高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课时练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课时练习，共20页。

1．将正方形ABCD沿着对角线AC折成一个直二面角，此时BD＝2，则边长AB＝（ ）
A．B．1C．D．2
2．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是线段A1C1上一个动点，则下列结论正确的有（ ）
A．不存在M点使得异面直线BM与AC所成角为90°
B．存在M点使得异面直线BM与AC所成角为45°
C．存在M点使得二面角M﹣BD﹣C的平面角为45°
D．当4A1M＝A1C1时，平面BDM截正方体所得的截面面积为
3．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱BC的中点，直线l在平面A1B1C1D1内．若二面角A﹣l﹣E的平面角为θ，则csθ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC；记直线DB与直线AC所成的角为α，直线DC与平面ABD所成的角为β，二面角D﹣BC﹣A的平面角为γ，则（ ）
A．β＜γ＜αB．γ＜β＜αC．β＜α＜γD．α＜γ＜β
5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列说法不正确的是（ ）
A．A1C1⊥BD
B．B1C与BD所成的角为60°
C．二面角A1﹣BC﹣D的平面角为45°
D．AC1与平面ABCD所成的角为45°
6．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在三棱锥P﹣ABC中，顶点P在底面的射影为△ABC的垂心O（O在△ABC内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面α，过BM作平行于AC的截面β，记α，β与底面ABC所成的锐二面角分别为θ1，θ2，若∠PAM＝∠PBM＝θ，则下列说法错误的是（ ）
A．若θ1＝θ2，则AC＝BC
B．若θ1≠θ2，则tanθ1•tanθ2＝
C．θ可能值为
D．当θ的取值最大时，θ1＝θ2
8．在二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝2，则这个二面角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC且AB⊥AC，点E为AA1中点．若平面α过点E，且平面α与直线AB所成角和平面α与平面BCC1B1所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面α有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，已知二面角α﹣l﹣β平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直．已知AB＝1，AC＝BD＝2，则CD＝（ ）
A．5B．13C．D．
二．填空题
11．已知平面α⊥β，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面α，β所成的角都是30°，则这样的直线l有 条．
12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，D为AA1中点，则平面B1DC与平面DCC1夹角的正切值为 ．
13．如图，在四面体A﹣BCD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，，则二面角A﹣CD﹣B的大小为 ．
14．如图，锐二面角α﹣l﹣β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝BD＝6，，则锐二面角α﹣l﹣β的平面角的余弦值是 ．
15．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2），B（2，﹣4），现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为 ．
三．解答题
16．如图，平面ABE⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，BC＝CF＝2，FA＝FB＝2，EA＝EB＝．
（1）证明：DE∥CF；
（2）在AB上是否存在一点P，使得二面角P﹣EC﹣B为直二面角？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
17．如图，四边形ABCD为矩形，AD＝λAB（λ＞1），E为线段AD上一点，且AB＝AE，以BE为折痕把△ABE折起，使得平面ABE⊥平面BCDE，连接CE.
（1）当λ＝2时，证明：CE⊥面ABE；
（2）当λ＝3时，求平面CAE与平面BAE所成锐二面角的余弦值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝2，E，F分别为PD，PC的中点．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.4 二面角
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．
【解答】解：如图，取AC的中点为O，连接OB，OD，
由正方形的性质得△ACD，△ABC为等腰直角三角形，
所以OD⊥AC，OB⊥AC，
所以∠BOD是二面角B﹣AC﹣D的平面角，
因为正方形ABCD沿着对角线AC折成一个直二面角，
所以．
因为△BOD是等腰直角三角形，，
所以，解得AB＝2．
故选：D．
2．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角．
【解答】解：对于A，异面直线BM与AC所成的角可转化为直线BM与A1C1所成角，
当M为A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时BM与AC所成角为90°，故A错误；
对于B，当M与C1或A1重合时，直线BM与AC所成角角最小，为60°，故B错误；
对于C，当M与C1重合时，二面角M﹣BD﹣C的平面角最小，
tan，∴∠C1OC＞45°，故C错误；
