数学选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离综合训练题

这是一份数学选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离综合训练题，共15页。试卷主要包含了【考点】点、线、面间的距离计算，【考点】异面直线及其所成的角等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知平面 α 的一个法向量 n=(2,2,−1) ，点 A(0,1,−3) 在平面 α 内，则点 P(2,−3,−2) 到平面 α 的距离为（ ）
A．3B．17C．53D．21
2．△ABC中，AB=6，AC=8，∠BAC=90°，△ABC所在平面α外一点P到点A、B、C的距离都是13，则P到平面α的距离为（ ）
A．7B．9C．12D．13
3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）
A．23B．33C．23D．63
4．如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB = 1 ，若二面角 C - AB - C1 的大小为 60°，则点 C 到平面 ABC1 的距离为（ ）
A．34B．43C．35D．53
5．如图所示，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2AA1 ， P ， Q 分别是 AD 和 BD 的中点，则异面直线 D1P 与 B1Q 所成的角为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
6．如图，正方体 ABCD−A'B'C'D' 的棱长为2，动点E，F在棱上 D'C' .点G是AB的中点，动点P在 A'A 棱上，若 EF=1,D'E=m,AP=n ，则三棱锥 P−EFG 的体积（ ）
A．与 都有关B．与 都无关
C．与 有关，与 无关D．与 有关，与 无关
7．已知球面上 A ， B ， C 三点，如果 AB=BC=AC=3 ，且球的体积为 2053π ，则球心到平面 ABC 的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．2
8．在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， M 是棱 AA1 的中点， G 在线段 B1M 上，且 D1G⊥B1M ，则三棱锥 M−A1D1G 的体积为（ ）
A．415B．15C．215D．115
9．如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧棱长为4， AC=BC=2 ， ∠ACB=90° ，点D是 A1B1 的中点，F是侧面 AA1B1B (含边界)上的动点.要使 AB1⊥ 平面 C1DF ，则线段 C1F 的长的最大值为（ ）
A．5B．22C．13D．25
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题
11．长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=4 ， AD=AA1=6 ，点 P 满足 DP=λDD1+μDA ，其中 λ∈[0,1] ， μ∈[0,1] .若 λ+μ=1 ，则三棱锥 B−C1DP 的体积为 ；若 M 为 CD 的中点，且 ∠APB=∠DPM ，则点 P 的轨迹与长方体的侧面 ADD1A1 的交线长为 .
12．如图，二面角 α−l−β 为 135° ， A∈α ， B∈β ，过 A ， B 分别作 l 的垂线，垂足分别为 C ， D ，若 AC=1 ， BD=2 ， CD=2 ，则 AB 的长度为 .
13．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为45°，则| AC1 |= ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形A1BCD.
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得A1C⊥BD；
②在翻折过程中，三棱锥A1−BCD的体积不大于14；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是 .
15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的点），且满足|PB|+|PD1|=2，则点P的个数为
三、解答题
16．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E是棱PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．
17．如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD ， AB=BC=2 ， AD=CD=7 ， PA=3 ， ∠ABC=120° . G 为线段 PC 的中点.
（1）证明： BD⊥ 面 PAC ；
（2）求 DG 与平面 APC 所成的角的正弦值.
18．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.
（1）求证:PA//平面MBD.
（2）试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.5 空间中的距离
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】由已知条件可得 AP=(2,−4,1) ，故点 P 到平面 α 的距离为 d=|AP⋅n||n|=53 。
故答案为：C.
2.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】解：∵Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC= 62+82 =10，
∵△ABC所在平面α外的一点P到三个顶点A、B、C的距离都为13，
点P在α内的射影是O，
∴AO=BO=CO，
∴Rt△ABC的外心是O，故O是BC的中点，
∴AO=BO=CO=5，
∴PO= 132−52 =12．
故选：C．
3.【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，
则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，
直角三角形OO1D1中，cs∠O1OD1= O1OOD1 = 162 = 63 ，
故答案为：D．
4.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，
过C作CD⊥AB，D为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，∠C1DC＝60°，CD =32 ，
则C1D =3 ，CC1=32 ，在△CC1D中，过C作CE⊥C1D，
则CE为点C到平面ABC1的距离，CE =32⋅323=34 ，
所以点C到平面ABC1的距离为 34 ．
故答案为：A
5.【考点】异面直线及其所成的角
【解答】如下图，取D1C1中点M，连接MQ，PQ，MB1
∵P,Q 分别时AD和BD的中点， ∴PQ//AB，PQ=12AB∵M为D1C1的中点，又 AB=D1C1，AB//D1C1∴PQ=D1M，PQ//D1M
∴ 四边形 QPD1M 是平行四边形， ∴D1P//MQ
∴∠MQB1 为异面直线 D1P 与 B1Q 所成角.
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AB=2AA1=2a，可得：
MQ=D1P=PD2+DD12=a2+a2=2a ，
B1Q=BQ2+BB12=2a2+a2=3a ，
MB1=MC12+B1C12=a2+4a2=5a
∴MQ2+B1Q2=MB12∴∠MQB1=90° ，
即异面直线 D1P 与 B1Q 所成角为90° ，A符合题意，BCD不符合题意.
故答案为：A
6.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系
【解答】连接 AD',A'D ，则 AD'=22,A'D⊥ 平面 ABC'D' ，
∴AA' 与平面 ABC'D' 所成的角为 ∠A'AD'=45∘ ，
∴P 到平面 ABC'D' 的距离 d=AP⋅sin45∘=2n2 ，
∵SΔEFG=12×EF×AD'=2 ，
∴ 三棱锥 P−EFG 的体积 V=13⋅SEFG⋅d=n3 ，
故答案为：D.·
7.【考点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解答】设球的半径 R ：则 V=43πR3=2053π ，所以 R=5 ，
设 △ABC 外接圆的半径 r ，则由 2r=3sin600=2 ，所以 r=1 ，
而 R2=(OO′)2+r2 ，即 5=(OO′)2+1 ，
所以 OO′=2
故答案为：D
8.【考点】数量积的坐标表达式；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解答】如图，以 A1 为原点，分别以 A1B1,A1D1,A1A 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，
则 B1(2,0,0),D1(0,2,0),M(0,0,1) ，所以 B1M=(−2,0,1) ，
设 B1G=λB1M ，则 B1G=(−2λ,0,λ) ，所以 G(2−2λ,0,λ) ，所以 D1G=(2−2λ,−2,λ) ，
因为 D1G⊥B1M ，所以 D1G⋅B1M=0 ，
所以 −2(2−2λ)+0×(−2)+λ=0 ，解得 λ=45 ，
所以 G(25,0,45) ，所以点 G 到平面 A1D1M 的距离为 d=25 ，
所以 VM−A1D1G=VG−A1D1M=13S△A1D1M⋅d=13×12A1D1⋅A1M⋅d=13×12×2×1×25=215
故答案为：C
9.【考点】点、线、面间的距离计算
【解答】由题,当 AB1⊥ 平面 C1DF 时 AB1⊥DF ,
故F在边界 BB1 时 C1F 取最大值,此时因为 AB1⊥DF ,
故 ∠FDB1+∠AB1A1=∠B1AA1+∠AB1A1=90°，
故 ∠FDB1=∠B1AA1 ，故 tan∠FDB1=tan∠B1AA1 ，
即 FB1DB1=A1B1AA1⇒FB1=A1B1⋅DB1AA1=22+22×22+2224=1