高中数学1.2.5 空间中的距离课后作业题

这是一份高中数学1.2.5 空间中的距离课后作业题，共13页。试卷主要包含了【考点】点、线、面间的距离计算等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E､F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD⊥CE
B．BD⊥ 面CEF
C．三角形BEF和三角形CEF的面积相等
D．三棱锥B-CEF的体积为定值
2．在三棱锥 P−ABC 中， PA=PB=3 ， BC=42 ， AC=8 ， AB⊥BC ，平面 PAB⊥ 平面 ABC ，若球 O 是三棱锥 P−ABC 的外接球，则球 O 的半径为（ ）．
A．1132B．932C．652D．322
3．直三棱柱 ABC−A1B1C1 的侧棱 CC1=3 ，底面 △ABC 中， ∠ACB=90∘ ， AC=BC=2 ，则点 B1 到平面 A1BC 的距离为（ ）
A．31111B．2211C．3211D．32211
4．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 π2 ，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．13B．33C．23D．63
5．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为底面正方形对角线的交点，P为棱CC1上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是（ ）
A．BD⊥平面PCE
B．|A1E|=6
C．当AC1//平面BDP时，P为CC1的中点
D．∠BPD的取值范围为(π4,π2)
6．已知在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2 ， CC1=22 ， E 为 CC1 的中点，则点 C1 与平面 BDE 的距离为（ ）
A．2B．3C．2D．1
7．在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， DA=DC=1 ， DD1=2 ，分别在对角线 A1D ， CD1 上取点M，N，使得直线 MN// 平面 A1ACC1 ，则线段MN长的最小值为 ()
A．12B．23C．22D．2
8．若平面α的一个法向量为 n= （1，2，1），A（1，0，﹣1），B（0，﹣1，1），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）
A．1B．66C．33D．13
9．如图，棱长为2正方体 ABCD−A1B1C1D1 ， O 为底面 AC 的中心，点 P 在侧面 BC1 内运动且 D1O⊥OP ，则点 P 到底面 AC 的距离与它到点 B 的距离之和最小是（ ）
A．85B．125C．5D．22
10．三棱锥 S−ABC 中， SA⊥ 底面ABC， SA=4 ， AB=3 ，D为AB的中点， ∠ABC=90° ，则点D到面 SBC 的距离等于（ ）
A．125B．95C．65D．35
二、填空题
11．棱长为a的正方体 ABCD−A1B1C1D1 的顶点A到截面 B1CD 的距离等于 .
12．如图，在三棱锥 A−BCD 中， AD⊥ 底面 BCD ， BD⊥DC,AD=BD=DC=1 ，则点 D 到平面 ABC 的距离 ℎ= .
13．已知三棱锥S­-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-­ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为 ．
14．在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2 ， AD=1 ， AA1=1 ，那么顶点 B1 到平面 ACD1 的距离为 ．
15．如图，在棱长为2的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E ， F 分别为棱 AA1 、 BB1 的中点， M 为棱 A1B1 上的一点，且 A1M=λ(0<λ<2) ，设点 N 为 ME 的中点，则点N到平面 D1EF 的距离为 .
三、解答题
16．如图，四棱锥 P−ABCD 底面是矩形， PA⊥ 平面 ABCD ， PA=AB=2 ， BC=4 ， E 是 PD 的中点．
（1）求证：平面 PDC⊥ 平面 PAD ；
（2）求点 B 到平面 EAC 的距离．
17．在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2BB1=2 ， P 为 B1C1 的中点.
（1）求直线 AC 与平面 ABP 所成的角；
（2）求点 B 到平面 APC 的距离.
18．如图，在四棱锥 P−ABCD 中，已知 PC⊥ 底面 ABCD ， AB⊥AD ， AB//CD ， AB=2 ， AD=CD=1 ， E 是 PB 中点.
（1）求证:平面 EAC⊥ 平面 PBC ；
（2）若四棱锥 P−ABCD 的体积为1，求点 B 到平面 EAC 的距离.
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.5 空间中的距离
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】 BD⊥ 面 ACC1A1 ， CE⊂ 面 ACC1A1 ，面 CEF 与面 ACC1A1 重合，所以A，B均正确，
B 到 EF 的距离为 △BA1C1 的高， C 到 EF 的距离即为 CC1 ，所以 △BEF 的面积大于 △CEF 的面积， C不符合题意；
B 点到面 CEF 的距离为定值，为 BD2 长， △CEF 的面积也为定值， D符合题意.
故答案为：C.
