高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角习题，共15页。试卷主要包含了【考点】直线与平面所成的角等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AA1⊥ 平面 ABC ，动点 M 在线段 CA1 上滑动（包含端点），记 BM 与 B1A1 所成角为 α ， BM 与平面 ABC 所成线面角为 β ，二面角 M−BC−A 为 γ ，则（ ）
A．β≥α，β≤γB．β≤α，β≤γ
C．β≤α，β≥γD．β≥α，β≥γ
2．正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，直线 AD 与平面 A1BC1 所成角正弦值为（ ）
A．12B．32C．33D．63
3．设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。则（ ）
A．β＜γ，a ＜γB．β＜α，β＜γ
C．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为（ ）
A．63B．255C．155D．105
5．若 PA 、 PB 、 PC 是从点 P 发出的三条射线，每两条射线的夹角均为 60∘ ，则直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值为（ ）
A．12B．22C．33D．34
6．如图，在四面体VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA与平面ABC所成的角为45°，D是BC上一动点，设直线VD与平面ABC所成的角为θ，则（ ）
A．θ≤60°B．θ≥30°C．θ≤45°D．θ≤75°
7．如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点P为线段 A1C1 上的动点（点 P 与 A1 ， C1 不重合），则下列说法不正确的是（ ）
A．BD⊥CP
B．三棱锥 C−BPD 的体积为定值
C．过 P ， C ， D1 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D．DP与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值最大为 13
8．如图，在三棱锥 P−ABC 中，侧面 △PBC 和底面 △ABC 均为等边三角形，点P在底面 ABC 的投影为 △ABC 的中心O，则直线 AP 与底面 ABC 所成的角的正切值为（ ）
A．3B．2C．2D．53
9．如图，将矩形纸片 ABCD 折起一角落 (△EAF) 得到 △EA′F ，记二面角 A′−EF−D 的大小为 θ(0<θ<π4) ，直线 A′E ， A′F 与平面 BCD 所成角分别为 α ， β ，则（ ）．
A．α+β>θB．α+β<θC．α+β>π2D．α+β>2θ
10．在三棱锥D−ABC中，DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC；记直线DB与直线AC所成的角为α，直线DC与平面ABD所成的角为β，二面角D−BC−A的平面角为γ，则（ ）
A．β<γ<αB．γ<β<αC．β<α<γD．α<γ<β
二、填空题
11．侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为 ．
12．在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，对角线 AC1 与底面 ABCD 所成角的正弦值为 ；
13．在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为 ．
14．平面 α 外的直线 a 与平面 α 所成的角是 θ ，则 θ 的取值范围是 .
15．在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E,F 分别为棱 AA1 、 BB1 的中点， M 为棱 A1B1 （含端点）上的任一点，则直线 ME 与平面 D1EF 所成角的正弦值的最小值为 .
三、解答题
16．如图，四棱锥 B1−AA1C1D 中， △A1B1C1 为等边三角形， AA1⊥ 平面 A1B1C1 ， AA1//DC1 ， AA1=2DC1 ， F 为 A1B1 的中点.
（1）证明： C1F// 平面 ADB1 ；
（2）证明：平面 ADB1⊥ 平面 AA1B1 ；
（3）若 A1B1=2 ， AA1=22 ，求直线 A1A 与平面 ADB1 所成角的正弦值.
17．如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，平面 A1ACC1⊥ 底面 ABC ， AB=BC=2 ， ∠ACB=30° ， ∠C1CB=60∘ ， BC1⊥A1C ， E 为 AC 的中点，侧棱 CC1=2 ．
（1）求证： A1C⊥ 平面 C1EB ；
（2）求直线 CC1 与平面 ABC 所成角的余弦值．
18．如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA⊥ 底面 ABCD ， PA=AB ， E 为线段 PB 的中点， F 为线段 BC 上的动点．
（1）若平面 ADE 交 PC 于点 G ，求证： EG//AD ；
（2）求证： AE⊥ 平面 PBC ；
（3）判断直线 AF 与平面 PBC 所成角的大小是否可以为 π3 ，并说明理由．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.3 直线与平面的夹角
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【解答】过点 M 作 MN⊥AC 于 N ，则 MN⊥平面ABC ，过点 M 作 MH⊥BC 于 H ，连接 NH ，则 NH⊥BC ,过点 M 作 MG⊥AB 于 G ，连接 NG ，则 NG⊥AB ．
所以 α=∠MBA ， β=∠MBN ， γ=∠MHN ， sinα=MGBM,sinβ=MNBM,tanβ=MNBN,tanγ=MNHN, 由 MG≥MN 可知 β≤α （ M 位于 A1 处等号成立），由 BN≥NH 可知 β≤γ （当 ∠B 为直角时，等号成立），
故答案为：B.