对于D，过M作EF∥D1B1，交A1B1于F，交A1D1于E点，
∵4A1M＝A1C1，∴E，F分别A1D1、A1B1的中点，
∵B1D1∥BD，∴EF∥DB，
四边形EFBD即为平面BDM截正方体所得的截面，
∵EF＝D1B1＝，且BF＝DE＝＝，
∴四边形EFBD是等腰梯形，
作FG⊥DB，交BD于G点，
∴BG＝（BD﹣EF）＝，FG＝＝，
∴梯形的面积为（BD+EF）×FG＝，故D正确．
故选：D．
3．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：连接AE，取AE的中点P，过点P作FG⊥AE交CD于点F，交AB于点G，
设正方体棱长为2，由勾股定理可知：，，
同理，取B1C1的中点Q，连接A1Q，取A1Q的中点O，
过点O作MN⊥A1Q交C1D1于点M，交A1B1于点N，
则直线MN即为直线l，此时，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，
因为FG⊂平面ABCD，所以OP⊥FG，因为AE∩OP＝P，所以FG⊥平面AOP，
连接OA，OE，因为OA⊂平面AOP，所以OA⊥FG，
因为MN∥FG，所以OA⊥MN，同理可证：OE⊥MN，
所以∠AOE即为二面角A﹣l﹣E的平面角，
由对称性可知：此角即为二面角A﹣l﹣E的平面角的最大值，
且∠AOE＝2∠AOP，其中OP＝2，
由勾股定理得，所以，
则．
故选：B．
4．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：如图，
把三棱锥D﹣ABC放置在正方体CD中，设正方体的棱长为1，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），
B（0，1，0），D（0，0，1），
∴，，
则csα＝|cs＜＞|＝||＝||＝，则；
由已知可得，DA⊥BC，又AB⊥BC，且DA∩AB＝A，∴CB⊥平面DAB，
则β＝∠CDB，DB＝，DC＝，则csβ＝＞；
由BC⊥平面DAB，得γ＝∠DBA＝，
∴β＜γ＜α．
故选：A．
5．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．
【解答】解：对于A，连接AC，则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；
对于B，因为△A1BD是等边三角形，∠A1DB＝60°，B1C∥A1D，所以B1C与BD所成的角为60°，所以B对；
对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，
∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，
∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，
∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；
对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，
∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误．
故选：D．
6．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（4，0，2），B（4，4，0），C1（0，4，2），
∴＝（0，4，﹣2），＝（﹣4，4，0），
设平面A1BC1的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取z＝2，则＝（1，1，2），
平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），
设平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为θ，
则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为：
csθ＝＝＝．
故选：A．
7．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：对于A，∵BC∥α，由线面平行的性质定理得α∩面ABC＝l1必平行于BC，
又AO⊥BC，∴AO⊥l，
由三垂线定理得∠MAO是平面α与底面ABC所成的锐角，
同理得∠MBO是平面β与底面ABC所成的锐角，即θ1＝∠MAO，θ2＝∠MBO，
∵θ1＝θ2，∴AO＝BO，∴AC＝BC，故A正确；
对于B，tan∠PAM＝tan（∠PAO﹣∠MAO）＝＝，
同理得tan∠PBM＝，
由∠PAM＝∠PBM＝θ，得＝，
化简，得（OA•OB﹣2MO2）（OB﹣OA）＝0，
∵θ1≠θ2，∴AO≠BO，∴OA•OB＝2MO2，
∴tanθ1•tanθ2＝＝，故B正确；
对于C，tanθ＝tan∠PAM＝tan（∠PAO﹣∠MAO）
＝＝≤＝，
∴θ不可能取值为，故C错误；
对于D，由C知tanθ＝tan∠PAM＝tan（∠PAO﹣∠MAO）
＝＝≤＝，
当且仅当OA＝OM时取到最大值；
同理，tanθ＝tan∠PBM＝tan（∠PBO﹣∠MBO）
＝＝≤＝，
当且仅当时取到最大值，
∴OA＝OB，∴θ1＝θ2，故D正确．
故选：C．
8．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝2，
∵，
∴+2，
∵，，
∴，＝0，二面角的大小为θ，
＝cs（180°﹣θ）＝﹣6csθ．
∴8＝4+1+9﹣12csθ，
∴csθ＝，θ＝60°．
故选：C．
9．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：取BB1中点F，连接EF，
则在所有过E点与EF成30°角的平面α，
均与以EF为轴的圆锥相切，
当α在面ADD1A1时，α与面BCC1B1所成角为75°，
当α在面AEE1A1时，α与面BCC1B1所成角为15°，
α过E点绕EF且与EF顾30°角从面AA1D1D开始旋转，
α与面BB1C1C所成角从75°→90°→15°→90°→75°变化，
此过程中，有两次角为30°，
综上，这样的平面α有2个．
故选：B．
10．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：如下图所示，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接CE，
