2022-2023学年北京交大附中高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京交大附中高二（下）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）数列1，23，35，47，59⋯的一个通项公式是（ ）
A．an=n2n+1B．an=n2n-1C．an=n2n-3D．an=n2n+3
2．（4分）若函数f（x）＝3x+sin2x，则（ ）
A．f′（x）＝3xln3+2cs2xB．f′（x）＝3x+2cs2x
C．f′（x）＝3xln3+cs2xD．f′（x）＝3xln3﹣cs2x
3．（4分）二项式（x+2）7的展开式中含x5项的系数是（ ）
A．21B．35C．84D．280
4．（4分）函数f（x）＝x﹣2lnx+1的单调递减区间为（ ）
A．（0，2）B．（0，e）C．（1e，+∞）D．（2，+∞）
5．（4分）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为（ ）
A．v1＜v2＜v3B．v1＜v3＜v2
C．v3＜v2＜v1D．v2＜v3＜v1
6．（4分）定义在区间[-12，4]上的函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．函数f（x）在区间（0，4）单调递增
B．函数f（x）在区间(-12，0)单调递减
C．函数f（x）在x＝0处取得极小值
D．函数f（x）在x＝3处取得极小值
7．（4分）已知曲线y＝aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（ ）
A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1
8．（4分）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
9．（4分）已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0ln(x+1)，x＞0，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]
10．（4分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．440B．330C．220D．110
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 ．（用数字作答）
12．（5分）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，则a2b2= ．
13．（5分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于 ．
14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为 ．
（多选）15．（5分）设函数f（x）=x+e|x|x，则下列选项正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）的图象关于点（0，1）对称
C．f（x）的最小值为e+1
D．若f(x)f(x)-1=k有两个不等实根，则1-1e＜k＜1+1e，且k≠1
三、解答题：本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．已知等差数列{an}满足a3＝﹣9，a10＝5．
（1）①求公差d；
②求数列{an}的通项公式；
③设数列{an}的前n项和为Sn，求使得Sn最小的n的值．
（2）若数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
①求数列{bn}的通项公式；
②求数列{bn}的前n项和Tn．
17．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．
（1）当a＝3时，求f（x）的单调性和极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若a＞0，求f（x）在区间[0，1]的最小值．
18．已知函数f（x）＝x2﹣1与函数g（x）＝alnx（a≠0）．
（1）若f（x），g（x）的图像在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；
（2）设F（x）＝f（x）﹣2g（x）．
①求函数F（x）的极值；
②试判断函数F（x）零点的个数．
19．已知f（x）＝x﹣aex，a∈R．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上存在极值，求a的取值范围；
（3）设g（x）＝f（2﹣x），在（2）的条件下，试判断函数g（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并说明理由．
20．已知二次函数f（x）＝x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn＝f（n）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn＝（3）an+5，cn=6bn2+bn+1-bnbnbn+1，{cn}的前n项和为Tn，若Tn＞2n+t对任意n∈N，n≥2恒成立，求实数t的取值范围．
2022-2023学年北京交大附中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【解答】解：1=11，由数列11，23，35，47，59⋯，观察到：分子为项数n，分母为奇数2n﹣1．
