江苏省苏州市振华中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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数学试卷（2024．04）
一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2. 下列调查最适合于普查的是（ ）
A. 新生入学，班主任需要统计全班同学的身高、体重以便确定校服尺寸
B. 市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类
C. 华为公司要检测一款新手机的待机时长
D. 调查全市人民对政府服务的满意程度
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，熟练掌握调查的知识点是解题的关键．
根据普查的定义逐一判断即可．
【详解】解：A中总体容量较小，适合用普查，符合题意；
B和D中总体容量较大，适合用抽查，不符合题意；
C中检测具有损毁性，适合抽查，不符合题意；
故选：A．
3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质；
根据菱形和矩形的性质即可判断；
【详解】解：因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等；
菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：D．
4. 如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（ ）

A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知, △PAO的面积=, 再根据图象所在象限求出k的值既可.
【详解】依据比例系数k的几何意义可得, △PAO的面积=.
即=2解得,k=4,
由于函数图象位于第一、三象限,
故k=4,
故选:C.
【点睛】本题主要考查对反比例函数的性质,理解k的几何意义结合图像的象限可得出答案..
5. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）
A. 10B. 18C. 20D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形对角线互相平分和勾股定理是解题的关键．可求得，，由求，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
故选：C．
6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
【详解】解：分两种情况：
当时，函数的图象经过一三四象限，的图象分布在一三象限；
当时，函数的图象经过一二四象限，的图象分布在二四象限；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
7. 如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴． 二、四象限角平分线所在直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与图形结合问题，熟练掌握时直线与轴所夹锐角为是解题的关键．
根据图中的信息求出的长，
【详解】解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，
∴，
当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：
由图可得，
∵直线为二四象限角平分线，
∴直线与的夹角为，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
故选：A．
8. 在平面直角坐标系中，我们规定对于不在坐标轴上的任意一点，把点称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点,均在反比例函数的图象上，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设点设点，，则，，再代入反比例函数式子进行解答即可．
【详解】解：设点，，则，，
∵，
∴，即，
∵均在反比例函数图象上，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
二． 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 成语“水中捞月”属于_________事件． (填“必然”，“不可能”，“不确定”)
【答案】不可能
【解析】
【分析】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类，进行判断即可．
【详解】解：成语“水中捞月”反映的事件是不可能事件；
故答案为：不可能．
10. 抛掷一枚均匀的硬币，前5次都正面朝上，则第6次正面朝上的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的意义解答．
【详解】∵硬币由正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能，∴第6次正面朝上的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义并明确硬币只有正反两个面是解决本题的关键．
11. 为了记录近阶段气温的变化情况，应选用_________统计图． (填“条形”、“折线”或“扇形”)
【答案】折线
【解析】
【分析】本题主要考查统计图的选择，解题的关键是熟练掌握三种统计图的各自特点．根据三种统计图的各自的优点：扇形统计图能表示部分在总体中所占的百分比．条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，折线统计图的能清楚地反映事物的变化情况，据此解答可得．
【详解】解：因为折线统计图能表示出气温的变化情况，
所以为了记录近阶段气温的变化情况，最好选用的统计图是折线统计图，
故答案为：折线．
12. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是______．
【答案】##k大于9
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质：当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，由此列不等式即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限，
，
解得，
故答案为：．
13. 如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
(两直线平行内错角相等)，
在与中，
∴()
∴
∴．
故答案为：20．
14. 如图，点为反比例函上的一点，点为轴负半轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点． 若点恰好也在反比例函数的图象上，且点的横坐标是点横坐标的两倍，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查反比例函数综合，解题的关键是熟知全等三角形的性质及反比例函数的图像与性质．作轴，轴，根据题意证明，根据，得到B点坐标，再根据B点坐标在反比例函数上即可求出k的值．
【详解】解：如图，作轴，轴，
∵将线段绕点A逆时针旋转
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，C点的横坐标是A点横坐标的两倍，
∴，即，
∴，
∴
∵B在反比例函数上
∴
解得舍去
故答案为：．