2.【考点】直线与平面所成的角
【解答】如图所示，
正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，直线 AD 与 B1C1 平行，则直线 AD 与平面 A1BC1 所成角正弦值即为 B1C1 与平面 A1BC1 所成角正弦值.因为 ΔA1BC1 为等边三角形，则 B1 在平面 A1BC1 即为 ΔA1BC1 的中心，则 ∠B1C1O 为 B1C1 与平面 A1BC1 所成角.可设正方体边长为1，显然 BO=33×2=63 ，因此 B1O=1−(63)2=33 ，则 sin∠B1C1O=B10B1C1=33 ，
故答案为：C.
3.【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解答】如图 G 为 AC 中点， V 在底面 ABC 的投影为 O ，则 P 在底面投影 D 在线段 AO 上，过 D 作 DE 垂直 AE ，
易得 PE//VG ，过 P 作 PF//AC 交 VG 于 F ，过 D 作 DH//AC ，交 BG 于 H ，则 α=∠BPF, β=∠PBD,γ=∠PED ，则 csα=PFPB=EGPB=DHPBβ ， tanγ=PDED>PDBD=tanβ ，即 y>β ，综上所述， B正确.
故答案为：B
4.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解答】解：在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=BC=2 ， AA1=1 ，
以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
B(2 ，2， 0) ， C1(0 ，2， 1) ， D(0 ，0， 0) ， D1(0 ，0， 1) ，
BC1=(−2 ，0， 1) ， DB=(2 ，2， 0) ， DD1=(0 ，0， 1) ，
设平面 BB1D1D 的法向量 n=(x ， y ， z) ，
则 n·DB=2x+2y=0n·DD1=z=0 ，取 x=1 ，得 n=(1 ， −1 ， 0) ，
设直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成角为 θ ，
则直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为：
sinθ=|BC1·n||BC1|·|n|=25·2=105 ．
故答案为：D．
5.【考点】直线与平面所成的角
【解答】如图，结合题意绘出图像：
过 PC 上一点 D 作 DO⊥ 平面 APB ，过点 O 作 OE⊥PA ， OF⊥PB ，
则 ∠DPO 就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角，
因为 DO⊥ 平面 APB ，所以 DO⊥PB ， OF⊥PB ，
OD∩OF=O ，所以 PB⊥ 平面 DFO ， PB⊥DF ，
同理可证 PE⊥DE ，因为 ∠APC=∠BPC=60∘ ，
所以 Rt△PDE≅Rt△PDF ，所以 DE=DF,OE=OF ，
所以点 O 在 ∠APB 的平分线上， ∠OPF=30∘ ，
设 PF=3 ，则 OP=2 ， DP=23 ，
故 cs∠DPO=OPPD=33 ，
直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 33 。
故答案为：C.
6.【考点】直线与平面所成的角
【解答】如图，作 VN⊥ 底面 ABC 于点 N ， VD′⊥BC 于 D′ ，由几何关系可得， θ=∠VDN ， sinθ=VNVD ，当 VA 固定时， VN 也固定， VD 最小时应为 VD⊥BC 时，此时 D 与 D′ 重合，又因为VA⊥平面VBC，所以 VA⊥BC ，所以 BC⊥ 平面 VAD′ ，易知 A,N,D′ 三点共线，因为VA与平面ABC所成的角为45°，故 ∠VAN=45° , VA⊥平面VBC，所以 VA⊥VD′ ,所以 θ=90°−45°=45° ，此时 sinθ 最大， θ 最大，故 θ≤45° .
故答案为：C
7.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解答】由题可知 BD⊥ 平面 ACC1A1 ，所以 BD⊥CP ，A正确，不符合题意；
由等体积法得 VC−BPD=VP−BCD=13⋅S△BCD⋅AA1 为定值，B正确，不符合题意；
设 A1C1 的中点为 M ，当 P∈MC1 时，如下图所示：
此时截面是三角形 D1QC ，
当 P∈MA1 时，如下图所示：
此时截面是梯形 D1QRC ，C正确，不符合题意；
D，在正方体中，连接 D1P ，则 D1P 为 DP 在平面 A1B1C1D1 上的射影，则 ∠D1PD 为 DP 与平面 A1B1C1D1 所成的角，
设正方体的棱长为1， PD1=x ，则 DP=1+x2 ， sin∠D1PD=11+x2 ，
当 x 取得最小值时， sin∠D1PD 的值最大，即 D1P⊥A1C1 时， x 的值最小为 22 ，
所以 sin∠D1PD 的值最大为 63 ，D错误，符合题意.
故答案为：D.