可得的一个通项公式是an=n2n-1．
故选：B．
2．【解答】解：因为f（x）＝3x+sin2x，所以f′（x）＝（3x）′+（sin2x）′＝3xln3+2cs2x．
故选：A．
3．【解答】解：二项式（x+2）7的展开式中含x5项的系数∁75×22＝84．
故选：C．
4．【解答】由题可知，函数定义域为（0，+∞），
由f′(x)=1-2x＜0，
解得0＜x＜2，
所以函数单调递减区间为（0，2）．
故选：A．
5．【解答】解：v1=s(t1)-s(t0)t1-t0，v2=s(t2)-s(t1)t2-t1，v3=s(t3)-s(t2)t3-t2，
可以看作两点间连线的斜率，
所以v1＜v2＜v3．
故选：A．
6．【解答】解：由题意可知x∈（-12，0）时，f′（x）＜0，函数是减函数，
x∈（0，4）时，f′（x）＞0，函数是增函数，所以A、B、C正确，
D不正确；
故选：D．
7．【解答】解：y′＝aex+lnx+1，
k＝y′|x＝1＝ae+1＝2，∴a＝e﹣1
将（1，1）代入y＝2x+b，得2+b＝1，b＝﹣1．
故选：D．
8．【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，
若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：当首项为2，q=-12时，各项为2，﹣1，12，-14，…，此时2+（﹣1）＝1＞0，12+（-14）=14＞0；
而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，
故选：C．
9．【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，
由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，
求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，
故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]
故选：D．
10．【解答】解：方法一、设该数列为{an}，设bn=a(n-1)n2+1+⋯+an(n+1)2=2n﹣1，（n∈N+），则i=1n bi=i=1n(n+1)2 ai，
由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，
可知当N为n(n+1)2时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由29×302=435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．
B项，仿上可知25×262=325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知20×212=210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知14×152=105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．
故选A．
方法二：由题意可知：20︸第一项，20，21第二项，20，21，22第三项，⋯20，21，22，⋯，2n-1第n项，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N＝1+2+3+…+n=(1+n)n2，
所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n=2(1-2n)1-2-n＝2n+1﹣2﹣n，
由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有(1+1)×12+2＝3，不满足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有(1+5)×52+3＝18，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有(1+13)×132+4＝95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有(1+29)×292+5＝440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选：A．
方法三、要使k(k+1)2＞100，有k≥14，此时k+2＜2k+1，
∴k+2是之后的等比数列1，2，…，2k+1的部分和，
即k+2＝1+2+...+2s﹣1＝2s﹣1，∴k＝2s﹣3≥14，s的最小值为5，
此时k＝25﹣3＝29．
对应最小的满足条件的N=29×302+5=440．
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．【解答】解：因为涂成红色的方格数为偶数，即涂成红色的方格数为0，或2，
3个格涂一种颜色，有2种，（全黄或全蓝）
3个格涂2颜色且涂0个红色时，C21C32＝6种，
3格涂2颜色且涂2个红色时，C21C32＝6种，
根据分类计数原理，可得共有2+6+6＝14种，
故答案为：14．
12．【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
可得：8＝﹣1+3d，d＝3，a2＝2；
8＝﹣q3，解得q＝﹣2，∴b2＝2．
可得a2b2=1．
故答案为：1．
13．【解答】解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4＝9，a2a3＝8，
