高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 第1章 1.1.2 空间向量基本定理 同步练习(1)

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人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册 1.1.2 空间向量基本定理一．选择题 1．若构成空间的一个基底，则（　　）A．不共面 B．不共面 C．不共面 D．不共面2．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底．若向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标为（　　）A．（4，0，3） B．（1，2，3） C．（3，1，3） D．（2，1，3）3．已知向量＝（﹣1，2，3），＝（2，﹣1，﹣4），则下列向量中，使{，，}能构成空间的一个基底的向量是（　　）A．＝（﹣2，1，4） B．＝（1，1，﹣1） C．＝（﹣8，7，18） D．＝（﹣1，2，﹣4）4．下列命题中正确的个数为（　　）①若向量+，+、+是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；②{，，}为空间一组基底，若x+y+z＝（x，y，z∈R），则x2+y2+z2＝0；③对于任意非零空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），若∥，则A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为（2，1，5），则在基底下的坐标为（　　）A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3） C．（1，2，﹣3） D．（﹣3，2，1）6．在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，若＝2x+3y+6z，则x+y﹣z等于（　　）A． B． C． D．7．已知{，，}为空间的一个基底，若＝++，＝+﹣，＝﹣+，＝+2+3，且＝，则α，β，γ分别为（　　）A．，﹣1，﹣ B．，1， C．﹣，1，﹣ D．，1，﹣8．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，若，则x，y，z的值分别是（　　）A．1，1，1 B．，， C．，， D．2，2，29．如图，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点．M是CC1的中点，点N在线段BA1上，且BN＝2NA1，若，则x+y+z＝（　　）A． B． C．1 D．﹣110．有四个命题：①若＝x+y，则与、共面；②若与、共面，则＝x+y；③若＝x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x+y．其中真命题的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题 11．设{，，}是空间向量的一个单位正交基底，＝2﹣4+5，＝+2﹣3，则向量+的坐标是 　 　．12．如图，在正方体OABC﹣O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若，，，，则x+y+z＝　 　．13．已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ）．若，，不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为 　 　．14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，若，则x＝　 　，y+z＝　 　．15．如图，在四面体OABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝　 　（用，，表示）．若四面体O﹣ABC为正四面体，且边长为1，则＝　 　．三．解答题 16．如图，在四面体OABC中，设＝，＝，＝，G为△ACB的重心，以{，，}为空间基底表示向量，．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E，F，G分别为棱DD'，D'C'，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．（1），，；（2），，．18．如图，已知四面体ABCD的三条棱为△BCD的重心，试用基向量表示向量．人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册 1.1.2 空间向量基本定理参考答案与试题解析一．选择题 1．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：对于A：不存在实数，使，故A正确；对于B：，存在实数，使等式成立，故B错误；对于C：，存在实数，使等式成立，故C错误；对于D：，存在实数，使等式成立，故D错误．故选：A．2．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：设在基底{}下的坐标为（x，y，z），则＝＝，整理得：4＝（x+y）+（x﹣y）+z，所以，解得，故选：C．3．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：因为＝（﹣1，2，3），＝（2，﹣1，﹣4），使{，，}能构成空间的一个基底的向量，所以，，不共面，即不存在x，y使＝x+y成立．对于A：＝（﹣2，1，4）＝﹣，所以A中的向量不能与，，构成基底．对于B：＝（﹣2，1，4）＝+，所以B中的向量不能与，，构成基底．对于C：＝（﹣8，7，18），设＝x+y，则，解得x＝2，y＝﹣3，所以＝2﹣3，则所以，，共面，所以C中的向量不能与，，构成基底．对于D：设＝x+y，则，方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量能与，，构成基底．故选：D．4．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用．【解答】解：对于①，因为向量+，+、+是空间一组基底，则空间中任意的一个向量，存在唯一的实数组（x，y，z），使得＝，所以，，也是空间的一组基底，故选项①正确；对于②，因为{，，}为空间一组基底，若x+y+z＝（x，y，z∈R），则x＝y＝z＝0，故选项②正确；对于③，对于任意非零空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），若∥，则，所以，即，故选项③正确．故选：D．5．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：∵是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为（2，1，5），∴＝2++5，设在基底下的坐标为（x，y，z），则＝x（）+y（）+z（），∴2++5＝x（）+y（）+z（）＝（x+z）+（x+y）+（y+z），∴，解得x＝﹣1，y＝2，z＝3，∴在基底下的坐标为（﹣1，2，3）．故选：A．6．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，＝2x+3y+6z，则，解得，所以x+y﹣z＝+﹣＝．故选：D．7．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：＝＝α（++）+β（+﹣）+γ（﹣+）＝（α+β+γ）+（α+β﹣γ）+（α﹣β+γ），∵＝+2+3，∴，解得：，故选：A．8．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理．【解答】解：在正方体中，所以＝＝，所以，故x＝y＝z＝1．故选：A．9．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：根据题意知，＝++＝+（﹣）+＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣+，因为，所以x+y+z＝﹣1+＝﹣．故选：B．10．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：若＝x+y，则与，肯定在同一平面内，故①对；若＝x+y，则、、三向量在同一平面内，∴P、M、A、B共面．故③对；＝x+y，若与、共面，但如果，共线，就不一定能用、来表示，故②不对；同理④也不对．∴真命题的个数为2个．故选：B．二．填空题 11．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：设{，，}是空间向量的一个单位正交基底，＝2﹣4+5，＝+2﹣3，则：，即向量+的坐标是（3，﹣2，2）．故答案为：（3，﹣2，2）．12．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：易知ACO1为正三角形，设AC，BO相交于点M，连接O1M，如图所示，显然点G在线段O1M上，且满足＝2，有﹣＝2（﹣），得＝+，有＝×（+）+＝++，可得x+y+z＝1．故答案为：1．13．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：∵，，不能构成空间的一个基底，∴此三个向量共面，设＝x+y，则（7，5，λ）＝x（2，﹣1，3）+y（﹣1，4，﹣2），∴，∴，故答案为：．14．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示：由于，所以，，由于，所以x＝1，y＝z＝，所以y+z＝．故答案为：1；．15．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：∵D为BC的中点，∴＝+＝+，∵E为AD的中点，∴＝（+）＝++，∵若四面体O﹣ABC为正四面体，且边长为1，∴2＝（++）2＝+++•+•+•＝+×2+×1×1××2+×＝，∴＝．故答案为：++；．三．解答题 16．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理．【解答】解：由G为△ACB的重心可知E为AC的中点，所以＝（+）＝[（﹣）+（﹣）]＝[（﹣）+（﹣）]＝（﹣2+），＝+＝+＝+（﹣2+）＝（++）．17．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：（1）＝+＝+＝+＝（0，1，）；＝+＝+＝（1，，0）；＝++＝++＝（，1，1）．（2）＝﹣＝（++）﹣（+）＝+＝（，0，）；＝﹣＝（+）﹣（+）＝﹣﹣＝（1，﹣，﹣）；＝﹣＝+﹣＝﹣＝（1，﹣，0）．18．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：∵M是BC的中点，∴DM＝（+）＝[（﹣）+（﹣）]＝[（﹣）+（﹣）]＝（+﹣2），＝+＝+＝+（+﹣2）＝（++）．