人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课后复习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课后复习题，共14页。试卷主要包含了【考点】二面角的平面角及求法，【考点】直线与平面所成的角等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱 B1C1 上靠近 C1 点的三分点，M是棱 CC1 上的动点，则二面角 A−FM−E 的正切值不可能是（ ）
A．3155B．2155C．6D．5
2．在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为1的正方形，异面直线 AB 与 A1C 所成角的大小为 π3 ，则该长方体的表面积与体积的比值是（ ）
A．4+24B．4+23C．4+22D．4+2
3．如图，正方形A1BCD折成直二面角A﹣BD﹣C，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（ ）
A．13B．33C．12D．22
4．在四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D为60°，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成的角为θ，则（ ）
A．θ的最大值为60°B．θ的最小值为60°
C．θ的最大值为30°D．θ的最小值为30°
5．如图，底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着棱AB任意旋转，若AB⊂平面α，M，N分别是AB，CD的中点，AB=2，VA= 5 ，点V在平面α上的射影为点O，则当ON的最大时，二面角C﹣AB﹣O的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
6．给出下列四个命题：①已知 m ， n 表示两条不同的直线， α ， β 表示不同的平面，并且 m⊥α,n⊂β ，则“ α⊥β ”是“ m//n ”的必要不充分条件；②“ 2b=a+c ”是“ a,b,c 成等差数列”的充要条件；③命题“在 △ABC 中， sinA>sinB ，则 A>B ”的逆否命题为真命题；④“若 xy=0 ，则 x=0 且 y=0 ”的逆否命题为真命题．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为∆ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
A．13B．23C．33D．23
8．如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， M ､ N 分别为 AC ， A1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．MN// 平面 ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线 MN 与平面 ABCD 所成角为45°
D．异面直线 MN 与 DD1 所成角为60°
9．三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，高是 3 ，侧棱长为 7 ，那么侧面与底面所成的二面角是( )
A．60°B．30°C．45°D．75°
10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面ABC所成角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
二、填空题
11．若两个球的表面积之比为 1:4 ，则这两个球的体积之比为 ．
12．如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E,F 分别是 CC1,AD 的中点，那么异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于 ．
13．在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1．点M满足 BM=2AM ，则 CM⋅CA = ．
14．已知：如图，在 60° 的二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直 AB ，已知 AB=4,AC=6,BD=8 ，则 CD= ．
15．如图， PA⊥ 平面 ABCD ， ABCD 为正方形，且 PA=AD ， E ， F 分别是线段 PA ， CD 的中点，则异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 ．
三、解答题
16．如图，已知 ABB1A1 是圆柱 OO1 的轴截面， O 、 O1 分别是两底面的圆心， C 是底面圆 O 上异于 A 、 B 的一点，圆柱的体积和侧面积均为 4π ．
（1）求证：平面 ACA1⊥ 平面 BCB1 ；
（2）若二面角 B−A1B1−C 的大小为 60∘ ，求 ∠ABC ．
17．在三棱锥 S−ABC 中， ΔABC 是正三角形，面 SAC⊥ 面 ABC ， AB=4 ， SA=SC=22 ， E 、 F 分别是 AB 、 SB 的中点．
（1）证明： AC⊥SB ；
（2）求二面角 B−CE−F 的余弦值．
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．
（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；
（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.4 二面角
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】用空间向量求平面间的夹角
【解答】取 BC 的中点O，连接 OA ，根据等边三角形的性质可知 OA⊥BC ，
根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则 A(0,33,0),F(1,0,2) ，设 M(3,0,t)(0≤t≤2) .
则 AF=(1,−33,2),FM=(2,0,t−2) .
设平面 AMF 的一个法向量为 m=(x,y,z) ，
则m⋅AF=x−33y+2z=0m⋅FM=2x+(t−2)z=0 ，
令 y=1 ，得 m→=(63−33t6−t,1,636−t) .
平面 FME 的一个法向量是 n=(0,1,0) ，
所以 cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=1(63−33t6−t)2+1+(636−t)2=6−t28t2−120t+252 ，
所以 sin〈m,n〉=1−cs2〈m,n〉=27t2−108t+21628t2−120t+252 ，
所以二面角 A−FM−E 的正切值为：
f(t)=sin⟨m→,n→⟩cs⟨m→,n→⟩=27t2−108t+216(t−6)2
=540⋅1(t−6)2+216⋅1t−6+27 .