15. 如图，已知正方形中，点在边上，把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则_________________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，再根据旋转的性质可得AF＝AE，然后利用“HL”证明Rt△ABF和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝DE，再求出正方形的边长为3，然后分点F在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．
【详解】解:
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
由旋转的性质得，AF＝AE，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
AF＝AE
AB＝AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴BF＝DE＝2，
∵DE＝2，EC＝1，
∴正方形的边长为2＋1＝3，
①点F在线段BC上时，FC＝3−2＝1，
∴EF＝；
②点F在CB的延长线上时，FC＝3＋2＝5，
∴EF′＝，
综上所述，EF的长为
或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出全等三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
16. 如图，位于第二象限，,，直角顶点在直线上，且点的横坐标为，边、分别平行于轴、轴．若双曲线与 的边有个公共点，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题，根据所给的信息观察图象是解题的关键．
利用的横坐标为，代入后求出的坐标，再根据,，可得和的坐标，设直线与的交点坐标为，求出的坐标后，观察图象即可得到结果．
【详解】解：∵的横坐标为，
∴把代入可得：，
∴，
∵,，
∴，，
设直线与的交点坐标为，则为的中点，如图所示：
∴，
反比例函数图象经过或时，，
反比例函数经过点时，，
由图像可得：双曲线与 的边有个公共点，则的取值范围为；
故答案为：．
三． 解答题（本大题共11小题，共68分）
17. 把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张． 下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
（1）抽到的牌的点数是8；
（2）抽到的牌的点数小于6；
（3）抽到的牌是黑桃；
（4）抽到的牌是红桃．
【答案】（4）是必然事件，（3）是不可能事件，（1）、（2）是随机事件；按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）
【解析】
【分析】此题主要考查了可能性大小以及事件的名称，正确求出各事件发生的概率是解题关键．利用必然事件、不可能事件、随机事件的定义分析，再分别求出发生的概率．
【详解】解：（1）抽到的牌的点数是8的概率为：，是随机事件；
（2）抽到的牌的点数小于6的概率为：，是随机事件；
（3）抽到的牌是黑桃，是不可能事件，发生的概率为0；
（4）抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的概率为1，
故（4）是必然事件，（3）是不可能事件，（1）、（2）是随机事件；
按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）．
18. 已知函数为反比例函数．
（1）求k的值；
（2）求出时，y的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的定义及反比例函数的性质，根据题意求出的值是解题的关键．
（1）根据反比例函数的定义得出关于的方程和不等式，求出的值即可；
（2）根据（1）中的值得出反比例函数的解析式，再求出和时的值即可．
【小问1详解】
解：函数为反比例函数
且，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
反比例函数的解析式为，
当时，；当时，，
时，．
19. 在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动，活动中为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，学生会在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择并且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了___名学生．
（2）求扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校有名学生，请估计喜欢B类书籍的学生约有多少名？
【答案】（1）
（2），统计图见解析
（3）估计喜欢B类书籍的学生约有人
【解析】
【分析】（1）利用A类的学生人数和人数占比即可求出总人数；
（2）用乘以D类的人数占比即可求出对应的圆心角度数；先求出C类的学生人数，然后补全统计图即可；
（3）用乘以样本中B类的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：人，
∴这次调查中，一共调查了名学生，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
∴D所在的扇形圆心角的度数为，
人，
∴C类的学生人数为人，
补全统计图如下所示：
【小问3详解】
解：人，
∴估计喜欢B类书籍的学生约有人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
20. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2．
（2）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标________；
（3）已知P为x轴上一点．若△ABP的面积为3，直接写出点P的坐标________；
【答案】（1）见详解；（2）（0，2）；（3）（−1，0）或（−5，0）
【解析】
【分析】（1）利用中心对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，描点得到△A1B1C1，利用点平移的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2；
（2）连接AA2、BB2、CC2，它们相交于Q点，则Q点为对称中心，进而即可得到坐标；
（3）设P点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t＋3|×3＝3，然后解得P点坐标．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所作；
（2）如图，△A2B2C2与△ABC关于Q点成中心对称，Q点坐标为（0，2），
故答案为（0，2）；
（3）设P点坐标为（t，0），
∵△ABP的面积为3，
∴×|t＋3|×3＝3，解得t1＝－1，t2＝－5，
∴P点坐标为（－1，0）或（－5，0）．
故答案为（－1，0）或（－5，0）．
【点睛】本题考查了图形与坐标−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
21. 王老师将8个黑球和若干个红球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色(有放回)，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）补全上表中的有关数据；
（2）“摸到红球”的概率的估计值是 ；(精确到0.1)
（3）试估算袋子中红球的个数？
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查频率的计算，用频率估计概率，根据概率公式列方程求解等知识，掌握频率和概率的关系是解题的关键．