可得a1a4＝8，解得a1＝1，a4＝8，
∴8＝1×q3，q＝2，
数列{an}的前n项和为：1-2n1-2=2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
14．【解答】解：设F（x）＝f（x）﹣（2x+4），
则F（﹣1）＝f（﹣1）﹣（﹣2+4）＝2﹣2＝0，
又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）＝f′（x）﹣2＞0，
即F（x）在R上单调递增，
则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．
故答案为：（﹣1，+∞）
15．【解答】解：根据题意，f（x）=x+e|x|x=1+exx，x＞01+e-xx，x＜0，
据此依次分析选项：
对于A，f（1）＝1+e，f（﹣1）＝1﹣e，f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函数，A错误；
对于B，f（x）=1+exx，x＞01+e-xx，x＜0，有f（x）+f（﹣x）＝2，则f（x）的图象关于点（0，1）对称，B正确；
对于C，f（﹣1）＝1﹣e＜1+e，则f（x）的最小值不是e+1，C错误；
对于D，f（x）=x+e|x|x，则f(x)f(x)-1=1+e|x|x1+e|x|-1x=1+xe|x|，
设g（x）=xe|x|，（x≠0），则g（﹣x）=-xe|x|=-g（x），则函数g（x）为奇函数，
当x＞0时，g（x）=xex，其导数g′（x）=1-xex，
在区间（0，1）上，g（x）为增函数，在区间（1，+∞）上，g（x）为减函数，
则在区间（0，+∞）上，有0＜g（x）＜g（1）=1e，
则在区间（﹣∞，0）上，有-1e＜g（x）＜0，
故在区间（0，+∞）上，有1＜1+xe|x|＜1+1e，
则在区间（﹣∞，0）上，有1-1e＜g（x）＜1，
若若f(x)f(x)-1=k有两个不等实根，则1-1e＜k＜1+1e，且k≠1，D正确；
故选：BD．
三、解答题：本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．【解答】解：（1）①因为a3＝﹣9，a10＝5，则d=a10-a310-3=5+97=2；
②an＝a3+（n﹣3）d＝﹣9+2（n﹣3）＝2n﹣15；
③Sn=n(a1+an)2=n(2-15+2n-15)2=n2-14n=(n-7)2-49，
由二次函数的基本性质可知，当n＝7时，Sn取最小值．
（2）①因为数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，则an+bn=1×2n-1=2n-1，
所以，bn=2n-1-an=2n-1-(2n-15)；
②Tn=(20-a1)+(21-a2)+⋯+(2n-1-an)=(1+21+⋯+2n-1)-(a1+a2+⋯+an)
=1-2n1-2-Sn=2n-1-n2+14n．
17．【解答】解：（1）当a＝3时f（x）＝2x3﹣3x2+b定义域为R，且f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），
所以当x＜0或x＞1时f′（x）＞0，当0＜x＜1时f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1），
所以f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝1处取得极小值，
即f（x）极大值＝f（0）＝b，f（x）极小值＝f（1）＝﹣1+b．
（2）函数f（x）＝2x3﹣ax2+b定义域为R，则f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），
令f′（x）＝0，解得x＝0或x=a3，
①当a＞0时，则当x＜0或x＞a3时，f′（x）＞0，
当0＜x＜a3时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），(a3，+∞)，单调减区间为(0，a3)；
②当a＝0时，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增；
③当a＜0时，当x＜a3或x＞0时，f′（x）＞0，当a3＜x＜0时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为(-∞，a3)，（0，+∞），单调递减区间为(a3，0)．
综上，当a＞0时f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），(a3，+∞)，单调减区间为(0，a3)；
当a＝0时f（x）在R上单调递增；
当a＜0时f（x）的单调递增区间为(-∞，a3)，（0，+∞），单调递减区间为(a3，0)．
（3）因为a＞0，由（2）可得f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），(a3，+∞)，单调减区间为(0，a3)，
若a3≥1，即a≥3时f（x）在[0，1]上单调递减，
所以f（x）在[0，1]上的最小值为f（x）min＝f（1）＝2﹣a+b；
若0＜a3＜1，即0＜a＜3时，f（x）在(0，a3)单调递减，在(a3，1)单调递增，
所以f（x）在[0，1]的最小值为f(x)min=f(a3)=-a327+b，
所以f(x)min=2-a+b，a≥3-a327+b，0＜a＜3．
18．【解答】解：（1）因为f（x）＝x2﹣1，g（x）＝alnx（a≠0），所以f（1）＝0，g（1）＝0．
所以点（1，0）同时在函数f（x），g（x）的图像上，
因为f（x）＝x2﹣1，g（x）＝alnx，所以f′（x）＝2x，g′(x)=ax，
