甘肃省庆阳市西峰区黄官寨实验学校2023-2024学年七年级下学期3月第一次考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. πB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数和无理数的定义即可判断．
【详解】解：A、π是无理数，故符合题意；
B、是分数，是有理数，故不合题意；
C、是分数，是有理数，故不合题意；
D、，是整数，是有理数，故不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数，掌握有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数是关键．
2. 下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根和立方根及平方根的定义求解可得．
【详解】解：A．，此选项错误；
B．=3，此选项错误；
C．=4，此选项错误；
D. ，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题关键是掌握算术平方根和立方根及平方根的定义．
3. 说明“若a是实数，则”是假命题，可以举的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的乘方法则求出，判断即可．
【详解】解：A、当时，此时，不符合题意；
B、当时，此时，不符合题意；
C、当时，此时，符合题意；
D、当时，此时，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A. 26°B. 36°C. 44°D. 54°
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．
【详解】解： EO⊥CD，
，
，
．
故选：B ．
【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．
5. 如图，已知，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同旁内角互补可判定，从而由平行线的性质可求的度数．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
6. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】B
【解析】
【分析】利用“夹逼法”得出在哪两个可化为整数的二次根式之间，即可得答案.
【详解】∵25＜29＜36，
∴5＜＜6，即5和6之间，
故选B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法.
7. 下列选项图形中，已知，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A．∵，∴，故不符合题意；
B．∵，∴，故符合题意；
C．由不能得到，故不符合题意；
D．由不能得到任何两条直线平行，故不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置，，，，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．由可得即可求解．
【详解】解∶平移距离为3，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故选C．
9. 观察下列各式：
①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可．
【详解】根据题意，第n个等式为
＝
∴＝＝
故选择：C．
【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．
10. 如图，则与的数量关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．
【详解】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．
12. 如图，要把水渠AB中的水引到水池C中，需要在渠岸AB处开挖，为了使所挖水最短，工人过C点作CD⊥AB于D，此时，他们将CD作为水沟，其做法的道理是___
【答案】垂线段最短
【解析】
【详解】试题分析：仔细分析图形特征根据垂线段最短的性质求解即可．
由图可得他们将CD作为水沟，其做法的道理是垂线段最短．
考点：垂线段最短
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂线段最短的性质，即可完成．
13. 如果互为相反数，那么x2+y=______.
【答案】7
【解析】
【分析】互为相反数，即两个式子和为0，列出方程，根据非负性求出x、y的值，代入代数式计算即可．
【详解】解： 和互为相反数

解得x＝3，y＝－2
所以x2＋y＝32－2＝7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了相反数的性质、非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14. 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是______．

【答案】##
【解析】
【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可．
【详解】解：由题意，该圆沿数轴向左滚动1周的距离为个单位长度，
则该圆沿数轴向左滚动1周时，点A的对应点表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数与数轴、圆的周长公式，理解数与数轴上的点的对应关系是解答的关键．
15. 已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是______度．
【答案】35或55
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，分两种情况讨论，，在同侧，，在异侧，利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求解即可．清晰的分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图1所示，∵，，
∴，
∵为的平分线，
∴；

如图2所示，∵，，

∴，
∴
∵为的平分线，
∴；
综上所述，或；
故答案为：35或55．
三、解答题（本大题共8个题，共75分）
16. 计算：
（1）|3|．
（2）3（x+2）2＝12．
【答案】（1）-1 （2）x1＝0，x2＝﹣4
【解析】
【分析】（1）化简立方根，绝对值，算术平方根，然后先算乘方，再算加减，有小括号先算小括号里面的；
（2）利用平方根的概念解方程．
【小问1详解】
解：原式＝﹣3+3（3﹣2）2
＝﹣3+31
＝﹣1；
【小问2详解】
解：3（x+2）2＝12，
（x+2）2＝4，
x+2＝±2，
x+2＝2，x+2＝﹣2，
∴x1＝0，x2＝﹣4．
【点睛】本题主要考查了实数的计算，解方程，解决问题的关键是熟练掌握立方根定义，绝对值化简法则，算术平方根定义，乘方法则，加减法则，利用平方根的概念解方程．
17. 已知的立方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的立方根．
【答案】
【解析】
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，然后代入代数式求值，最后求得平方根即可．
【详解】解：∵的立方根是3，的平方根是4，
∴，，解得：，，
∵，
∴，
∴的整数部分是3，
∴，
∴，
∴的立方根是．
【点睛】本题主要考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，根据题意确定a、b、c的值是解答本题的关键．
18. 已知，如图，点C在直线上，点F在直线上，，，，求证．完成下面证明过程并注明推理依据．
证明：（已知），
______（____________）．
（已知），
______（____________）．
（____________），
（等角的性质），
即______＝______．
（______）．
（______）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定完成填空即可求解．
【详解】证明∶(已知)，
(两直线平行，同位角相等；)．
(已知)，
(等量代换)．
(已知)，
(等式的性质)，
即，
(等量代换)，
(内错角相等，两直线平行)
19. 如图，在网格图中，平移三角形使点A平移到点D，且点的对应点分别为
（1）画出平移后的三角形；
（2）连接，直接写出与的位置关系．
【答案】（1）见详解 （2）与的位置关系是
【解析】
【分析】本题考查作图—平移变换，平移的性质，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，图形平移后，对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等，解决本题的关键是掌握平移的性质．
（1）根据点A和点D的位置可得三角形向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，由此即可画出平移后的三角形；
（2）连接，根据平移的性质可得线段与的位置关系．
【小问1详解】
解：平移三角形使点A平移到点D，
由点A和点D的位置可得，三角形向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，
如图即为平移后的三角形，
【小问2详解】
连接，如图：
由平移的性质可得：线段与的位置关系：，
故与的位置关系是．
20. 在一次数学活动课中，小明同学用一根绳子围成一个长与宽之比为，面积为的长方形．
（1）求长方形的长和宽．
（2）他用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于（1）中长方形的面积．他说：“围成的正方形的边长与长方形的宽之差大于．”请你判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）长为，宽为
（2）小明的说法正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意设长方形的长为，宽为，则，再求解即可；
（2）设正方形的边长为，根据题意可得，，利用平方根的含义先解方程，再比较与2的大小即可．
【小问1详解】
解：根据题意设长方形的长为，宽为，
则，
即，
，
，
，
答：长方形的长为，宽为；
【小问2详解】
设正方形的边长为，根据题意可得，
，
，
，
长方形的宽为，
正方形的边长与长方形的宽之差为：，
，
，
所以他的说法正确．
【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确地列出方程或代数式是解本题的关键．
21. 如图，直线、相交于点O，射线在内，．