因为BD⊥AB，AE∥BD，则AE⊥BD，
又因为AC⊥AB，AC⊂α，AE⊂β，故二面角α﹣l﹣β的平面角为，
因为四边形ABDE为平行四边形，则AE＝BD＝2，DE＝AB＝1，
因为AC＝2，故△ACE为等边三角形，则CE＝2，
∵DE∥AB，则DE⊥AE，DE⊥AC，∵AC⋂AE＝A，故DE⊥平面ACE，
因为CE⊂平面ACE，则DE⊥CE，故．
故选：C．
二．填空题
11．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：设平面α⋂β＝m，在平面α内作OA⊥m于点O，在平面β内过点O作OB⊥m，
因为平面α⊥β，所以∠AOB＝90°，设OM是∠AOB的角平分线，则∠AOM＝∠BOM＝45°，
过棱m上一点P作PQ∥OM，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，
使得直线l与OB、OA成60°，此时直线l与平面且与平面α，β所成的角都是30°，
同理，在∠AOB的补角∠A′OB一侧也存在2条满足条件的直线l，
所以这样的直线l有4条，
故答案为：4．
12．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得CC1⊥平面A1B1C1，
又∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥B1C1，又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，∴A1C1⊥B1C1，又A1C1∩CC1＝C1，B1C1⊥平面ACC1A1，
∴在Rt△DC1A1中，可得DC1＝＝2，
同理可得DC＝2，∴DC12+DC2＝CC12，∴DC1⊥DC，
又平面B1DC∩平面DCC1＝DC，
所以∠B1DC1为平面B1DC与平面DCC1的平面角，
在Rt△B1C1D中，tan∠B1DC1＝＝，
∴平面B1DC与平面DCC1夹角的正切值为．
故答案为：．
13．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：取CD的中点为O，连接AO，BO，
∵AO⊥CD，BO⊥CD，
∴二面角A﹣CD﹣B的平面角为∠AOB，
∵AB⊥BO，
BO＝＝＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴二面角A﹣CD﹣B的大小为．
故答案为：．
14．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】解：过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接DE，CE，
∵AC⊥AB，
∴BE⊥AB，
∵BD⊥AB，BD∩BE＝B，
∴∠DBE为二面角α﹣l﹣β的平面角，且AB⊥平面DBE，
∴AB⊥DE，则CE⊥DE，
∵AB＝4，CD＝2，
∴DE＝＝2，
∴cs∠EBD＝＝．
锐二面角α﹣l﹣β的平面角的余弦值是．
故答案为：．
15．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．
【解答】解：在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，﹣4），
现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影为C（﹣1，0），
作BD⊥x轴，交x轴于点D（2，0），
所以，
则
＝，
所以．
故答案为：．
三．解答题
16．【考点】二面角的平面角及求法．
【解答】（1）证明：因为EA＝EB，D为AB的中点，所以DE⊥AB，
因为平面ABE⊥平面ABC，平面ABE∩平面ABC＝AB，DE平面ABE，
所以DE⊥平面ABC．
因为，所以BC2+CF2＝FB2，所以CF⊥BC，
同理CF⊥AC．
因为AC∩BC＝C，AC，BC平面ABC，
所以CF⊥平面ABC，
所以DE∥CF．
（2）解：连接CD，则CD⊥AB，由（1）知DE⊥平面ABC，且CD平面ABC，
所以DE⊥CD，所以DB，DC，DE两两垂直．
以DB，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则B（1，0，0），，E（0，0，1），设P（p，0，0）（p≠0），
所以，EB＝（1，0，﹣1），EP＝（p，0，﹣1）．
设平面BCE的一个法向量，则即
令y1＝1，得．
设平面PCE的一个法向量，则即，
令y2＝p，得．
因为二面角P﹣EC﹣B为直二面角，所以，即3+p+3p＝0，所以，
所以点P在线段AD靠近A的四等分点处时，二面角P﹣EC﹣B为直二面角．
17．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【解答】解：（1）证明：当λ＝2时，不妨令AD＝2AB＝2a，则，BC＝2a，
在△BEC中，因为BC2＝BE2+CE2，所以CE⊥BE，
因为平面ABE⊥平面BCDE，且平面ABE∩平面BCDE＝BE，
所以CE⊥平面ABE．
（2）当λ＝3时，不妨令AD＝3AB＝3a，取BC的靠近B的三等分点为F，
取BE中点为O，连接AO，OF，
以O为坐标原点，OB为x轴，OF为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则平面ABE的法向量可记为，
因为，
所以，
设平面AEC的法向量为，
则，
令x＝3，得y＝1，z＝﹣3，所以，
所以，
故锐二面角的余弦值为．
18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，则CD⊥PA，
又底面ABCD为正方形，则CD⊥AD，
因为AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，
故CD⊥平面PAD；
（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），E（0，1，1），F（1，1，1），
所以，
设平面AEF的法向量为，
则，即，
令y＝1，则z＝﹣1，故，
又平面ABCD的一个法向量为，
则＝，
所以平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值为．