2.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】解：取AB中点D，AC中点E，连PD，ED
因为 AB⊥BC ，所以E为△ ABC 外接圆的圆心
因为OE∥PD，OE不包含于平面 PAB ，所以OE∥平面 PAB
因为平面 PAB⊥ 平面 ABC ， PA=PB=3 ，得PD ⊥ AB，ED ⊥ AB
所以PD ⊥ 平面 ABC ，ED ⊥ 平面 PAB
且 AB=AC2−BC2=42 ， PD=1
所以球心 O 到平面 PAB 的距离等于 d=ED=22
在△ PAB 中， PA=PB=3 ， AB=42 ，所以 sin∠PAB=13 ，
所以△ PAB 得外接圆半径 2r=PBsin∠PAB=9 ，即 r=92
由勾股定理可得球 O 的半径 R=d2+r2=1132
故答案为：A.
3.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】因为三棱柱 ABC−A1B1C1 是直三棱锥，所以 CC1⊥ 平面 A1B1C1 ，
所以 CC1⊥A1C1 ，
又因为 ∠ACB=90∘ ，所以 A1C1=B1C1 ，
因为 CC1∩B1C1=C1 ，
所以 A1C1⊥ 平面 B1BC ，
所以 VA1−B1BC=13×S△B1BC×A1C1=13×12×2×3×2=1 ，
因为 BC⊥AC ， BC⊥CC1 ， AC∩CC1=C ，所以 BC⊥ 平面 ACC1A1 ，
所以 BC⊥A1C ， A1C=(2)2+32=11 ， S△A1BC=12×2×11=222 ，
设点 B1 到平面 A1BC 的距离为 ℎ ，
则 VB1−A1BC=VA1−B1BC ，即 VB1−A1BC=13×S△A1BC×ℎ=13×222×ℎ=1 ，
所以 ℎ=32211 ，
所以点 B1 到平面 A1BC 的距离为 32211 ，
故答案为：D
4.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设 O1 为ABC所在平面截球所得圆的圆心，
∵OA=OB=OC=1 ，且 OA⊥OB⊥OC ， ∴AB=BC=CA=2 ．
∴O1 为 △ABC 的中心 .∴O1A=63 ．由 OO12+O1A2=OA2 ，可得 OO1=33 ．
故答案为：B．
5.【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解答】对于A，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC；
由正方体的性质知：CC1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC1，
∵AC,CC1⊂平面PCE，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面PCE，A符合题意；
对于B，A1E=AA12+AE2=4+2=6，B符合题意；
对于C，当AC1//平面BDP时，PE//AC1，可得P为CC1的中点，C符合题意；
对于D， 因为PD=PB=PC2+4，所以三角形PDE是等腰三角形，而E为底面正方形对角线的交点，所以BD⊥PE,∠BPD=2∠BPE，
tan∠BPE=EBEP=EBEC2+PC2=2PC2+2，由0故答案为：D.
6.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解答】如图所示，连接 AC 交 BD 于 O 点，
∵E 为 CC1 的中点， ∴OE//AC1 ，又 OE⊂ 平面 BED ， AC1⊄ 平面 BED
∴AC1// 平面 BED ，即直线 AC1 与平面 BED 的距离为点 A 到平面 BED 的距离，设为 ℎ .
在三棱锥 E−ABD 中， VE−ABD=13SΔABD⋅EC=13×12×2×2×2=223 ，
在三棱锥 A−EBD 中，
BD=22,BE=6,DE=6,∴S△EBD=12×22×6−2=22 ，
所以 VA−BDE=13SΔEBD⋅ℎ=13×22⋅ℎ=223 ，解得 ℎ=1
故答案为：D.
