湖南省多校2024届高三下学期4月大联考数学试题

这是一份湖南省多校2024届高三下学期4月大联考数学试题，共12页。试卷主要包含了已知直线，圆，则等内容，欢迎下载使用。

（试题卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.
3.本试题卷共7页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
姓名__________.
准考证号__________.
祝你考试顺利！
机密★启用前
2024届高三4月大联考
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中，的系数是（ ）
A.160 B.-160 C.220 D.-220
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.若复数满足，则可以是（ ）
A. B. C. D.
4.原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：）
A.4小时 B.5小时 C.6小时 D.7小时
5.已知直线与抛物线有唯一交点，则的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ）
A. B. C. D.
7.将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分
9.已知直线，圆，则（ ）
A.过定点
B.圆与轴相切
C.若与圆有交点，则的最大值为0
D.若平分圆，则
10.把边长为的正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时（ ）
A.
B.直线与平面所成角的大小为
C.平面与平面夹角的余弦值为
D.四面体的内切球的半径为
11.已知函数是定义在上的连续函数，且在定义域上处处可导，是的导函数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知公比为2的等比数列满足，则__________.
13.函数的图象在与处的切线斜率相同，则的最小值为__________.
14.若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的极值.
16.（15分）多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值。在某个物种数目为的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数.当越大时，表明该群落的多样性越高.
已知两个实验水塘的构成如下：
（1）若从中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
（2）（i）比较的多样性大小；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
17.（15分）如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
18.（17分）已知椭圆，焦点在轴上的双曲线的离心率为，且过点，点在上，且在点处的切线交于两点.
（1）求直线的方程（用含的式子表示）；
（2）若点，求面积的最大值.
19.（17分）若数列在某项之后的所有项均为一常数，则称是“最终常数列”.已知对任意，函数和数列满足.
其中表示中的最小值.
（1）当时，证明：是“最终常数列”；
（2）设数列满足，对任意正整数.若方程无实根，证明：不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数，；
（3）若不是“最终常数列”，求的取值范围.
2024届高三4月大联考·数学
参考答案､提示及评分细则
1.【答案】B
【解析】由题意可得其展开式中系数为，故选B.
2.【答案】D
【解析】由题意可得，故选D.
3.【答案】A
【解析】设，则，即，即，故选A.
4.【答案】C
【解析】设适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌大约需要分钟，
则，两边取对数得，所以，所以大约需要小时，故至少需要6小时，故选C.
5.【答案】C
【解析】依题意，联立，消去得，
则，由得，故抛物线的方程为，其准线方程为，故选C.
6.【答案】A
【解析】设，则；设，则.故在中，由余弦定理可得，而，故，直角三角形中，为锐角，故，故，故选A.
7.【答案】B
【解析】由题意可得至少有2个凹槽与其内小球编号相同的情况只有均相同或恰好有2个相同.不妨用√表述相同，×表示不同，则满足题意的排列方式有：√√√√､√√××､√×√×､√××√､×√√×､×√×√､××√√，共7种情况，即概率为，故选B.
8.【答案】C
【解析】令，则已知不等式化为.
，故原不等式的解分两段：
①，原不等式化为.
即.
②，原不等式化为.
即.
四个选项对应的取值范围分别为，当时显然不满足题意，时易验证满足第一种情况，故选C.
9.【答案】ABD
【解析】整理直线的方程，得，当时，直线方程与的取值无关，代入解得，A正确；整理圆的方程，得，B正确；令圆心到直线的距离，解得错误；将代入直线的方程，解得，D正确.故选ABD.
10.【答案】BCD
【解析】如图，当平面平面时，三棱锥体积最大，记为中点，此时平面，因为平面，所以，因为，所以与不垂直，错误.
对于：直线和平面所成角即为，因为，故，正确.对于：由于，取中点，则有，故为平面与平面所成角的平面角.则，C正确.
对于：设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，
其中，，
，故，D正确.
11.【答案】BC
【解析】由已知得，故，又因为，所以在单调递增，所以错误；构造函数，则，所以在单调递增，因此，即，B正确；由于，故，因此，C正确；构造函数，则，而，故在单调递减，因此，D错误.故选BC.
12.【答案】
【解析】由题意可得，解得，故答案为.
13.【答案】
【解析】，故有，即，则或，解得或，当时，取最小值取得最小值，因为，故的最小值为.
14.【答案】
【解析】由题意可得方程在无解，将方程变形得，即函数在无零点.易得的定义域为，仅在讨论零点时舍去的情况：若时，则时时，故在无零点，因此符合题意；当时，则，设，则，当时，则在单调递增，由于时时，由零点存在性定理可知在必有且只有一个零点，设为，则在单调递减，在单调递增，其中，故只需令，因此，解得，设，则，故；当时，，故在区间必有零点，与所求不符.综上，的取值范围为.
15.【解析】（1）因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，列表如下：
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）由（1）可得的极大值为，极小值为.
16.【解析】（1）记事件为“两个生物个体为同一物种”，
则发生的概率为
（2）（i）由表可知
所以
即，故的多样性大于；
（ii）在（i）中两群落物种数目相同，各物种数量不同，而中各物种数量均相同，即物种均匀度更大，分析可得物种均匀度也会影响群落多样性.
17.【解析】（1）连接，设，连接，
有平面，由题意得，
连接，，设，则，故在上，
过作为垂足，在中，，
故，因为，所以，
故，所以，所以，
又，故平面，
又平面平面，故平面EMGN.
（平面平面三个条件只要缺1个，不给分）
（2）以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系可得，
由（1）得平面，故平面的一个法
向量为
其中
设平面的一个法向量为，
则，
令可得
设为二面角的平面角，则，由图可知所求二面角为锐角，故二面角的余弦值为
18.【解析】（1）由已知易得双曲线，
因为点在第一象限，所以可以将双曲线变形为.
求导有，
当时，，所以的方程为：，
化简有.
（2）设
联立有
点到直线的距离
则，将代入有
当且仅当时取等号，故面积的最大值为.
19.【解析】（1）因为，所以对任意，故数列最小值不变.
即对于任意恒成立.
故对于任意，有，故是“最终常数列”.
（2）必要性，若不为“最终常数列”，假设存在一个使得，则由（1）同理可知其最小值不变，故为“最终常数列”，矛盾.所以对任意.
故对任意，均有成立，故对任意成立，
又由定义递推，知对任意正整数.
充分性：若任意正整数，则对任意成立，
又由定义知任意，均有成立.
由此知.
又由知，故，即在第项后严格递减，
故不是“最终常数列”.
综上，原命题得证.
（3）由（2）知：要求.解得.
下证：即为所求.
由时，
递推知，对任意均有.
进而对任意均成立，结合（2）结论知不是“最终常数列”.故的取值范围是.绿藻
衣藻
水绵
蓝藻
硅藻
6
6
6
6
6
12
4
3
6
5
-1
3
-
0
+
0
-
极小值
极大值