河南省郑州多所中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平测试数学试题

这是一份河南省郑州多所中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平测试数学试题，共8页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章～第七章第1节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A.36种B.20种C.12种D.10种
2.若，则（ ）
A.6B.8C.9D.10
3.函数在点处切线的斜率为（ ）
A.B.C.1D.0
4.将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ）
A.56B.112C.126D.504
5.若函数在上单调递增，则实数的最大值为（ ）
A.B.0C.1D.2
6.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”.甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）
A.96种B.132种C.168种D.204种
7.已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ）
A.B.
C.D.
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设，，且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A.在上单调递减B.有极小值
C.有2个极值点D.在处取得最大值
10.已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
11.若，则下列结论中正确的是（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则______.
13.某食品加工厂生产一种食品的生产线有甲、乙、丙三个，其次品率分别为6%，5%，4%，假设这三个生产线的产量之比为2:3:5，则从这三个生产线生产的食品中随机抽取1件食品为次品的概率为______.
14.若，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步步骤
15.（本小题满分13分）
已知二项式，且.
（1）求的展开式中的第5项；
（2）求的二项式系数最大的项.
16.（本小题满分15分）
晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
17.（本小题满分15分）
已知函数，且当时，有极值.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
18.（本小题满分17分）
已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：当时，.
19.（本小题满分17分）
学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球.从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球.多次摸球直到摸出白球时试验结束.假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为.
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下.
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
高二期中学业水平测试·数学
参考答案、提示及评分细则
1. C 依题意，不同的选法共有种.故选C.
2. B 因为，所以，即，所以.
故选B.
3. D 由于，所以.故选D.
4. A 将9个名额排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，有种方法.故选A.
5. D 函数，求导得，由在上单调递增，得，，又恒有，则，又时，，在上单调递增，所以实数的最大值为2.故选D.
6. C 依题意可知，每个景点至少1人，至多3人，甲、乙都单独1人去一个景点，则有种.故选C.
7. B 令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以.故选B.
8. D 由二项式定理，得
，
因为能够被7整除，被7除余3，则，又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，所以.故选D.
9. AB 由的图象可知时，，则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；当时，，则单调递增，所以，在处不能取得最大值，故D错误.故选AB.
10. AC 因为，所以，A正确；，B错误；，C正确；，D错误.故选AC.
11. ABD 令，，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，即，所以，故A正确；设，，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，即，所以，故B正确；令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，即，即，即，所以，故C错误；令，，则，令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，即，，所以，故D正确.故选ABD.
12. ，则，故，
解得，，所以.
13. 4.7% 记事件：选取的食品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得，，，，，，由全概率的公式可得
，从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为4.7%.
14. 4或16 因为，所以，
又，所以，所以或.
15.解：由，得，即，解得或（舍去）.
的二项式通项为.
（1）当时，，所以的展开式中的第5项为.
（2）因为是，，…，中最大的，所以第4项的二项式系数最大，
，所以的二项式系数最大的项是.
16.解：（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：先排第1个节目，有种安排方法，再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，最后余下的节目随便排，有种排法，由分步计数原理得共种排法.
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，故种排法.
（3）前3个节目共三种情况：一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，有种排法，故共有种排法.
17.解：（1）由，得，
又当时，有极值，所以解得
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当时，有极小值.
所以.
（2）由（1）知.令，得，，
，的值随的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为.
18.（1）解：由题意知的定义域为，，
当时，令，得，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，，
令，则，
令，则，因为，所以，，
所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，
所以在单调递减，
所以，即.
19.解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，摸出红球”为事件.
（1）.
所以摸球一次就试验结束的概率为.
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为.
②由①，得，
所以方案一中取到白球的概率为
，
方案二中取到白球的概率为
，
因为，所以方案二中取到白球的概率更大，
即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
3
4
＋
0
－
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增