7.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】作 MM1⊥AD 于点 M1 ，作 NN1⊥CD 于点 N1 ，
∵ 线段MN平行于对角面 ACC1A1 ， ∴M1N1//AC ．
设 DM1=DN1=x ，则 MM1=2x ， NN1=2−2x ，
在直角梯形 MNN1M1 中，
MN2=(2x)2+(2−4x)2=18(x−49)2+49 ，
∴ 当 x=49 时，MN的最小值为 23 ．
故答案为：B．
8.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】 AB=(−1,−1,2) ，根据点到平面的距离公式可得点A到平面α的距离为
|AB⋅n||n|=|−1×1+(−1)×2+2×1|12+22+12=66 。
故答案为：B
9.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】取 BB1 中点 F ，连接 AC,FA,FC,BD ,则 △D1DO∼△OBF ， D1O⊥OF ，
又 AC⊥ 平面 BDD1B1 ， D1O⊂ 平面 BDD1B1 ，
所以 AC⊥D1O ， AC∩OF=O ， D1O⊥ 平面 ACF ，
因为 D1O⊥OP ，所以 OP⊂ 平面 ACF ， P∈ 平面 ACF
因为点 P 在侧面 BC1 内，所以 P∈ 平面 ACF∩ 平面 BCC1B1=CF ；
在平面 BCC1B1 内作 B 关于直线 FC 对称的点 B′ ，连接 B′F,B′C ， PB,PB′
则 △BCF≅△B′CF ， PB=PB′
所以 B′F=1 ， B′C=2 ，作 PH⊥BC ，
则 PB+PH=PB′+PH
当 B′ 、 P 、 H 三点共线时， PB+PH 取最小值，
此时因为 BB1⊥CF ， △B′BH∼△CFB ，
所以 B′H=2BH ， HC=2−BH ，
Rt△B′HC 中， HC2+B′H2=B′C2 ，
即 (2−BH)2+(2BH)2=22 ，得 BH=45 ，故 B′H=85 ，
即点 P 到底面 AC 的距离与它到点 B 的距离之和最小是 85 .
故答案为：A.
10.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】如图，
在三角形 SAB 中，过A作AE⊥SB交SB于E，
因为 SA⊥ 面 ABC ，所以 SA⊥BC ，又 AB⊥BC ， SA∩AB=A ，所以 BC⊥ 面 SAB ，因为 AE⊂ 面 SAB ，所以 BC⊥AE ，而AE⊥SB，且 BC∩SB=B ，所以AE⊥面SBC.
在三角形SAB中，由勾股定理易得 SB=5 ，则由等面积法可得： AE=125 ，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为： 65 。
故答案为：C.
二．填空题
11.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】解：如图所示，
在三棱锥 B1−ACD 中， BB1 是三棱锥 B1−ACD 的高， AB=AD=BB1=a ，
在 ΔB1CD 中， B1C=2a , DC=a , B1D=3a ,所以 ΔB1CD 是直角三角形
∵VB1−ACD=VA−B1CD ， SΔB1CD=12×2a×a=22a2 ，设点 A 到 B1CD 的距离为 d
∴13×12a2⋅a=13×22a2⋅d ，
∴d=2a2 .
A到平面 A1BD 的距离为 2a2
故答案为： 2a2
12.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】解：因为 AD⊥ 底面 BCD ， BD⊂ 底面 BCD ， DC⊂ 底面 BCD ，所以 AD⊥BD ， AD⊥DC ， 因为 BD⊥DC,AD=BD=DC=1 ，所以 AC=BC=AB=12+12=2
所以 S△BCD=12×1×1=12 ， S△ABC=12×2×(2)2−(22)2=32
设点 D 到平面 ABC 的距离为 ℎ ，则 VA−BCD=VD−ABC ，即 13AD⋅S△BCD=13ℎS△ABC ，
所 13×12×1=13ℎ×32 ，解得 ℎ=33
故答案为： 33
13.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】由已知，可将三棱锥 S−ABC 放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面 ABC 距离最大的点应该在过球心且和面 ABC 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则 2r=23 ，则点到面 ABC 距离的最大值为 23(2r)=23(23)=433 ，
故答案为 433 。
14.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解答】如下图所示：
三棱锥 B1−ACD1 的体积为 VB1−ACD1=VABCD−A1B1C1D1−4VA−A1B1D1=1×2×1−4×13×12×1×2×1=23 .
在 RtΔADD1 中，由勾股定理得 AD1=AD2+DD12=2 ，同理可得 AC=CD1=5 ，
取 AD1 的中点 E ，连接 CE ，则 CE⊥AD1 ，由勾股定理得 CE=AC2−AE2=322 .
所以， ΔACD1 的面积为 SΔACD1=12AD1⋅CE=12×2×322=32 .
设点 B1 到平面 ACD1 的距离为 ℎ ，则 VB1−ACD1=13SΔACD1⋅ℎ=13×32×ℎ=23 ，解的 ℎ=43 .
因此，点 B1 到平面 ACD1 的距离为 43 .
故答案为： 43 .
15.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】由题意，以 D 为原点，分别以 DA,DC,DD1 所在的直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，
则 E(2,0,1),M(2,λ,2),N(2,λ2,32),D1(0,0,2),F(2,2,1) ，
可得 EF=(0,2,0),EN=(0,λ2,12),ED1=(−2,0,1) ，
设平面 D1EF 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，
则 n⋅EF=2y=0n⋅ED1=−2x+z=0 ，令 x=1 ，可得 n=(1,0,2) ，
所以点N到平面 D1EF 的距离 d=|n⋅EN||n|=15=55 .