因为 0≤t≤2 ，所以 −14≤1t−6≤−16 ， −2162×540=−15
结合二次函数的性质可知：
当 1t−6=−15 时， f(t) 有最小值为 540×125−216×15+27=3155 ；
当 1t−6=−16 时， f(t) 有最大值为 540×136−216×16+27=6 ，
所以 f(t)∈[3155,6] ，
所以二面角 A−FM−E 的正切值不可能是 2155 .
故答案为：B
2.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解答】解：连接B1C，因为AB//A1B1，所以∠B1A1C是异面直线AB与A1C所成角，即∠B1A1C=π3，设长方体 ABCD−A1B1C1D1 的侧棱为a，则在Rt△A1B1C中，A1B1=1，B1C=1+a2，则由tan∠B1A1C=B1CA1B1=1+a21=3得a=2，
则该长方体的表面积为2×1×1+4×1×2=2+42，体积为1×1×2=2
故所求比值为2+422=4+2
故答案为：D
3.【考点】二面角的平面角及求法
【解答】解：∵正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，
连接BD，A1C，相交于O，
则AO⊥BD，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD
∴AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．
设正方形的棱长为1，
则O（0，0，0），A（0，0，22），C（22，0，0），B（0，﹣22，0），D（0，22，0），
OA→=（0，0，22）是平面BCD的一个法向量．
AC→=（22，0，﹣22），BC→=（22，22，0），CD→=（﹣22，22，0）
设平面ACD的法向量n→=（x，y，z），
则，
即
令x=1，则y=1，z=1，
解得n→=（1，1，1）．
从而|cs=n→·OA→n→OA→=223×22=33
二面角A﹣CD﹣B的余弦值为33，
故选：B
4.【考点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解答】解：过A作AM⊥BC，AO⊥平面BCD，垂足为O，连结OM，
则∠AMO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴∠AMO=60°，
在直线BC上任取一点P，连结OP，AP，
则∠APO为直线AP与平面BCD所成的角，即∠APO=θ，
∵AP≥AM，AM•sin60°=AO，AP•sinθ=AO，
∴sinθ≤sin60°，即θ的最大值为60°．
故选A．
5.【考点】二面角的平面角及求法
【解答】解：设∠VMO=θ，
则∵M、N分别是AB、CD的中点，AB=2，VA= 5 ，
∴AM=1，VM= VA2−AM2 = 5−1=4 =2，
MN=BC=AB=2，VN=VM=2，
则三角形VNM为正三角形，则∠NMV=60°，
则OM=2csθ，
在三角形OMN中，
ON2=MN2+OM2﹣2MN•OMcs（60°+θ）=4+4cs2θ﹣2×2×2csθcs（60°+θ）
=4+4cs2θ﹣8csθ（ 12 csθ﹣ 32 sinθ）
=4+4cs2θ﹣4cs2θ+4 3 sinθcsθ
=4+2 3 sin2θ，
∴要使ON最大，则只需要sin2θ=1，即2θ=90°即可，则θ=45°，
此时二面角C﹣AB﹣O的大小∠OMN=60°+θ=60°+45°=105°，
故选：B
6.【考点】四种命题间的逆否关系；等差数列的性质；正弦函数的单调性；直线与平面垂直的性质
【解答】解：对于①，由 m⊥α ， n⊂β ， α⊥β 推出 m//n 或 m ， n 异面，反之若 m//n ，可得 n⊥α ，再由面面垂直的判定定理，推出 α⊥β ，故“ α⊥β ”是“ m//n ”的必要不充分条件，故①正确；
对于②若 2b=a+c ，则 b−a=c−b ，即 a,b,c 成等差数列，若 a,b,c 成等差数列，则 b−a=c−b ，所以 2b=a+c ，故“ 2b=a+c ”是“ a,b,c 成等差数列”的充要条件，故②正确；
对于③命题“在 △ABC 中， sinA>sinB ，则 sin(A+B2+A−B2)>sin(A+B2−A−B2) ，所以 sinA+B2csA−B2+csA+B2sinA−B2>sinA+B2csA−B2−csA+B2sinA−B2 所以 2csA+B2sinA−B2>0 ，因为 A+B∈(0,π) ，所以 A+B2∈(0,π2) ，所以 cs(A+B2)>0 ，所以 sinA−B2>0 ，所以 A>B ，故原命题正确，则其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④，若 xy=0 ，则 x=0 且 y=0 ，为假命题，故其逆否命题为假命题，故④错误；
故正确的有①②③共3个，
故答案为：C
7.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解答】设边长为a，由于侧棱与底面边长相等，可知点A1到底面距离。顶点在底面的射影是底面的中心，故知道顶点与底面构成的是正三棱锥，故，然后由B1到平面的距离等于点A1到平面的距离为6a3，结合直角三角形正弦公式可得，
故选B。
8.【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解答】如图，连结BD，A1D，
由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，
而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，
