人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角达标测试

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角达标测试，共14页。试卷主要包含了【考点】直线与平面所成的角，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，【考点】二面角的平面角及求法等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 ABC−A1B1C1 中， AC⊥BC ，若 AA1=2,AB=2 ，当阳马 B−A1ACC1 的体积最大时，堑堵 ABC−A1B1C1 中异面直线 A1C,AB 所成角的大小是（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
2．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=3，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
3．如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 Q 是线段 C1D1 上的动点，点 P 为正方体对角线 AC1 上的动点，若三棱锥 A1−B1PQ 的体积为正方体体积的 19 ，则直线 A1P 与底面 A1B1C1D1 所成角的正切值为（ ）
A．2B．3C．2D．5
4．若正三棱柱 ABC−A1B1C1 的所有棱长都相等，D是 A1C1 的中点，则直线AD与平面 B1DC 所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，直线 AD1 与面 BDD1B1 所成角的正弦为（ ）
A．B．C．D．
6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A．22B．43C．35D．1
7．如图，将边长为 2 的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得AC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（ ）
A．36B．33 B．C．32D．13
8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）
A．23B．33C．23D．63
9．如图，在矩形 ABCD 中，M在线段 AB 上，且 AM=AD=1, AB=3 ，将 ΔADM 沿 DM 翻折．在翻折过程中，记二面角 A−BC−D 的平面角为 θ ，则 tanθ 的最大值为（ ）
A．36B．69C．25D．34
10．平面 α 过正方体 ABCD−A1B1C1D1 的顶点A， α∥ 平面 CB1D1 ， α∩ 平面 ABCD=m ， α∩ 平面 ABB1A1=n ，则m，n所成角的余弦值为（ ）
A．32B．22C．12D．13
二、填空题
11．在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F分别为线段 A1B1 ，AB的中点，O为四棱锥 E−C1D1DC 的外接球的球心，点M，N分别是直线 DD1 ，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为 θ ，则当 θ 最小时， tanθ= .
12．如图，若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的底面边长为3，高为4，则直线 B1D 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .
13．空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF=3，则AD与BC所成的角为
14．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 α ， β ， γ ，则 cs2α+cs2β+cs2γ= ．
15．己知圆锥的底面半径为 1cm ，侧面积为 2πcm2 ，则母线与底面所成角的大小为 .
三、解答题
16．如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面ABCD为直角梯形，其中 AB⊥BC ， AD//BC ， AD=4 ， AP=AB=BC=2 ，E是AD的中点，AC和BE交于点O，且 PO⊥ 平面ABCD．
（1）证明：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求点D到平面PCE的距离．
17．△ABC 的内角 A ， B ， C 所对应的边分别是 a ， b ， c ，且 a=1 ， ccsA=2sinB−csC .
（1）求 A ；
（2）若 A ， B ， C 成等差数列，求 △ABC 的面积.
18．如图所示，在三棱锥 P−ABC 中，平面 PAB⊥ 平面 ABC ， AC⊥CB ， AB=4 ， PA=42 ， ∠PAB=45∘ .
（1）证明： AC⊥ 平面 PCB ；
（2）若二面角 A−PB−C 的平面角的大小为 60∘ ，求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.3 直线与平面的夹角
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】异面直线及其所成的角
【解答】在堑堵 ABC−A1B1C1 中, AA1⊥ 平面 ABC , BC⊂ 平面 ABC
所以 AA1⊥BC ，又 AC⊥BC ，且 AA1∩AC=A ，所以 BC⊥ 平面 ACC1A1
所以阳马 B−A1ACC1 的体积为 V=13SACC1A1×BC=13×AC×AA1×BC=23AC×BC
在直角三角形 ABC 中， 4=AB2=AC2+BC2≥2AC×BC
即 AC×BC≤2 ，当且仅当 AC=BC=2 时取得等号.
