1E＝30°．
∴BC1与侧面ACC1A1所成角为30°．
故答案为：30°．
12．【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．
【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且是正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，
此时正六边形的边长，
α截此正方体所得截面最大值为：6××（）2＝．
故答案为：．
13．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：设AT＝x，A1T＝y，则x+y＝1，
由面面平行的性质可知OP∥SR，OT∥QR，PQ∥TS，
则△DOP∽△B1SR，又DP＝DO＝1，
∴，∴，
由△ATO∽△C1QR，可得，所以，
由△A1TS∽△CQP，可得，所以，
∴+＝1，
联立方程组，解得，即A1T＝，
设直线TR与平面A1B1C1D1所成角为θ，连接A1R，则A1R＝＝，
∴，
故答案为：．
14．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：由题意及线面角的定义可知，∠A1MH为所求直线A1M与面BCMN所成角，
以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，
又A1在平面A1BC内，即平面xBz内，故设A1（x，0，z），则H（x，0，0），
又，
∴，
∴（x﹣2）2+z2＝1，即点A1的轨迹为（x﹣2）2+z2＝1，且（x﹣2）2＝1﹣z2≤1，则x∈[1，3]，
显然AA1⊥MN，则，
又，而点N在线段AB上运动，故可设，则，
∴，
∴，
∵0≤k≤1，
∴，则，
又z2＝1﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣3，
∴0≤z≤1，
∴．
故答案为：．
15．【考点】直线与平面所成的角．
【解答】解：E，F，G，H分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在边的中点，
可知平面平面EA1C1与平面EFGH平行，
则BD与平面EFGH所成角，就是直线BD与平面BA1C1所成角，
因为几何体是正方体，可知DB1⊥平面BA1C1，垂足为O，
设正方体的棱长为：1，
AO＝＝，
三角形BA1C1是边长为的正三角形，OB＝＝．
则BD与平面EFGH所成角的正切值为：＝．
故答案为：．
三．解答题
16．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【解答】（1）证明：取DE中点G，连接FG交CE于点H，连接AH．
∵CF∥DG，且DG＝CF，
∴四边形CDGF是平行四边形，∴GF∥DC，H为GF中点，
又∵AB∥CD，且CD＝2AB，
∴AB∥HF，且AB＝HF，
∴四边形ABFH是平行四边形，
∴BF∥AH，BF⊄平面ACE，AH⊂平面ACE，
∴BF∥平面ACE．
（2）解：取AD中点O，BC中点I，连接OE，OI，易知OI⊥AD，
∵DE＝AE，∴OE⊥AD，
∵，
∴CD⊥AD，CD⊥DE，DE∩AD＝D，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥OE，∴OE⊥平面ABCD．
∵，AD＝4，∴OE＝4，
如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（2，0，0），C（﹣2，4，0），E（0，0，4），B（2，2，0），，
设平面BEF的法向量，
则，即，
取，，
设直线AC与平面BEF所成角为θ，，即，
即直线AC与平面BEF所成角的正弦值为．
17．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【解答】（1）证明：延长DE交CB的延长线于G，连接AG．
因为BE∥CD且CD＝2BE，所以E为DG中点．
又F为AD中点，所以EF∥AG．又EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，
于是EF∥平面ABC；
（2）方法一：由且B为CG中点知AG⊥AC．
因为CD⊥平面ABC，且AG⊂平面ABC，所以AG⊥CD，又CD∩AC＝C，
于是AG⊥平面ACD．
由AG⊂平面ABC得平面AGD⊥平面ACD．连接CF，显然CF⊥AD，
因为平面AGD∩平面ACD＝AD，所以CF⊥平面AGD．连接GF，
所以∠CGF即为直线BC与平面AED的所成角．由BC＝2，则，所以在Rt△CFG中，．
方法二：取AC的中点O，连接OF．由OF∥CD及CD⊥平面ABC得OF⊥平面ABC．
如图建立空间坐标系O﹣xyz，易得A（0，﹣1，0），，D（0，1，2）
于是，，设平面AED的一个法向量，
于是，令y＝1，解得z＝﹣1，x＝0
所以．又，
设直线BC与平面AED的所成角的大小为θ，
所以．
18．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
【解答】解：（Ⅰ）∵平面ECD⊥平面BCD，且△ECD为正三角形，CD＝2，
∴点E到平面BCD的距离为，
∵BC＝DC＝BD＝2，∴△BCD是等腰直角三角形，
∴S△BCD＝BC•DC＝2．
在△BDE中，BE＝BD＝，DE＝2，
∴S△BDE＝×2×＝．
设C到平面BDE的距离为d，
∵VE﹣BCD＝VC﹣BDE，
∴××2＝×d×，解得d＝，
故点C到平面BDE的距离为．
（Ⅱ）以C为原点，CD、CB所在的直线分别为x、y轴，作Cz⊥平面BCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，2，0），C（0，0，0），D（2，0，0），M（，0，），E（1，0，），N（1，1，0），
∴＝（0，1，），＝（，0，），＝（0，2，0），
设平面MBC的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝0，z＝，∴＝（1，0，），
设直线EN与平面MBC所成角为θ，
则sinθ＝|cs＜，＞|＝||＝＝，
故直线EN与平面MBC所成角的正弦值为．