∴MN∥平面ADD1A1，A符合题意；
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，
∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，B符合题意；
直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，C符合题意；
而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，D不符合题意．
故答案为：D
9.【考点】二面角的平面角及求法
【解答】如图，设O为底面正三角形的中心，则 PO⊥ 平面ABC，所以OC=2。
过O作 OM⊥BC 于M，连PM，则有 PM⊥BC ,
所以 ∠PMO 即为侧面与底面所成的二面角。
在直角 ΔCMO 中， OM=OCsin30°=1 ，
所以在直角 ΔPMO 中， PM=PO2+OM2=2 ，
所以 cs∠PMO=OMPM=12 。
所以 ∠PMO=60° 。
故答案为：A。
10.【考点】直线与平面所成的角
【解答】解：取AC的中点O，连接OM，则BO⊥平面AA1C1C，所以∠MBO为BM与平面ABC所成角．
设正方形的边长为2a，则OM=a，BO= 3 a，∴tan∠MBO= 33
∴∠MBO=30°
故选A．
二．填空题
11.【考点】球的体积和表面积
【解答】解：由求得表面积公式 S=4πR2 得半径比为 1:2 ，由体积公式 V=43πR3 可知体积比为 1:8
故答案为1:8
12.【考点】异面直线及其所成的角
【解答】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则： A1(2,0,2),F(1,0,0),D1(0,0,2),E(0,2,1)A1F=(−1,0,−2),D1E=(0,2,−1) 得直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于 csθ=|A1F⋅D1E|A1F|⋅|D1E||=25
故答案为25
13.【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用
【解答】解：∵点M满足 BM=2AM ，
∴CM = CB + BM = CB +2 BA ，
又∵CA = CB + BA ，
∴CM⋅CA =（ CB +2 BA ）•（ CB + BA ）= CB2 +2 BA2 +3 CB • BA ，
又∵，∠B=90°，AB=BC=1，
∴CM⋅CA = CB2 +2 BA2 +3 CB • BA =1+2+0=3．
故答案为：3．
14.【考点】二面角的平面角及求法
【解答】 CD=CA+AB+BD ，所以 CD2=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2+2(CA⋅AB+CA⋅BD+AB⋅BD)
=16+36+64+2(0+6×8×cs23π+0)=116−48=68 ，所以 |CD|=217 ，
故答案为： 217 。
15.【考点】异面直线及其所成的角；余弦定理的应用
【解答】如图，
取 BC 的中点 G ，连接 FG ， EG ， AG ,则 BD∥FG ，通过异面直线所成角的性质可知 ∠EFG （或其补角）就是异面直线 EF 与 BD 所成的角．
设 AD=2 ，则 EF=EA2+AF2=6 ，同理可得 EG=6 ．
又 FG=12BD=2 ，所以在 △EFG 中， cs∠EFG=EF2+FG2−EG22EF⋅FG=36 ，
故异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 36 ．
故答案为 36
三．解答题
16．【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解答】（1）因为 AA1 是圆柱 OO1 的母线，所以 AA1⊥ 平面 ABC ，
因为 BC⊂ 平面 ABC ，所以 AA1⊥BC ，
因为 C 底面圆 O 上异于 A 、 B 的一点，且 AB 是圆 O 的直径，所以 AC⊥BC ，
因为 AA1∩AC=A ，所以 BC⊥ 平面 ACA1 ，
因为 BC⊂ 平面 BCB1 ，所以平面 ACA1⊥ 平面 BCB1 ；
（2）设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，
因为圆柱 OO1 的体积和侧面积均为 4π ，所以 2πrl=4ππr2l=4π ，解得： r=2 ， l=1 ，
即 AB=4 ， AA1=1 ，
以 O 为原点， OB 、 OO1 所在直线分别为 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系 O−xyz ，
则 B(0,2,0) 、 B1(0,2,1) 、 A1(0,−2,1) ，
设点 C(x,y,0),(x2+y2=4) ，所以 A1C=(x,y+2,−1) ， B1C=(x,y−2,−1) ，
设平面 A1B1C 的一个法向量为 n=(a,b,c) ，
由 n⋅A1C=0n⋅B1C=0 ，可得 ax+b(y+2)−c=0ax+b(y−2)−c=0 ，变形可得 b=0ax−c=0 ，
取 a=1 ，可得 c=x ， b=0 ，则 n=(1,0,x) ，平面 A1B1B 的一个法向量为 m=(1,0,0) ，
因为二面角 B−A1B1−C 的值为 60∘ ，
所以 |cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=11+x2=12 ，解得 x=±3 ，则 y=±1 .
