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辽宁省大连市金州高级中学2023~2024学年高二下学期4月月考数学试卷（原卷版+解析版）
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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
满分150分；考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
2. 等差数列满足，，则（ ）
A. 2008B. 2010C. 2024D. 2025
3. 在和两数之间插入2023个数，使它们与，组成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
4. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，蜘蛛网是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的周长是m，第n个正方形的周长为，侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为，则下面选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知为数列前n项和，且满足，则（ ）
A. 100B. 130C. 150D. 200
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2024B. 2025C. D.
7. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，，是数列的前n项和，则（ ）
A 510B. 508C. 1013D. 1011
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列为周期数列
C. 数列单调递增数列D. 数列为常数列
10. 观察下表中的数字排列规律，若表示第m行，第n个数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等差数列B. 数列是等比数列
C. D.
11. 现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（ ）
A. 堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管
B. 堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10
C. 堆放成正三角形垛用的钢管数为190根
D. 若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛
12. 设二次方程有二个实根和，且满足，则下面说法中正确的是（ ）
A. 数列满足B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列D. 若时，则
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 数列满足，，则______．
14. 已知数列的通项公式，则最小的项是第______项．
15. 已知数列的前n项和为，若，，则______．
16. 在等差数列中，当时，必定是常数数列．然而在等比数列中，对某些正整数，当时，非常数数列的一个例子是____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的第8项及前20项和；
（2）问数列的前多少项和最小，最小值是多少？
18. 已知等比数列的前n项和为，且的前3项和为，的前6项和为78．
（1）求数列的通项公式及前n项和；
（2）若数列为首项为1，公比为3等比数列，求数列的前n项和．
19. （1）若数列满足，，求；
（2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：．
20. 2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元．
（1）问创新公司第几年开始获利？
（2）经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？
21. 设数列的前n项和为，已知，，，是数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足的最大正整数n的值．
22. 已知是等差数列，，且的前n项和为，，且成等比数列，点在上．
（1）求及；
（2）判断是否存在正整数m、k使得、、成等比数列．若存在，求出所有m、k值；若不存在，请说明理由．
1
…………第1行
2 2
…………第2行
3 4 3
…………第3行
4 7 7 4
…………第4行
5 11 14 11 5
…………第5行
6 16 25 25 16 6
…………第6行
…………
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
满分150分；考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
2. 等差数列满足，，则（ ）
A. 2008B. 2010C. 2024D. 2025
3. 在和两数之间插入2023个数，使它们与，组成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
4. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，蜘蛛网是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的周长是m，第n个正方形的周长为，侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为，则下面选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知为数列前n项和，且满足，则（ ）
A. 100B. 130C. 150D. 200
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2024B. 2025C. D.
7. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，，是数列的前n项和，则（ ）
A 510B. 508C. 1013D. 1011
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列为周期数列
C. 数列单调递增数列D. 数列为常数列
10. 观察下表中的数字排列规律，若表示第m行，第n个数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等差数列B. 数列是等比数列
C. D.
11. 现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（ ）
A. 堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管
B. 堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10
C. 堆放成正三角形垛用的钢管数为190根
D. 若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛
12. 设二次方程有二个实根和，且满足，则下面说法中正确的是（ ）
A. 数列满足B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列D. 若时，则
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 数列满足，，则______．
14. 已知数列的通项公式，则最小的项是第______项．
15. 已知数列的前n项和为，若，，则______．
16. 在等差数列中，当时，必定是常数数列．然而在等比数列中，对某些正整数，当时，非常数数列的一个例子是____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的第8项及前20项和；
（2）问数列的前多少项和最小，最小值是多少？
18. 已知等比数列的前n项和为，且的前3项和为，的前6项和为78．
（1）求数列的通项公式及前n项和；
（2）若数列为首项为1，公比为3等比数列，求数列的前n项和．
19. （1）若数列满足，，求；
（2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：．
20. 2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元．
（1）问创新公司第几年开始获利？
（2）经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？
21. 设数列的前n项和为，已知，，，是数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足的最大正整数n的值．
22. 已知是等差数列，，且的前n项和为，，且成等比数列，点在上．
（1）求及；
（2）判断是否存在正整数m、k使得、、成等比数列．若存在，求出所有m、k值；若不存在，请说明理由．
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