8.【考点】直线与平面所成的角
【解答】如图，
连 AO 与 BC 相交于点D，连 PD ，可知点D为 BC 的中点，
因为点P在底面 ABC 的投影为 △ABC 的中心O，
所以直线 AP 与底面 ABC 所成的角即为 ∠PAO ，
设 BC=6 ，可得 PD=33,AO=23,OD=3 ，
所以 OP=PD2−OD2=27−3=26 ，
所以 tan∠PAO=OPOA=2623=2 。
故答案为：B
9.【考点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解答】如图，过 A′ 作 A′H⊥ 平面 BCD ，垂足为 H ，过 A′ 作 A′G⊥EF ，垂足为 G ，
设 A′G=d,A′H=ℎ,∠A′EG=γ ，
因为 A′H⊥ 平面 BCD ， EF⊂ 平面 BCD ，故 A′H⊥EF ，
而 A′G∩A′H=A′ ，故 EF⊥ 平面 A′GH ，而 GH⊂ 平面 A′GH ，
所以 EF⊥GH ，故 ∠A′GH=θ ，
又 ∠A′EH=α ， ∠A′FH=β .
在直角三角形 A′GE 中， A′E=dsinγ ，同理 A′F=dcsγ ，
故 sinα=ℎdsinγ=ℎdsinγ=sinθsinγ ，同理 sinβ=sinθcsγ ，
故 sin2α+sin2β=sin2θ ，故 1−cs2α2−cs2β2=sin2θ ，
整理得到 cs2α2+cs2β2=cs2θ ，
故 cs(α+β+α−β)2+cs[α+β−(α−β)]2=cs2θ ，
整理得到 cs(α+β)cs(α−β)=cs2θ 即 cs(α+β)csθ=csθcs(α−β) ，
若 α+β≤θ ，由 0<θ<π4 可得 cs(α+β)≥csθ 即 cs(α+β)csθ≥1 ，
但 |α−β|<α+β≤θ ，故 cs|α−β|>csθ ，即 csθcs(α−β)<1 ，矛盾，
故 α+β>θ .
A符合题意，B不符合题意.
由 sin2α+sin2β=sin2θ 可得 sinα而 α,β,θ 均为锐角，故 α<θ,β<θ ， α+β<2θ<π2 ，CD不符合题意.
故答案为：A.
10【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解答】令DA=AB=BC=1，
由DA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，
∴DA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩DA=A，
∴BC⊥面ABD，
三棱锥D−ABC的每一个面都是直角三角形，
DC与平面ABD所成的角β=∠CDB，
二面角D−BC−A的平面角γ=∠DBA，
由已知可得AC=BD=2，DC=3，
csβ=cs∠CDB=BDDC=23=63，
csγ=cs∠DBA=ABBD=12=22，
又DB⋅AC=DB⋅(AB+BC)=DB⋅AB+DB⋅BC=2×1×12=1，
则csα=DB⋅AC|DB|⋅|AC|=12×2=12，
所以csβ>csγ>csα，又γ,β,α均为锐角，
∴β<γ<α。
故答案为：A.
二．填空题
11.【考点】直线与平面所成的角
【解答】如图，
正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心，
不妨设PC＝1，
∵侧面为等腰直角三角形，
∴BC =2 ，
∴OC =63 ，
∴OP =33 ，
∴sin∠PCO =33 ，
故答案为： 33 ．
12.【考点】直线与平面所成的角
【解答】 ∵C1C⊥ 底面 ABCD ，
∴∠C1AC 是 AC1 与底面 ABCD 所成的角，
设正方体 AC1 的棱长为 a ，
则 C1C=a ， AC=2a ， AC1=3a ，
∴sin∠C1AC=C1CAC1=33 ．
故答案为： 33
13.【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【解答】∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴∠PAC 就是直线PA与平面ABCD所成的角，即 ∠PAC ＝60°，∴ΔPAC 是等边三角形，AC＝PA＝2，
设BD与AC交于点O，连接OE，则OE是 ΔPAC 的中位线，即 OE//PA ，且 OE=12PA=1 ，
∴∠OEB 是异面直线PA与BE所成的角，
正四棱锥P－ABCD中易证 BD⊥ 平面PAC，∴BD⊥EO ，
ΔEOB 中， OE=OB ，∴ΔEOB 是等腰直角三角形，∴∠OEB ＝45°．
∴异面直线PA与BE所成的角是45°．
故答案为：45°．
14.【考点】直线与平面所成的角
【解答】直线 a 在平面 α 外包含两种情况：直线 a 与平面 α 相交、直线 a 与平面 α 平行.当直线 a 与平面 α 相交时， θ∈(0,π2] ，当直线 a 与平面 α 平行时， θ=0 ，所以 θ 的取值范围为 [0,π2] .