（1）若平分，求的度数；
（2）若比大，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对顶角性质得到，根据角平分线定义得到，根据邻补角性质得到，即得；
（2）根据，，得到，根据，得到．
小问1详解】
∵，与为对顶角，

∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
【小问2详解】
由（1）知：， ，
又∵比大，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线，邻补角等，解决问题的关键是熟练掌握角平分线定义，邻补角定义．
22 观察下列计算过程，猜想立方根．
，，，，，，，，；
（1）小明是这样试求出立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根；
（2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①______，②______．
【答案】（1）7，2 （2），
【解析】
【分析】分别根据题中所给的分析方法，先求出这几个数的立方根的个位数，再求出十位数，即可得出结论．
【小问1详解】
∵的个位数是3，而末位数为3，
∴猜想的立方根的个位数为7，
又∵，
∴猜想的立方根的十位数为2，
验证：，
故答案为7，2；
【小问2详解】
①∵的个位数是9，而末位数为9，
∴猜想的立方根的个位数为9，
又∵，
∴猜想的立方根的十位数为4，
验证：；
②∵的末位数是1，而，
∴猜想的立方根的末位数为1，
又∵，
∴猜想的立方根的十分位数为8，
验证：；
故答案为，；
【点睛】本题主要考查了立方和立方根，理解一个数的立方以后的个位数，就是这个数的个位数的立方以后的个位数是解题的关键，有一定难度．
23. 已知，射线BC∥射线OA，∠C=∠BAO=100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OC∥AB；
（2）若点E、F在线段BC上，且满足∠EOB=∠AOB，并且OF平分∠BOC，
①如图②，若∠AOB=30°，则∠EOF的度数等于多少（直接写出答案即可）；
②若平行移动AB，当∠BOC=6∠EOF时，求∠ABO．
【答案】（1）证明见解析；（2）Ⅰ）∠EOF=5°；Ⅱ）∠ABO=48°或60°.
【解析】
【分析】（1）只要证明∠COA+∠OAB=180°即可；
（2）Ⅰ）如图②，根据∠EOF=∠COF-∠COE，只要求出∠COF，∠COE即可；
Ⅱ）分两种情况进行求解，一.设∠EOF=x，则∠BOC=6x，∠BOF=3x，∠BOE=∠AOB=4x，构建方程即可解决问题；二.设∠EOF=x，则∠BOC=6x，∠BOF=3x，∠BOE=∠AOB=2x，构建方程即可解决问题；
【详解】（1）∵BC∥OA，
∴∠C+∠COA=180°，∠BAO+∠ABC=180°，
∵∠C=∠BAO=100°，
∴∠COA=∠ABC=80°，
∴∠COA+∠OAB=180°，
∴OC∥AB．
（2）Ⅰ）∵∠AOB=∠EOB=30°，∠AOC=50°，
∴∠COE=80°﹣60°=20°，∠COB=80°﹣30°=50°，
∵CF平分∠COB，
∴∠COF=∠COB=25°，
∴∠EOF=25°﹣20°=5°，
Ⅱ）第一种情况，如图2，设∠EOF=x，则∠BOC=6x，∠BOF=3x，∠BOE=∠AOB=4x，
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB=180°，
∴4x+6x+100°=180°，
∴x=8°，
∴∠ABO=∠BOC=6x=48°．
第二种情况，如下图，
设∠EOF=x，则∠BOC=6x，∠BOF=3x，∠BOE=∠AOB=2x，
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB=180°，
∴2x+6x+100°=180°，
∴x=10°，
∴∠ABO=∠BOC=6x=60°．
所以综上所述，∠ABO=48°或60°．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用此时构建方程解决问题，属于中考常考题型．