若点 C 的坐标为 (±3,−1,0) 时，则 AC=(±3−0)2+(−1+2)2+(0−0)2=2 ，
sin∠ABC=ACAB=12 ，
因为 ∠ABC 为锐角，此时 ∠ABC=30∘ ；
若点 C 的坐标为 (±3,1,0) 时，则 AC=(±3−0)2+(1+2)2+(0−0)2=23 ，
sin∠ABC=ACAB=32 ，
因为 ∠ABC 为锐角，此时 ∠ABC=60∘ .
综上所述， ∠ABC=30∘ 或 60∘ .
17.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解答】（1）解：取 AC 的中点 O ，连接 OS 、 OB ，
∵SA=SC ， AB=BC ， ∴AC⊥SO 且 AC⊥BO ．
又 ∵SO∩CO=O ， ∴AC⊥ 面 SBO ，又 SB⊂ 面 SBO ， ∴AC⊥SB ；
（2）解：由面 SAC⊥ 面 ABC ，平面 SAC∩ 平面 ABC=AC ， SO⊥AC ， SO⊂ 平面 SAC ，可得 SO⊥ 面 ABC .
故以 O 为坐标原点，分别以 OA 、 OB 、 OS 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，
建立如图所示空间直角坐标系：
则 A(2,0,0) ， B(0,23,0) ， C(−2,0,0) ， S(0,0,2)∴E(1,3,0) ， F(0,3,1) .
∴CE=(3,3,0) ， CF=(2,3,1) ，设 n=(x,y,z) 为平面EFC的一个法向量
由 n⋅CE=0n⋅CF=0⇒3x+3y=02x+3y+z=0 ，取 x=1 ，则 y=−3 ， z=1 ． ∴n=(1,−3,1) .
又 OS=(0,0,2) 为面 ABC 的一个法向量，由 cs〈n,OS〉=25×2=55
如图知二面角 B−CE−F 的余弦值为 55 .
18.【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解答】（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，
∴AF⊥BC．
又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴面ABC⊥面BB1C1C，
∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．
设AB=AA1=1，则 B1F=62 ，EF= 32 ， B1E=32 ．
∴B1F2+EF2 = B1E2 ，∴B1F⊥EF．
又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．
而B1F⊂面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF
（2）解：以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系如图，
设AB=AA1=1，
则F（0，0，0），A（ (22，0，0) ），B1（0，﹣ 22 ，1），E（0，﹣ 22 ， 12 ），
AE=(−22，−22，12) ， AB1 =（﹣ 22 ， 22 ，1）．
由（1）知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：
m=FB1 =（0， 22 ，1）．
设平面B1AE的法向量为 n=(x，y，z) ，
由 n⋅AE=−22x−22y+12z=0n⋅AB1=−22x+22y+z=0 ，
取x=3，得 n=(3，−1，22) ．
设二面角B1﹣AE﹣F的大小为θ，
则csθ=|cs＜ m，n ＞|=| −22+22(−22)2+1⋅32+(−1)2+(22)2 |= 66 ．
由图可知θ为锐角，
∴所求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为 66 ．