故答案为： [0,π2]
15.【考点】空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解答】解：如图，建立直角坐标系，
设正方体边长为2， AM=a ，
则 E(2 ，0， 1) ， M(2 ， a ， 2) ， D(0 ，0， 2) ， F(2 ，2， 1) ，
设平面 DEF 的法向量为 m=(x ， y ， z) ，
EF=(0,2,0),ED1=(−2,0,1) ，
由 m⋅EF=0 ， m⋅D1E=0 ，得 y=0−2x+z=0 ，令 z=2 ， x=1 ，故 m=(1 ，0， 2) ，
由 EM=(0,a,1) ，
设直线 ME 与平面 D1EF 所成角为 α ，
sinα=|cs〈m,EM〉|=21+a2⋅5 ，
因为 a∈[0 ， 2] ，所以当 a=2 时，
sinα 的最小值为 25⋅5=25 ，
故答案为： 25 ．
三．解答题
16.【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解答】（1）取 AB1 中点 E ，连接 DE ， EF ，则 EF ∥ AA1 ， EF=12AA1 ，
因为 AA1//DC1 ， AA1=2DC1 ，
所以 EF//DC1 , EF=DC1 ，所以四边形 EFC1D 为平行四边形，
∴DE//FC1 ，
∵DE⊂ 平面 ADB1 ， FC1⊂ 平面 ADB1 ， ∴FC1// 平面 ADB1
（2）∵AA1⊥ 平面 A1B1C1 ， C1F⊂ 平面 A1B1C1 ，
∴C1F⊥AA1
∵△A1B1C1 是正三角形， F 为 A1B1 的中点
∴C1F⊥A1B1 ，
∵A1B1∩AA1=A1 ， ∴C1F⊥ 平面 AA1B1 ，
∵DE//FC1 ， ∴DE⊥ 平面 AA1B1 ，
∵DE⊂ 平面 ADB1 ，∴平面 ADB1⊥ 平面 AA1B1 .
（3）过点 A1 作 A1G⊥AB1 ，
∵平面 ADB1⊥ 平面 AA1B1 ，平面 ADB1∩ 平面 AA1B1=AB1 ， A1G⊂ 平面 AA1B1 ，
∴A1G⊥ 平面 ADB1 ，
∴∠A1AG 即为直线 A1A 与平面 ADB1 所成角，
∴A1G=AA1⋅A1B1AB1=2×2223=263 ， sin∠A1AG=A1GA1A=33 .
17.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；余弦定理
【解答】（1）证明：∵AB=BC ， E 为 AC 的中点，
∴BE⊥AC ，
又平面 A1ACC1⊥ 平面 ABC ，平面 A1ACC1∩ 平面 ABC=AC ，
∴BE⊥ 平面 A1ACC1 ，
又 A1C⊂ 平面 A1ACC1 ，
∴BE⊥A1C ．
又 BC1⊥A1C ， BE∩BC1=B ，
∴A1C⊥ 面 C1EB ．
（2）∵面 A1ACC1⊥ 面 ABC ，
∴∠C1CA 为直线 C1C 与面 ABC 所成的角．
∵AB=BC=2 ， ∠ACB=30° ， E 为 AC 的中点
∴EC=3,EB=1 ，
∵CC1=EB=2 ， ∠C1CB=60∘ ，
∴BC1=2 ，
∵BE⊥ 平面 A1ACC1
∴BE⊥EC1 ，
∴EC1=3 ，
∴ 在 △CC1E 中，由余弦定理得 cs∠C1CE=33 ，
∴ 直线 CC1 与平面 ABC 所成角的余弦值为 33 .
18.【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解答】（1）解：∵底面 ABCD 为正方形，
∴AD//BC ，
∵AD⊄ 平面 PBC ， BC⊂ 平面 PBC ，
∴AD// 平面 PBC ，
∵平面 ADE 交 PC 于点 G ，
∴ 平面 ADEG∩ 平面 PBC=EG ，
∵AD⊂ 平面 ADEG
∴EG//AD
（2）∵底面 ABCD 为正方形， PA⊥ 底面 ABCD ，
∴AB⊥BC,PA⊥BC ，
∵AB∩PA=A ， AB,PA⊂ 平面 PAB ，
∴BC⊥ 底面 PAB ，
∵AE⊂ 平面 PAB
∴BC⊥AE ，
∵PA=AB ， E 为线段 PB 的中点，
∴AE⊥PB ，
∵PB∩BC=B,PB,BC⊂ 平面 PBC ，
∴AE⊥ 平面 PBC .
（3）连接 EF ，由（2）知 AE⊥ 平面 PBC ，
∴∠AFE 是直线 AF 与平面 PBC 所成的角，
故假设直线 AF 与平面 PBC 所成角的大小可以为 π3 ，
不妨设正方形的边长为 2 ，即 AB=PA=2 ，
∴AE=2
∴sin∠AFE=sinπ3=AEAF=2AF ，解得 AF=263 ，
此时 AF=263∴直线 AF 与平面 PBC 所成角的大小不可以为 π3 .