所以当 AC=BC=2 时，阳马 B−A1ACC1 的体积取得最大值 223
又 A1B1//AB ,所以 ∠CA1B1 （或其补角）为异面直线 A1C,AB 所成角
B1C=BC2+BB12=2+2=2 , A1C=AC2+AA12=2+2=2
即 A1B1=B1C=A1C=2 ,所以 ∠CA1B1=π3
故答案为：C
2.【考点】直线与平面所成的角
【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．
因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=12CC1=12BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．
过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．
因为AB=1，AC=2，BC=3，所以∠ABC=π2，∠BCA=π6，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=12AC=CF，所以
∠FBG=∠BCA=π6．
故选A．
3.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角
【解答】设正方体的边长为1，连 A1C1 ，在 A1C1 上取一点 H ，
使得 PH∥A1A .由 A1A⊥ 底面 A1B1C1D1 ，得 PH⊥ 底面 A1B1C1D1 ，
直线 A1P 与底面 A1B1C1D1 所成的角为 ∠PA1H ，记为 θ ，
则 VA1−B1PQ=VP−A1B1Q=13PH×SΔA1B1Q=13PH×12=16PH .
又由 VABCD−A1B1C1D1=1 ，则 16PH=19 ，得 PH=23 ，可得 A1H=13A1C1=23 ，
则 tanθ=PHA1H=2323=2
故选A.
4.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解答】取AC的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ．
设三棱柱的棱长为2，则 A(0,−1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2) ，
∴ AD=(0,1,2) ．
设 n=(x,y,z) 为平面 B1CD 的一个法向量，
由 n⋅CD=0n⋅CB1=0，得−y+2z=03x−y+2z=0 故 x=0y=2z
令 z=1 ，得 n=(0,2,1) ．
设直线AD与平面 B1DC 所成角为 α ，
则 sinα=|cs〈AD,n〉|=|AD⋅n||AD|⋅|n|=45⋅5=45 ，
所以直线AD与平面 B1DC 所成角的正弦值为 45 ．
故答案为：A．
5.【考点】直线与平面所成的角
【解答】连接AC交BD于点O，连接 D1O ，
因为 AC⊥BD,DD1⊥AC ，得到 AC⊥平面BB1D1D ，所以 ∠AD1O 为直线 AD1 与面 BDD1B1 所成角，设 AD=2x ，则 AD1=22x,AO=2x ，所以
sin∠AD1O=AOAD1=2x22x=12 ，
故答案为：B。
6.【考点】直线与平面所成的角
【解答】解：连接AC，∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，
∴AA1⊥平面ABCD，
可得：∠ACA1是直线A1C与平面ABCD所成角，
∵△ACA1是直接三角形，AB=4，BC=3，AA1=5，
AC= AB2+BC2=16+9=5 ，
那么：tan∠ACA1= AA1AC=55=1 ，
故选：D．
7.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解答】解：如图所示，图1中，连接AC与BD相交于点O，AC⊥BD，
则OA=OC= 12 AC=1，
图2中，△OAC是等边三角形，OA⊥BD，OC⊥BD，
OA∩OC=O．
∴BD⊥平面OAC，
∴三棱锥A﹣BCD的体积= 13×S△OAC ×BD= 13×34×12×2 = 36 ．
故选：A．
8.【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，
则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，
直角三角形OO1D1中，cs∠O1OD1= O1OOD1 = 162 = 63 ，
故答案为：D．
9.【考点】二面角的平面角及求法
【解答】在平面图中过A作DM的垂线并延长，交DM于 H ,交 DC 于E.在翻折过程中A点在平面BCD上的投影的轨迹就是平面图中的AE.设翻折的角度为 α(α∈(0,π)) ，在平面BCD投影为 A' ，过 A' 作 A'F⊥BC 于F，则 ∠AFA' 即为二面角 A−BC−D 所对的平面角.然后有 AA'=22sinα ， A'F=52+12csα .故 tanθ=22sinα52+12csα=2sinα5+csα = ℎ(α) ，求导得 (2sinα5+csα)'=2[(5csα+cs2α)−sinα(−sinα)](5+csα)2=52(csα+15)(5+csα)2 ,设 csβ=−15 ，当 α∈(0,β) 时， csα>−15 ， ℎ'(α)>0, 函数 ℎ(α) 单调递增，当 α∈(β,π) 时， csα