（1）用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得摸到红球的概率；
（2）大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；
（3）用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数．
【小问1详解】
解： 填表如下：
故答案为：；；
小问2详解】
观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数附近，
故“摸到红球”的概率的估计值是．
答：概率为；
【小问3详解】
设袋子中红球的个数为x，则有，
解得：(个)．
答：估算袋子中口袋中约有红球个．
22. 如图所示，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，，与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）直接写出：不等式的解集是______；
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据点，利用待定系数法可得反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）根据点的坐标，结合函数图像即可得；
（3）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得．
【小问1详解】
解：点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：不等式表示一次函数的图像位于反比例函数的图像的上方，
则不等式的解集为或，
故答案为：或．
【小问3详解】
解：对于一次函数，
当时，，即，
则，
所以的面积为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
23. 已知，如图，在中，点、分别在、上，且．

求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定定理即可证明；
（2）由（1）知，则，利用平行四边形的判定定理即可得出结论．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，，
在与
，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴即，
四边形平行四边形，
∴，
四边形是平行四边形．
24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点、．

（1）填空：的值为 ；的值为 ；点的坐标为 ．
（2）求的面积．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识点，灵活求出各点的坐标是解题的关键．
（1）把点代入即可得到的值；求出点的坐标后代入即可求；设点，则，把点代入反比例函数中即可求出的值得到点的坐标；
（2）延长交轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点的坐标，再利用三角形的面积差求解即可．
【小问1详解】
解：∵点在直线上，
∴把，代入得：，
解得：，
∴，
∵点在反比例函数上，
把，代入得：，
解得：，
∴，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴把和分别代入可得：，
解得：，
∴，，
∵，四边形是平行四边形，
∴点向上平移个单位，向右平移个单位可得到，
设点，则，
把代入可得：，
解得：，
∴，；
【小问2详解】
延长交轴于点，如图所示：

设直线的解析式为，
把和的坐标代入可得：，
解得：，
∴，
把代入可得：，
解得：，
∴，
，，，
∴
．
25. 如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键．
（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得，根据直角三角形得到，设，则，由勾股定理求得，从而列得关于x的方程，求解即可．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴
，，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
的长为3．
26. 六•一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2=6（单位：平方米）．OG=GH=HI．
（1）求S1和S3的值；
（2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；
（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？
【答案】（1）；（2）；（3）17.
【解析】
【分析】（1）矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等列方程组求解即可.
（2）由道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积相等列式可得.
（3）把区域MPOQN内满足条件的点一一列出即可求解.
【详解】解：（1）∵矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等，且OG=GH=HI，
∴.
又∵S2=6，
∴，
解得.
（2）∵点T是弯道MN上的任一点，
∴根据弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积相等得.
∴y关于x的函数关系式为.
（3）∵MP=2，NQ=3，
∴当x=2时，y=18；
∵横坐标、纵坐标都是偶数，
∴当x=4，6，8，10时，
y=9，6，.
∴区域MPOQN内满足条件的点为（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（2，14），（2，16），（4，2），（4，4），（4，6），（4，8），（6，2），（6，4），（8，2），（8，4），（10，2），计17个.
考点：1.反比例函数综合题；2.由实际问题列函数关系式；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.点的坐标；5.分类思想和方程思想的应用.
27. （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 ；
（2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明，可得出和数量关系，即可得出结论；
（2）将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则，，，再证明得到，从而利用勾股定理得到，即；
（3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，利用，证明，，再证明是直角三角形即可．
【详解】解：（1）结论：；
理由：绕点逆时针旋转，得到，，
，，
，，
，
、、三点共线，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
在正方形中，，
将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图，
，
又，，
，
，，
四边形是菱形，，
，
，
，，
，
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【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
摸球的次数
摸到红球的次数
摸到红球的频率
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