由已知，得f′（1）＝g′（1），所以2=a1，即a＝2．
（2）①因为F（x）＝f（x）﹣2g（x）＝x2﹣1﹣2alnx，（x＞0），
所以F′(x)=2x-2ax=2(x2-a)x．
i．当a＜0时，
因为x＞0，且x2﹣a＞0，所以F′（x）＞0对x＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，F（x）无极值；
ii．当a＞0时，
令F′（x）＝0，解得x1=a，x2=-a（舍）．
列表得：
所以当x=a时，F（x）取得极小值，且F(a)=(a)2-1-2alna=a-1-alna．
综上，当a＜0时，函数F（x）在（0，+∞）上无极值；
当a＞0时，函数F（x）在x=a处取得极小值a﹣1﹣alna．
②当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上单调递增，F（1）＝12﹣1﹣2aln1＝0，函数F（x）零点的个数为1；
当a＞0时，F（x）在(0，a)上单调递，F（x）在(a，+∞)上单调递增，
函数F（x）在x=a处取得极小值a﹣1﹣alna．
设g（a）＝a﹣1﹣alna，g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna，a∈（0，1），g′（a）＞0，g（a）单调递增，a∈（1，+∞），g′（a）＜0，g（a）单调递减，
又 g（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，g（a）＝a﹣1﹣alna≤g（1）＝0，
当1＞a＞0时，x趋近于0时，F（x）＝x2﹣1﹣2alnx趋近于正无穷大，∃x1∈(0，a)，F(x1)=0，
1∈(a，+∞)，F(1)=12-1-2aln1=0，函数F（x）零点的个数为2；
当a＞1时，x趋近于正无穷大时，F（x）＝x2﹣1﹣2alnx趋近于正无穷大，∃x2∈(a，+∞)，F(x2)=0，
1∈(0，a)，F(1)=12-1-2aln1=0，函数F（x）零点的个数为2；
当a＝1时，F（x）在（0，1）上单调递，F（x）在（1，+∞）上单调递增，函数F（x）在x＝1处取得极小值a﹣1﹣alna＝1﹣1﹣ln1＝0，
函数F（x）零点的个数为1；
综上，当a＜0或a＝1时，函数F（x）零点的个数1；当a＞1或1＞a＞0时，函数F（x）零点的个数2．
19．【解答】解：（1）因为f（x）＝x﹣aex，所以f（0）＝﹣a，f′（x）＝1﹣aex，则f′（0）＝1﹣a，
所以函数f（x）在（0，f（0））出的切线方程为y+a＝（1﹣a）x，即y＝（1﹣a）x﹣a．
（2）由（1）得f′（x）＝1﹣aex，
因为函数f（x）在区间（1，+∞）上存在极值，
所以f′（x）＝1﹣aex在区间（1，+∞）上有变号零点，
当a≤0时，f′（x）＝1﹣aex在区间（1，+∞）上单调递增，f′（1）＝1﹣ae＞0，故不符合题意；
当a＞0时，f′（x）＝1﹣aex在区间（1，+∞）上单调递减，且当x趋近于+∞时，f′（x）趋近于﹣∞，
故要使f′（x）＝1﹣aex在区间（1，+∞）上有变号零点，则f′（1）＝1﹣ae＞0，即0＜a＜1e，
综上，a∈(0，1e)，即a的取值范围是(0，1e)．
（3）函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递减，理由如下：
g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x﹣ae2﹣x，a∈(0，1e)，x∈（1，+∞），
所以g′（x）＝﹣1+ae2﹣x，
令y＝﹣1+ae2﹣x，x＞1，则y′＝﹣ae2﹣x＜0在x∈（1，+∞）恒成立，
所以函数g′（x）＝﹣1+ae2﹣x在（1，+∞）上单调递减，
由于g′(1)=-1+ae＜-1+1e⋅e=0，
所以函数g′（x）＝﹣1+ae2﹣x＜0在（1，+∞）上恒成立，
所以函数g（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．
20．【解答】解：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素得Δ＝a2﹣4a＝0，
解得a＝0或a＝4．
当a＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立；
当a＝4时，f（x）＝x2﹣4x+4在（0，2）上单调递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
综上，f（x）＝x2﹣4x+4．
（2）由（1）知：Sn=n2-4n+4．
当n＝1时，a1＝S1＝1．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2﹣4n+4）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+4]＝2n﹣5．
∴an=1，n=12n-5，n≥2.．
（3）∵bn=(3)an+5=27，n=13n，n≥2.，∴b1＝27，b2＝9，c1=18-227，
∴当n≥2时，cn=6×32n+3n+1-3n3n×3n+1=2+2(13)n+1，
∴当n≥2时，Tn=18-227+2(n-1)+2127(1-(13)n-1)1-1316+127+2n-(13)n+1，
Tn＞2n+t对n∈N，n≥2恒成立等价于t＜16+127-(13)n+1对n∈N，n≥2恒成立，
而16+127-(13)n+1是关于n的增函数，∴当n＝2时，（Tn）min＝16，
∴实数t的取值范围是t＜16．
22 11:48:53x
(0，a)
a
(a，+∞)
F′（x）
﹣
0
+
F（x）
减函数
极小值
增函数