故答案为： 55 .
三．解答题
16.【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；余弦定理
【解答】（1）证明：∵PA⊥ 平面 ABCD,CD⊂ 平面 ABCD ，
∴PA⊥CD ，∵ABCD 是矩形，∴AD⊥CD ，而 PA∩AD=A ，
∴CD⊥ 平面 PAD,CD⊂ 平面 PDC ，∴平面 PDC⊥ 平面 PAD ．
（2）解：连结 BE ，在三棱锥 B−AEC 中， SΔABC=12AB×BC=12×2×4=4 ，
在 ΔAEC 中， AE=12PD=5,EC=CD2+DE2=3,AC=CD2+AD2=25 ，
∴cs∠EAC=AE2+AC2−CE22AE·AC=45 ，∴sin∠EAC=35 ，
∴SΔAEC=12AC×AE×sin∠EAC=12×25×5×35=3 ，
点 E 到底面 BAC 的距离 EO=1 ，（ O 为 AD 的中点），
则由 VB−AEC=VE−ABC ，即 13SΔAECℎB=13SΔABC×EO ，
13×3×ℎB=13×4×1 ，求得 ℎB=43 ，
所以 B 点到平面 EAC 的距离是 43 ．
17．【考点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解答】（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系
则 A(2,0,0) ， C(0,2,0) ， B(2,2,0) ， P(1,2,1) ，
所以 AC=(−2,2,0) ， AB=(0,2,0) ， AP=(−1,2,1) ．
设平面 ABP 的法向量为 m=(x,y,z) ，
则 m⋅AB=0m⋅AP=0 ，化为 2y=0−x+2y+z=0 ，
令 x=1 ，解得 y=0 ， z=1 ．
∴m=(1,0,1) ．
设直线 AC 与平面 ABP 所成的角为 θ ，则 sinθ=|csθ|=|m⋅AC||m||AC|=22⋅8=12 ，
因为 θ∈[0,π2]
∴ 直线 AC 与平面 ABP 所成的角为 30° ．
（2）设平面 APC 的法向量 n=(x0 ， y0 ， z0) ，
则 n⋅AP=0n⋅AC=0 ， ∴−x0+2y0+z0=0−2x0+2y0=0 ，令 x0=1 ，解得 y0=1 ， z0=−1 ．
∴n=(1,1,−1) ．
∴ 点 B 到平面 APC 的距离 d=|n⋅AB||n|=23=233 ．
18.【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解答】（1）证明； PC⊥ 平面 ABCD ， AC⊂ 平面 ABCD ，得 AC⊥PC ．
又 AD=CD=1 ．在 RtΔADC ，得 AC=2 ，
设 AB 中点为 G ，连接 CG ．
则四边形 ADCG 为边长为1的正方形，
所以 CG⊥AB ，且 BC=2 ，
因为 AC2+BC2=AB2 ，所以 AC⊥BC ，
又因为 BC∩PC=C ，所以 AC⊥ 平面 PBC ，又 AC⊂ 平面 EAC ．
所以平面 EAC⊥ 平面 PBC ．
（2）解：因为 PC⊥ 平面 ABCD ，所以 PC 就是四棱锥 P−ABCD 的高，设 PC=a ，
因为 AB⊥AD ， AB//CD ，所以四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形，
因为 VP−ABCD=13SABCD⋅PC=13×12(CD+AB)×AD×PC=a2=1 ，所以得 a=2 .
在直角三角形 PCB 中， PB=PC2+BC2=4+2=6 ， CE=12PB=62 ，
因为 PC⊥ 平面 ABCD ，又 PC⊂ 平面 PCB ，所以平面 PBC⊥ 平面 ABCD ，
在平面 PBC 内过点 E 作 BC 的垂线 EF ，交 BC 于点 F ，
则 EF⊥ 平面 ABCD ，且 EF=12PC=1 .
在四面体 E−ABC 中，设 B 到平面 EAC 的距离为 ℎ ，则 VE−ABC=VB−EAC ，
即 SΔEAC⋅ℎ=SΔABC⋅EF ，所以有 AC⋅CE⋅ℎ=AC⋅CB⋅EF ，得 ℎ=CB⋅EFCE=233 ，所以点 B 到平面 EAC 的距离为 233 .